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    [专升本类试卷]四川省专升本(高等数学)模拟试卷6及答案与解析.doc

    • 资源ID:909175       资源大小:252KB        全文页数:13页
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    [专升本类试卷]四川省专升本(高等数学)模拟试卷6及答案与解析.doc

    1、四川省专升本(高等数学)模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。1 当 x0 时, 与 1cosx 比较,可得 ( )(A) 是较 1cosx 高阶的无穷小量(B) 是较 1cosx 低阶的无穷小量(C) 与 1cosx 是同阶无穷小量,但不是等价无穷小量(D) 与 1cosx 是等价无穷小量2 设函数 f(x)= 在 x=0 处连续,则 a 等于 ( )(A)2(B)(C) 1(D)一 23 设 y=f(x)在(a ,b) 内有二阶导数,且 f(x)0,则曲线 y=f(x)在(a,b)内 ( )(A)凹(B)凸(C)凹凸性不可确定(D)单调减少4

    2、等于 ( )(A) +C(B) +C(C)一 cotx+C(D)cotx+C5 设有直线 ,则该直线 ( )(A)过原点且垂直于 x 轴(B)过原点且垂直于 y 轴(C)过原点且垂直于 z 轴(D)不过原点也不垂直于坐标轴6 设 z=x2y2+3x,则 = ( )(A)2xy 2+2x2y+3(B) 4xy2+3(C) 2xy2+3(D)2xy 2+2x2y7 设区域 D:x 2+y2a2(a0),y0,则 x2dxdy 化为极坐标系下的二重积分的表达式为 ( )(A) r3cos2dr(B) r3cos2dr(C) r2cos2dr(D) r3cos2dr8 幂级数 anxn 在点 x=3

    3、处收敛,则级数 (一 1)nan ( )(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与 an 有关9 已知 y1=ex,y 2=xex 为微分方程 y+py+qy=0 的解,则 ( )(A)p=2,q=1(B) p=1,q=1(C) p=3,q=2(D)p,q 不能确定10 设 A 为 3 阶矩阵,A=1,则2A T= ( )(A)一 8(B)一 2(C) 2(D)8二、填空题11 设 f(x+1)=4x2+3x+1,g(x)=f(e x ),则 g(x)=_12 =_13 若函数 f(x)= 在点 x=0 处连续,则 a=_14 级数 的收敛区间为_15 微分方程 y+y+y=0 的通

    4、解为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 计算17 计算 xlnxdx18 设 z=f(u,v),而 u=x2y,v= ,其中 f(u,v)存在偏导数,求19 求不定积分20 计算二重积分 ydxdy,其中 D 为曲 x=y2+1 与直线 x=0,y=0,y=1 所围成的区域21 求微分方程 y+y一 2y=0 的通解22 将函数 f(x)= 展开成 x1 的幂级数,并指出其收敛区间,23 已知非齐次线性方程组 有三个线性无关的解(1)证明方程组的系数矩阵 A 的秩 r(A)=2;(2)求 a,b 的值及方程组的通解四、综合题24 设平面图形是由曲线 y= 和 x+y=4 围成的,求此

    5、平面图形绕 z 轴旋转而成的旋转体的体积 Vx25 求曲线 y=lnx 在区间(2 ,6) 内的一点,使该点的切线与直线 x=2,x=6 以及y=lnx 所围成的平面图形面积最小五、证明题26 已知 f(x)连续,证明 f(u)dudt四川省专升本(高等数学)模拟试卷 6 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 =,所以是 1 一 cosx 的低阶无穷小量故选 B2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 =1,f(0)=a,f(x)在点 x=0 连续,因此 f(x)=f(0),故 a=1,应选 C3 【正确答案】 A【试题解析】

    6、 由于 y=f(x)在(a,b)区间内有 f(x)0,可知曲线 y=f(x)在(a ,b)内为凹的,因此选 A4 【正确答案】 C【试题解析】 由 dx=cotx+C 可知应选 C5 【正确答案】 B【试题解析】 将原点坐标(0,0,0)代入方程,等式成立,则直线过原点;由于所给直线的方向向量 s=(1,0,2),而 y 轴正方向上的单位向量 j=(0,1,0),s.j=10+01+(2)0=0因此 sj,即所给直线与 y 轴垂直故选 B6 【正确答案】 A【试题解析】 由于 z=x2y2+3x,所以=2xy2+3+2x2y7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 D:x 2+y2a2(a0),

    7、y0,所以令 且0ra,0 ,则 r3cos2dr8 【正确答案】 A【试题解析】 因为 anxn 在 x=3 处收敛,即a n ,所以由常数级数中几何级数 q= 1,知 (一 1)nan 是绝对收敛的故选 A9 【正确答案】 A【试题解析】 由 y1=ex,y 2=xex 知,微分方程 y+py+qy=0 的特征方程 r2+pr+q=0的解是两个相等的实根 1=2=1,故 p=2,q=110 【正确答案】 A【试题解析】 2A T=(一 2)3A T=8A= 8,故选择 A二、填空题11 【正确答案】 8e 2x +5ex【试题解析】 f(x)=4(x 1)2+3(x1)+1=4x 25x+

