1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 31 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 下列极限求解正确的是( )2 函数 y= 的单调减少区间为( ) （A）(-，+)（B） (-，-1) (-1，+)（C） (0，+)（D）(-，0)3 定积分 02|x-1|dx=( )（A）0（B） 2（C） -1（D）14 设 L 为正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部分，则曲线部分 Lxdy-2ydx 的值为( )（A）2（B） 32（C） 23（D）45 下列结论正确的是( ) 6 设 f(x)= sint2dt，则 f(t)=( )（A）sinx 4（B） 2xs
2、inx2（C） 2xcosx2（D）2xsinx 4二、填空题7 设 y=y(x)满足 exy+sin(x2y)=y3，则 y(0)=_8 设函数 y=2x2+ax+3 在 x=1 处取得极小值，则 a=_9 z=ln(x+ |(1，0) =_10 微分方程 ycosx-ysinx=1 的通解为_11 设|a|=1 ， ab，则 a(a+b)=_12 曲线 y=2x 与 y=log2x 关于_对称三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 设方程 ex+ysin(x+z)=0 确定 z=z(x，y)，求 dz14 计算二重积分 dxdy，其中 D=(x，y)|x 2+y22x，y0 15 判别
3、 的敛散性，若收敛，是绝对收敛或条件收敛16 求 的收敛半径与收敛域17 求 dydx=1-x+y 2-xy2 的通解18 求 y“+6y+13y=0 满足 y(0)=3，y(0)=-1 的特解19 设 y=ln ，求 dy20 求由方程 x2y2+y=1(y0) 所确定 y=y(x)的极值四、综合题21 设 f(x)在闭区间0，1上连续，在 (0，1)内大于 0，并满足 xf(x)=f(x)+3x2若曲线 y=f(x)与 x=1，y=0 所围成的图形 S 的面积为 2，求 y=f(x)21 设 g(t)= 其中 Dt 是由 x=t、y=t 以及坐标轴围成的正方形区域，函数 f(x)连续22
4、求 a 的值使得 g(t)连续；23 求 g(t)24 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资金，销售收入 z(万元)与电台广告费用 x(万元)及报纸广告费用 y(万元)之间的关系有如下公式：z=15+14x+32y-8xy-2x 2-10y2问：在广告费用不限的情况下，怎样才能达到最优的广告策略?五、证明题25 设 f(x)在a，b上连续(ab) ，且 f(x)0证明方程 ax(t)dt+bx dt=0江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 31 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0 时，为有界函数，
5、x 为无穷小量，故其乘积也为无穷小=0，而 sin(2x+1)有界，所以 sin(2x+1)=0故选 D 项2 【正确答案】 B【试题解析】 y=- 0(x-1)故区间为(-，-1) (-1，+)故选 B 项3 【正确答案】 D【试题解析】 原式= 01(1-x)dx+12(x-1)dx=(x- =14 【正确答案】 B【试题解析】 正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部分，可表示为于是 Lxdy-2ydx=02 sind=+02 2sin2d=5 【正确答案】 A【试题解析】 n时， 收敛，由比较判别法可知 收敛6 【正确答案】 D【试题解析】 利用变上限积分求导法则，f(x)=sinx
6、 4(x2)=2xsinx4二、填空题7 【正确答案】 13【试题解析】 x=0，y=1 ，e xy(y+xy)+cos(x2y)(2xy+x2y)=3y2y代入得 1+0=3y(0)，所以 y(0)=138 【正确答案】 -4【试题解析】 由极值存在的必要条件知：y| x=1=0，即 4+a=0，故 a=-49 【正确答案】 12【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 (ycosx)=111 【正确答案】 1【试题解析】 a(a+b)=aa+ab ，又 ab ab=0 ，aa=|a 2|=1，所以a(a+b)=1+0=112 【正确答案】 直线 y=x【试题解析】 因为函数 y=2x
