1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 22 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知 f(x)=2|x|，则 f(0)=( )（A）2 |x|ln2（B） 2xln2（C） 2-xln2（D）不存在2 下列积分收敛的是( ) 3 下列极限中正确的是( ) 4 y=xx，则下列正确的是( )（A）y=xx x-1（B） dy=xxlnxdx（C） y=xx(lnx+1)（D）y=x xdx5 与平面 x+y+z=1 平行的直线方程是( )（A）（B） x 一 1=y 一 1=z 一 2（C）（D）x 一 2y+z=36 下列哪个结论是正确的( )二、填空题7 设
2、函数 f(x)在点 x=x0 处可导，且 f(x0)=3，则 _.8 若 f(sin2x)=cos4x，则 f(x)=_9 设函数 f(x)=(2x 一 1)(x 一 3)(x 一 7)，则方程 f(x)=0 有_个实根10 设 z=xy，则=_.11 设 L 为椭圆 ，其周长为 a，则曲线积 L(3x2+4y2 一 2)ds=_12 交换二重积分的次序：三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 已知 F(x)在 0 点连续，F(x)是 f(x)+2sinx 在 0 处的导数并且 f(x)连续在 0 处导数为 f(0)=6，求14 计算15 16 设 f(x)= 求 f(x)的极值17 求微
3、分方程 yy“一 y2=0 的通解18 若 z=z(x，y)是由方程 x2+y2+z2=3xyz 所确定的隐函数，求19 求 的收敛半径和收敛域20 平面 通过直线 且垂直于平面 x+2y+3z=1，求平面 的方程四、综合题21 设函数 y=f(x)满足方程 xy+y=x，且 (1)求 f(x)； (2)求 f(x)的单调增加区间22 某公司年产量为 x 百台机床，总成本为 C 万元，其中固定成本为 2 万元，每产1 百台增加 1 万元，市场上每年可销售此商品 4 百台，其销售总收入 R(x)(单位：万元)是 x 的函数， 问每年生产多少台利润最大?23 若 f(x)在 x=0 处连续，求 k
4、，a 的值五、证明题24 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，f(0)=0，0f(x)1，求证： 01f(x)dx201f3(x)dx江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 22 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D2 【正确答案】 B3 【正确答案】 C4 【正确答案】 C5 【正确答案】 C6 【正确答案】 C二、填空题7 【正确答案】 6【试题解析】 8 【正确答案】 【试题解析】 9 【正确答案】 2【试题解析】 因为 f(x)有三个零点 ，x 2=3，x 3=7，故在区间 ，-3，7上分别应用罗尔定理，知 f(x)在两个区间
5、内至少各有一个零点，即方程 f(x)=0 至少有两个实根。又因为 f(x)是三次函数，f(x)是二次函数，最多有两个零点，从而可确定二次方程 f(x)=0 的实根数为 2。10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 10a【试题解析】 这是一个对弧长的曲线积分，可利用积分曲线的方程对被积函数进行简化，由于在曲线 l 上 3x2+4y2=12，于是12 【正确答案】 【试题解析】 通过作图可得出结论三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 设 y=p，则 代入微分方程 yy“一 y2=0 得
6、即 p=0 或 由 p=0 得 y=C1；由(其中 C1，C 2 为任意常数)，综上所述，18 【正确答案】 根据方程 x2+y2+z2=3xyz，两边对 x 求导：19 【正确答案】 令 y=2x+1，原级数= 当 y=1 时，收敛，所以 y 的收敛区间为-1，1)，相应的 x 的收敛区间为-1， 0)20 【正确答案】 设 方程为 (x 一 2y+z 一 1)+(2xy+2z 一 1)=0，即：(1+2)x+(一 2 一 )y+(1+2)z+(一 1 一 )=0，那么 b=1+2，一 2 一 ，1+2)，由于 垂直于 x+2y+3z=1，所以(1+2)+2(一 2 一 )+3(1+2)=0
7、 得 =0，即平面 的方程为 x 一 2y+z=1四、综合题21 【正确答案】 (1)经整理得一阶线性微分方程把得 C=一 1，所以 y=f(x)=(2) ，函数 f(x)的单调增加区间为(一，0)(0，+)22 【正确答案】 设每年的产量为 x 百台时利润为 y 万元令 y=0 得 x=3故每年生产 3 百台时利润最大为 y(3)=23 【正确答案】 根据连续的条件：五、证明题24 【正确答案】 首先证明不等式 0xf(t)dt20xf3(t)dt(0x1) 令 F(x)=0xf(t)dt2-0xf3(t)dt F(x)=20xf(t)dt.f(x)一 f3(x) =f(x)20xf(t)dt 一 f2(x)， 再令 (x)=20xf(t)dt 一f2(x)则 (x)=2f(x)一 2f(x)f(x) =2f(x)1 一 f(x) 因为 f(0)=0，f(x)0，所以 f(x)单增，当 x0 时，f(x)f(0)=0 又 0f(x)1，于是 (x)0，由此 (x)单增，当 x0时，(x)(0)=0 ，所以又有 F(x)0，由此 F(x)单增，当 x0 时，F(x)F(0)=0 ，故F(1)0，从而有 01f(x)dx201f2(x)dx