    8、2 , g(x)=4e2x 一 5ex +2,则g(x)=8e 2x +5ex 12 【正确答案】 e【试题解析】 本题考查的知识点为极限的运算注意 可以变形,化为(1+ 3 形式的极限13 【正确答案】 一 1【试题解析】 =1,a= 114 【正确答案】 (,+)【试题解析】 因为= = =0,所以 R=,即收敛区间为(一 ,+)15 【正确答案】 y= (其中 C1,C 2 为任意常数)【试题解析】 特征方程为 r2+r+1=0,解得所以通解为(其中 C1,C 2 为任意常数)三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 解法一 利用洛必达法则: 解法二 利用等价无穷小量代换

    9、:当 x0 时,e x 一 1x,可得【试题解析】 本题考查的知识点为利用洛必达法则求“ ”型极限,或利用等价无穷小量代换简化求极限运算17 【正确答案】 (e2+1)【试题解析】 本题考查定积分的计算,可利用分部积分法18 【正确答案】 由复合函数的链式法则得 由于所给 z=f(u,v)为抽象函数,而 于是【试题解析】 本题考查的是抽象函数求偏导数的方法题中已给出u=x2y,v= ,所以直接利用复合函数求偏导的链式法则即可19 【正确答案】 令 1+ex=t, 则 dt=e xdx=(t 一 1)dx,dx=【试题解析】 本题主要考查求不定积分的方法之一换元法的应用设 x=(t)是单调可导函

    10、数,(t)0,又设 f(t)(t)有原函数,则有换元公式f(x)dx=f(t)(t)dt利用不定积分公式即可求解20 【正确答案】 作出积分区域 D 的草图,如图所示,则积分区域可以用不等式0xy2+1,0y1 表示,故【试题解析】 解二重积分最好先根据题中所给的区域 D 画出草图,以便定出积分上、下限注意此题只能先对 x 积分21 【正确答案】 方程的特征方程为 r2+r 一 2=0,可解得特征根为 r1=2,r 2=1, 所以微分方程的通解为 y=C1e2x +C2ex【试题解析】 本题考查求二阶常系数齐次线性微分方程的通解22 【正确答案】 由于的收敛区间 =(2,4), (一 1)n.

    11、 的收敛区间 =(一 1,3) ,所以 f(x)的收敛区间为(一1,3)【试题解析】 然后将上式右边逐项展开即可23 【正确答案】 (1)容易看到 r(A)2,此外,由于所给的非齐次线方程组有三个线性无关的解,记为 1, 2, 3,则 1 一 2, 1 一 3 是对应的导出组的解,且线性无关由此可知,导出组的基础解系中至少包含两个线性无关的特解,从而 r(A)42=2因此 r(A)=2(2)对系数矩阵 A 施行初等行变换:于是,由 r(A)=2 得 解之得 a=2,b=3对 a=2,b=3 的增广矩阵 B 施行初等行变换:由此可知,导出组有基础解系(一 2,1,1,0) T,(4,一 5,0,

    12、1) T,此外,非齐次线性方程组有解(2,一 3,0,0) T,所以所给非齐次线性方程组的通解为(x1,x 2,x 3,x 4)T=C1(一 2,1,1,0) T+C2(4,一 5,0,1) T+(2,一 3,0,0) T,其中,C 1,C 2 是任意常数【试题解析】 本题加在方程组上的条件为“有三个线性无关的解”,要求确定的是“a,b 的值及方程组的通解”四、综合题24 【正确答案】 由曲线 y= 和 x+y=4 围成的图形如图阴影部分所示求两条曲线的交点, 解方程 得交点 (1,3)与(3,1)于是【试题解析】 首先画出草图,求出交点后,利用体积公式计算求得结果25 【正确答案】 如图所示

    13、,设曲线 y=lnx 在区间(2,6)内一点为 x0,所围面积为S(x0),则过点(x 0,lnx 0)的切线方程为 ylnx0= (xx0),即 y=lnx0 一 1+ 故令 S(x0)=0,得 x0=4又因为当 x4 时,S(x 0)0,当x4 时,S(x 0)0,所以 x0=4 为极小值点,根据题意也就是最小值点,故曲线y=lnx 在区间(2,6)内取点 x=4 时,使该点的切线与直线 x=2,x=6 及曲线 y=lnx 所围成的平面图形面积最小【试题解析】 设所求曲线 y=lnx 在区间(2,6)内的一点为(x 0,lnx 0),即可表示出过该点的切线方程,画出图形,利用积分以及导数可求解五、证明题26 【正确答案】 【试题解析】 本题考查分部积分公式只需要将右侧被积函数整体 f(u)du 看成F(t),然后再利用分部积分公式化简整理后就可等于左侧


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