1、四川省专升本（高等数学）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 当 x0 时，用 o(x)表示比 x 高阶的无穷小量，则下列式子中错误的是 ( )（A）x.o(x 2)=o(x3)（B） o(x)o(x2)=o(x3)（C） o(x2)+o(x2)=o(x2)（D）o(x)+o(x 2)=o(x2)2 设 f(0)=0，且 f(0)存在，则 = ( )（A）f(0)（B） 2f(0)（C） f(0)（D） f(0)3 函数 y=xex 在 1，2上的最大值或最小值正确的是 ( )（A）最大值为 e1（B）最小值为 e1（C）最小值为 0（
2、D）最小值为 2e14 sin2xdx= ( )（A）一 sin2x+C（B） cos2x+C（C） sin2x+C（D） cos2x+C5 设直线 L： 和平面 ：xyz+1=0，则 ( )（A）L 与 垂直（B） L 与 相交但不垂直（C） L 在 上（D）L 与 平行但 L 不在 上6 设 z=arctan = ( )（A）1（B）一 1（C） 0（D）27 dx= ( )（A） a4（B） a4（C） a4（D） a48 幂级数 xn 的收敛半径为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）49 微分方程 y=6有特解 y= ( )（A）6x（B） 3x（C） 2x（D）x10 设 A，
3、B 都是 n 阶可逆矩阵，则下述结论中不正确的是 ( )（A）(A+B) 1 =A1 +B1（B） (AB)T1 =(A1 )T(B1 )T（C） (Ak)1 =(A1 )k(k 为正整数)（D）(kA) 1 =k n A 1 (k 为任意非零常数)二、填空题11 函数 f(x)= +ln(x 一 1)的定义域为_12 函数 f(x)= 的间断点为 x0=_13 x(x25) 4dx=_14 设 D=(x， y)0x1 ，0y1，则 x2ydxdy=_15 设 A= ，A *为 A 的伴随矩阵，则A *=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 求17 求18 已知直线 l： ，若平面 过
4、点 M(2，1，一 5)且与 l 垂直，求平面 的方程19 设函数 y=ln(x2+1)，求 dy20 计算曲线积分 (2xy3 一 y2cosx)dx+(2x 一 2ysinx+3x2y2)dy，其中 L 是由点 A(一1，1)经点 O(0，0)到点 B(1，1) 的折线段21 求微分方程 y2y+y=e x 的通解22 将 f(x)= (ex+ex )展开为麦克劳林级数23 讨论线性方程组 当 为何值时，(1)线性方程组有唯一解；(2)线性方程组有无穷多解；(3) 线性方程组无解四、综合题24 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌 20m 长的墙壁问应围成怎样的长方形才能使这间小
5、屋的面积最大?25 求幂级数 的收敛区间及和函数，并求级数 的和五、证明题26 设函数 F(x)= sinx.f(t)dt，其中 f(t)在1， 上连续，求 F(x)，并证明在(1，)内至少存在一点 ，使得 cos. f(x)dx+sin.f()=0四川省专升本（高等数学）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 由高阶无穷小量的定义可知 A，B， C 都是正确的，对于 D 可找出反例，例如当 x0 时 f(x)=x2 一 x3=o(x)，g(x)=x 3=o(x2)，但 f(x)+g(x)=x2=o(x)，故应
6、该选 D2 【正确答案】 B【试题解析】 此极限属于“ ”型，可用洛必达法则，即 2f(2x)=2f(0)故选 B3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 y=ex x.ex =ex (1 一 x)，所以函数 y=xex 在一 1，1上为增函数，在1，2 上为减函数，故 ymax=e1 ，故选 A4 【正确答案】 B【试题解析】 sin2xdx= sin2xd(2x)= cos2x+C故选 B5 【正确答案】 D【试题解析】 直线 L 的方向向量为 s=(1，一 1，2)，平面 的法向量为 n=(1，一1，一 1)，则 n.s=0，且点 (3，0，一 2)在直线 L 上，但不在平面 上，故选 D
7、6 【正确答案】 A【试题解析】 则故选 A7 【正确答案】 B【试题解析】 令 x=asint，则 dx=acostdt，当 x=0 时 t=0，当 x=a 时 t= 故原式=a2sin2t.acost.acostdt=8 【正确答案】 A【试题解析】 由于 xn 中 an=1，因此 an+1=1， 可知收敛半径 R= =1故选 A9 【正确答案】 A【试题解析】 由于 =6，则 dy=6dx，dy=6dx，即 y+C1=6x+C2，即y=6x+C(C1，C 2，C 为常数)当 C=0 时，微分方程 y=6 有特解 y=6x，故选 A10 【正确答案】 A【试题解析】 假设(A+B) 1 =