7、 与 y=log2x 互为反函数，故关于直线 y=x 对称三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 -1-tan(x+z)dx-tan(x+z)dy(1)令 F=ex+ysin(x+z)，F x=ex+ysin(x+z)+cos(x+z)Fy=ex+ysin(x+z)，F z=ex+ycos(x+z)(2)=-1-tan(x+z) =-tan(x+z)dz=-1-tan(x+z)dx-tan(x+z)dy14 【正确答案】 16915 【正确答案】 绝对收敛(1)这是任意项极数 (2)收敛， 故 绝对收敛16 【正确答案】 收敛半径=1x5，收敛域-1 ，5)(1) =收敛半径
8、 R=3 有-3x-23 即-1x5(2)当x=5 时， 发散(调和级数) ；当 x=-1 时， 收敛(莱布尼兹级数)(3)级数的收敛域为 -1， 5)17 【正确答案】 y=tan(C- )(1)判别方程的类型：dydx=(1-x)+y 2(1-x)=(1-x)(1+y2)可分离变量方程(2) =(1-x)dx18 【正确答案】 y=e -3x(3cos2x+4sin2x)(1)r2+6r+13=0，r 1，2 = =-32i(2)通解 y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)(3) 特解：y(0)=3，3=C 1，y=-3e -3x(C1cos2x+C2sin2x)+e-3x(-2C
9、1sin2x+2C2cos2x)y(0)=-1，-1=-9+2C 2，C 2=4特解为 y=e-3x(3cos2x+4sin2x)19 【正确答案】 dy= dx(1)y=ln( +1)20 【正确答案】 极大值 y(0)=1 (1)求驻点：2xy 2+x22yy+y=0， 令y=0，2xy 2=0，(y0)驻点 x=0 (2)判别极值点 2y 2+2x2yy+4xyy+2x2(y2+yy“)+y“=0，当 x=0 时 y=1 代入上式 2+0+0+0+y“(0)=0， y“(0)=-20x=0 为极大值点 (3)极大值 y(0)=1四、综合题21 【正确答案】 由 xf(x)=f(x)+3x
10、2，可得 f(x)- f(x)=3x，所以 p= q=3x那么，p(x)dx=-lnx，q(x)e p(x)dx=3x dx=3x所以 f(x)=(3x+C)x=3x2+Cx由题意可得：S=01(3x 2+Cx)dx=(x3+ )|01=1+ =2，所以 C=2所以 f(x)=3x2+2x22 【正确答案】 如图，画出积分区域，则 f(x)dxdy=0tdx0tf(x)dy=0tf(x)dx即g(t)=0tf(x)dx，ta，t=0， 根据函数连续定义，满足0tf(x)dx=f(0)=g(0)=a，所以 a=023 【正确答案】 当 t0 时，g(t)=( 0tf(x)dx)=f(t)t=0
11、时，g(0)=f(h)=f(0)所以， g(t)=f(t)24 【正确答案】 广告策略最优，即要求公司通过做广告，获得的利润最大因利润函数：L(x， y)=R(x，y)-C(x，y)=15+14x+32y-8xy-2x 2-10y2-(x+y)=15+13x+31y-8xy-2x2-10y2 又 L“xx(x，y)=-4，L“xy(x，y)=-8，L“yy(x ，y)=-20，故 B2-AC=64-(-4)(-20)=-160又 A=-40，于是点(075，125)为极大值点，也是最大值点即广告费用为 075 万元，报纸广告费用为 125 万元时，才能达到最优广告策略五、证明题25 【正确答案】 令 F(x)=axf(t)dt+bx dt，根据积分上限函数的性质知，F(x)在a ，b上连续且可导又 F(a)=aaf(t)dt+ba dt0，(f(x)0)F(b)=abf(t)dt+bb dt=abf(t)dt0，(f(x) 0)所以由零点定理知，方程 F(x)=0 在(a，b)内至少有一实根又 F(x)=f(x)+ 0，于是 F(x)在(a，b)内单调递增，F(x)在(a ，b)内与 x 轴至少有一个交点，即方程 F(x)=0 在(a，b)内至少有一个实根故由、知，方程 axf(t)dt+bx dt=0 在(a，b)内有且仅有一个实根
