1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 27 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知f(x)dx=e 2x+C，则f(一 x)dx=( )（A）2e -2x+C（B）（C）一 2e-2x+C（D）2 在下列极限求解中，正确的是( )3 下列级数中条件收敛的是( )4 曲线 y=x3 一 3x 在开区间(0，1) 内为( )（A）单调上升，且上凹（B）单调下降，且下凹（C）单调上升，且下凹（D）单调下降，且上凹5 若直线 l 与 Ox 平行，且与曲线 y=x 一 ex 相切，则切点坐标为( )（A）(1 ，1)（B） (一 1，1)（C） (0，一 1)（D）(
2、0 ，1)6 f(x)= 且 f(x)在 x=0 处连续，则 a 的值为( ) 二、填空题7 定积分 02|x 一 1|dx=_8 曲线9 若 则 ff(f(x)=_10 已知 a，b 均为单位向量，且 则以向量 a.b 为邻边的平行四边形的面积为_11 的收敛半径和收敛域为_12 若三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 设方程 ex+ysin(x+z)=0 确定 z=z(x，y)，求 dz14 计算二重积分 ，其中 D=(x，y)|x 2+y22x，y0 15 判别 的敛散性，若收敛，是绝对收敛或条件收敛16 求 的收敛半径与收敛域17 求 =1 一 x+y2 一 xy2 的通解18
3、求 y“+6y+13y=0 满足 y(0)=3，y(0)=一 1 的特解.19 20 求由方程 x2y2+y=1(y0) 所确定 y=y(x)的极值四、综合题21 求椭球面 在点 M0(1，2，3)处的切平面和法线方程22 设平面图形由曲线 y=1 一 x2(x0)及两坐标轴围成 (1)求该平面图形绕 x 轴旋转所形成的旋转体的体积； (2)求常数口的值，使直线 y=a 将该平面图形分成面积相等的两部分23 有一边长为 48 cm 的正方形铁皮,四角各截去一个大小相同的正方形，然后将四边折起做成一个方形无盖容器，问截去的小正方形的边长多大时，所得容器的容积最大?五、证明题24 证明：对 x0，
4、则江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 27 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 原式两边分别求导得，f(x)=2e 2x，再两边求导，得 f(x)=4e2x，则 f(-x)=4e-2t f(一 x)dx=4e-2xdx=一 2e2xd(一 2x)=一 2e-2x+C故选 C 项。2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 当 0x1 时，y=3x 2 一 30，y“=6x 0曲线单调下降，且上凹，故选 D 项5 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意得：y=(1 一 ex)
5、=0 得 x=0，代入得 y=一 16 【正确答案】 C【试题解析】 使用洛必达法则可知： 根据 f(x)在 x=0 处连续，可知二、填空题7 【正确答案】 1【试题解析】 02|x 一 1|dx=01(1 一 x)dx+12(x 一 1)dx=8 【正确答案】 (1，4)【试题解析】 当 x(一 ，1) 时，y“ 0，而当 x(1，+)时，y“0，当 x=1 时，y=4，所以拐点是(1，4) 9 【正确答案】 x【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 根据向量叉积，以向量 a，b 为邻边的平行四边形的面积为S=|a|.|b|sin=a.b，由已知，|a|=1，|b|=1，a.b=|a
6、|.|b|cos= 可得sin= 可得平行四边形面积为 a.b=|a|b|sin=11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 一 1 一 tan(x+z)dx 一 tan(x+z)dy【试题解析】 (1)令 F=ex+ysin(x+z)，F x=ex+ysin(x+z)+cos(x+z)Fy=ex+ysin(x+z)，Fz=ex+ycos(x+z)dz=一 1 一 tan(x+z)dxtan(x+z)dy14 【正确答案】 【试题解析】 15 【正确答案】 绝对收敛【试题解析】 16 【正确答案】 收敛半径一 1
7、x5，收敛域一 1，5)【试题解析】 收敛半径 R=3 有一3x 一 23 即一 1x5 (3)级数的收敛域为一 1，5) 17 【正确答案】 【试题解析】 (1)判别方程的类型： =(1 一 x)+y2(1 一 x)=(1 一 x)(1+y2)可分离变量方程18 【正确答案】 y=e -3x(3cos2x+4sin2x)【试题解析】 (1) r2+6r+13=0， (2)通解 y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)(3)特解：y(0)=3，3=C 1， y=一 3e-3x(C1cos2x+C2sin2x)+e-3x(一 2C1sin2x+2C2cos2x)y(0)=一 1，一 1=一
8、 9+2C2，C 2=4特解为 y=e-3x(3cos2x+4sin2x)19 【正确答案】 【试题解析】 20 【正确答案】 极大值 y(0)=1【试题解析】 (1)求驻点：2xy 2+x22yy+y=0， 令 y=0，2xy 2=0，(y 0)驻点x=0 (2)判别极值点 2y 2+2x2yy+4xyy+2x2(y2+yy“)+y“=0，当 x=0 时 y=1 代入上式 2+0+0+0+y“(0)=0， y“(0)=一 20x=0 为极大值点 (3) 极大值 y(0)=1四、综合题21 【正确答案】 即6x+3y+2218=0，22 【正确答案】 如图，利用定积分几何意义 (1)该平面绕
9、x 轴旋转所形成旋转体体积为 V= 01(1 一 x2)2dx=01(12x2+x4)dx=(2)由题意，直线 y=a 将平面分成面积相等的两部分23 【正确答案】 设截下的小正方形的边长为 x cm，则正方形容器的底边长 482x，高为 x，容器为 V(x)=(482x) 2.x，其中 x 的变化范围是 0x24， V(x)=(482x)(486x)，令 V(x)=0 得， 驻点坐标 x=8，x=24(舍去)， V“(x)=24x 一384，V“(8)=-1920， 所以 x=8，是唯一的极大值点，也是最大值点，最大值是V(8)=8 192 当截去的小正方形的边长是 8 cm 时，容器的容积达到最大 8 192 cm3五、证明题24 【正确答案】 ，解得：x=2，故 f(2)=4+8=12，f(+)=+，f(0+0)=+ ，f min(x)=12，