8、A1 +B1 ，则(A+B)(A+B) 1 =(A+B)(A1 +B1 )=E+AB1 +BA1 +E，故选 A二、填空题11 【正确答案】 (1，2【试题解析】 由题意可得 解得 1x2，故函数的定义域为(1，212 【正确答案】 3【试题解析】 因为当 x3 时，f(x)，所以 x=3 是函数 f(x)= 的无穷间断点13 【正确答案】 (x2 一 5)5+C【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 15 【正确答案】 4【试题解析】 因为A *=A 31 =A 2，而A = =2，所以A *=A 31 =A 2=4三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 【试题解析
9、】 由于 ex 一 1x(x0) ，故17 【正确答案】 =2ln2【试题解析】 利用凑微分法使得 d(x+1)18 【正确答案】 由题意可知，直线 l 的方向向量 s=(3，2，1)必定平行于所求平面 的法向量 n，因此可取， n=s=(3，2，一 1)，利用平面的点法式方程可得 3(x 一 2)+2(y 一 1)一z 一(一 5)=0，即所求平面方程为 3(x2)+2(y 一 1)一(z+5)=0【试题解析】 通过直线的方向向量与平面法向量的关系，得到平面的法向量，利用点法式方程，即可得到平面方程19 【正确答案】 dy= dx【试题解析】 运用复合函数的求导法则，则 y= .(x2+1)
10、20 【正确答案】 令 P=2xy3 一 y2cosx，Q=2x 一 2ysinx+3x2y2 =22ycosx+6xy26xy 2+2ycosx=2，取 L1 为 y=1 上从点(1，1)到(一 1，1)的直线段，则由格林公式得【试题解析】 如果函数 P(x，y)，Q(x ，y)在闭区域 D 上具有连续偏导数，那么Pdx+Qdy= dxdy21 【正确答案】 对应齐次线性微分方程的特征方程为 r22r+1=0特征根为r=1(二重根 )齐次方程的通解为 =(C1+C2x)ex(C1，C 2 为任意常数)设原方程的特解为 y*=Ae x，代入原方程可得 A= 因此 y*= ex 故原方程的通解为
11、y= +y*=(C1+C2x)ex+ ex (C1，C 2 为任意常数)【试题解析】 求解二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=f(x)的一般步骤：(1)先求出与其相对应的齐次线性微分方程的通解 =C1y1+C2y2；(2)再求出它的一个特解 y*；(3)y=C 1y1+C2y2+y*即为所求非齐次线性微分方程的通解22 【正确答案】 其收敛区间为(一，+)【试题解析】 利用 ex= (一x+)，e x = (一x+)即可求解23 【正确答案】 设该线性方程组所对应的系数矩阵为 A，该线性方程组所对应的增广矩阵为 B，则 (1)1且 0时，有r(A)=r(B)=3，方程组有唯一解；(2
12、)=1 时，增广矩阵 B 化为此时，r(A)=r(B)=23，方程有无穷多解；(3)=0 时，增广矩阵 B 化为 此时 r(A)一 2r(B)=3，方程组无解【试题解析】 通过系数矩阵的秩与增广矩阵的秩之间的关系来判断解的情况四、综合题24 【正确答案】 设小屋的宽为 xm，则小屋长为(202x)m ，于是小屋面积为 S=(202x)x=20x 一 2x3(0x10) 因为 S=204x， 所以令 S=0，得 x=5(唯一驻点)， 所以当小屋宽为 5m，长为 10m 时小屋的面积最大【试题解析】 设出小屋的宽，并利用已知条件表示出小屋的面积，然后用求一元函数最值法求解即可25 【正确答案】 因
13、为 =1所以 R=1，幂级数的收敛区间为(一 1， 1)设 S(x)= ，则由 ln(1+x)= (一 1x1)得=S(x)=ln(1+x)，x(一 1，1，令 x=1，得 =ln2【试题解析】 由 =1 得到 R=1，并利用 ln(1+x)= (一1x1)求解即可五、证明题26 【正确答案】 已知 F(x)=cosx. f(t)dt+sinx.f(x)因为 F(x)在1，上连续，在(1，) 内可导，且 F(1)=F()=0，由罗尔中值定理知，在(1，) 内至少有一点 ，使F()=0，即 cos. f(x)dx+sin.f()=0【试题解析】 由积分性质可得 F(x)=sinx. f(t)dt，则 F(x)=(sinx).f(t)dt=cosx. f(t)dt+sinx.f(x)，再由罗尔中值定理得 F()=0即可
