1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 在下列极限求解中，正确的是( )2 设 y=f(x)可导，则 f(x 一 2h)-f(x)等于( )（A）f(x)h+o(h)（B）一 2f(x)h+o(h)（C）一 f(x)h+o(h)（D）2f(x)h+o(h)3 设函数 f(x)的一个原函数为 sin2x，则f(2x)dx=( )（A）cos4x+C（B） cos4x+C（C） 2cos4x+C（D）sin4x+C4 设二重积分的积分域 D 是 x2+y21，则 等于( )（A）（B） 4（C） 3（D）55 当 x0 时，
2、下列四个无穷小量中，哪一个是比其余三个更高阶的无穷小量( )（A）x 2（B） 1 一 cosx（C）（D）xtanx6 设函数 ，当 x0 时，f(x)一 g(x)，若 f(x)在 x=0 处连续，则 f(0)=( )（A）0（B）（C）（D）二、填空题7 设积分区域 D=(x,y)0yx，x 2+y22x，则二重积分 等于_.8 的水平渐近线是_，垂直渐近线是_9 10 设向量 a=(2，4，一 5)，b=(2，3，k) ，若 a 与 b 垂直，则 k=_11 二次积分12 交换积分的次序： 1edx0lnx(x，y)dy=_.三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 14 设 y=y(
3、x)由方程 1 一 y+xey=0 确定，求15 计算不定积分16 计算定积分 0cos2xdx17 求过点 M(2，2，1)且与平面 ：2xy+z 3=0 平行，又与直线 L：垂直的直线方程18 设 z=f(sinx，cosy，e x+y)，其中 f 有二阶连续偏导数，求19 求幂级数 的收敛半径与收敛区间20 计算二重积分 其中 D：x 2+y22x四、综合题21 试求由抛物线(y 一 2)2=x 一 1 和与抛物线相切于纵坐标 y0=3 处的切线以及 x 轴所围成图形面积22 从半径为 R 的圆中切去怎样的扇形，才能使余下部分可卷成一漏斗，其容积为最大?23 某工厂生产过程中，次品率与日
4、生产量关系是 其中 x为正数，每生产一件产品可赢利 A 元，但生产一件次品要损失 元，问为了获得最大盈利，每天的生产量为多少?五、证明题24 设 ba 0，证明： abdyybf(x)e2x+ydx=ab(e3xe2x+a)f(x)dx江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 根据函数的定义，f(x)=F(x)=(sin2x)=2cos2x，f(x)=一4sin2x，f(2x)=一 4sin2x，所以 f(2x)dx=-4sin
5、4xdx=cos4x+C4 【正确答案】 A【试题解析】 积分区域 D 如图所示：0r1，025 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0 时 A 中的 x2 与自己等价(即 x2 是 x 的 2 阶无穷小)；B 中的1 一 cosx (即 1-cosx 是 x 的 2 阶无穷小)；C 中的是 x 的 2 阶无穷小)，从而 A、B、C 都是 x 的2 阶无穷小；而只有 D 中的 xtanx 是 z 的 3 阶无穷小当 x0 时，A 中的 x2 与自己等价(即 x2 是 x 的 2 阶无穷小)；B 中的 (即 1-cosx 是 x 的 2 阶无穷小)；从而 A、B、C 都是 x 的 2 阶无穷小；
6、而只有 D 中的 xtanx 是 x 的 3阶无穷小(因 )，即 D 是比 A、B、C 都要高阶的无穷小，故选 D.6 【正确答案】 C【试题解析】 因 f(x)在 x=0 处连续，所以 而 x0时，f(x)=g(x) ，故故选 C.二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 8 【正确答案】 y=1，x=1【试题解析】 9 【正确答案】 【试题解析】 设 x=asect，dx=asecttantdt， 换限：当 x=a 时，t=0;当 x=2a 时，t=于是10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 1【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 画出积分区域 D：1xe，0yln
7、x，见图改写 D:0y1，e yxe便得原式=三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 14 【正确答案】 代入 x=0，得 y=0，即 y(0)=1 原方程两边同时关于 x 求导得一y+ey+xeyy=0代入 y(0)=1，得 y(0)=e，即 方程两边继续关于 x 求导得一 y“+eyy+(ey+xeyy)y+xeyy“=0，代入 y(0)=1、y(0)=e，得 y“(0)=2e2，即15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 由已知可得平面 和直线 L 的法向量和方向向量分别为 n0=(2，一 1，1) ，s 0=(1，3，1)取所求直线的方向向量为所以所
8、求直线的方程为18 【正确答案】 =f1.cosx+f2.0+f3.ex+y=f1cosx+ex+yf3 =cosxf11“ .0+f12“.(一 siny)+f13“.ex+y+ex+yf3+ex+yf31“.0+f32“.(一 siny)+f33“.ex+y =一f12“sinycosx+ex+y+ex+yf13“cosx+ex+yf32“siny+e2(x+y)f33“。19 【正确答案】 ，所以 R=3，则一3x 一 23，即一 1x5所以收敛区间为一 1， 5)20 【正确答案】 本题利用极坐标，令 则 r22rcos，即 r2cos由 x2+y22x，得(x 一 1)2+y21，则
9、区域 D 如图显然区域 D 是关于 x 轴对称的，所以四、综合题21 【正确答案】 抛物线(y 一 2)2=x 一 1，顶点在(1 ，2)，开口向右，切点 y 坐标为3，则 x 坐标为 2，则切线斜率为 k=y|x=2，而 切线方程 y 一 3= ，改写成 x=2y 一 4 S= 03(y 一 2)2+1 一(2y 一 4)dy=922 【正确答案】 设余下部分的圆心角为 时所卷成的漏斗容积 V 最大，漏斗的底半径为 r，高为 h23 【正确答案】 设日生产量为 x 件，日利润为 u 元，则日次品数为 xy 件，日正品数为(x xy)件 因为当 x50 时次品率为 1，为获最大利润故必 0x50即 x428 或 x5925，舍去x5925比较 u(0)=0， u(42)=1664，u(43)=1899 的值，故日生产量为 43 件时，获得最大盈利五、证明题24 【正确答案】 积分域 积分域又可表示成abdyybf(x)e2x+ydx=*710f(x)e2x+y=abdxaxf(x)e2x+ydy=abf(x)e2xdxaye2ydy=ab(x)e2x(ex 一 ea)dx=ab(e3x 一 2x+a)f(x)dx
