1、专升本（高等数学一）模拟试卷 97 及答案与解析一、选择题1 设函数 y=ax2+c 在区间(0，+) 上单调增加，则 ( )（A）a0 且 c=0（B） a0 且 c 为任意实数（C） a0 且 c0（D）a0 且 c 为任意实数2 微分方程 y“+y=0 的通解为 ( )（A）C 1cosx+C2sin x（B） (C1+C2x)ex（C） (C1+C2x)e-x（D）C 1e-x+C2ex3 设 f(x)为连续函数，则积分（A）0（B） 1（C） n（D）4 平面 x+2yz+3=0 与空间直线 的位置关系是 ( )（A）互相垂直（B）互相平行但直线不在平面上（C）既不平行也不垂直（D）
2、直线在平面上5 设 axb ，f(x)0，f“(x) 0，则在区间(a ，b) 内曲线弧 y=f(x)的图形 ( )（A）沿 x 轴正向下降且向上凹（B）沿 x 轴正向下降且向下凹（C）沿 x 轴正向上升且向上凹（D）沿 x 轴正向上升且向下凹6 设 f(x)= 一 1，g(x)=x 2，则当 x0 时 ( )（A）f(x)是比 g(x)高阶的无穷小（B） f(x)是比 g(x)低阶的无穷小（C） f(x)与 g(x)是同阶的无穷小，但不是等价无穷小（D）f(x)与 g(x)是等价无穷小7 中心在(一 1，2，一 2)且与 xOy 平面相切的球面方程是 ( )（A）(x+1) 2+(y 一 2
3、)2+(z+2)2=4（B） (x+1)2+(y 一 2)2+(z+2)2=2（C） x2+y2+z2=4（D）x 2+y2+z2=28 函数 z=xy 在点(0 ，0)处 ( )（A）有极大值（B）有极小值（C）不是驻点（D）无极值9 已知曲线 y=y(x)过原点，且在原点处的切线平行于直线 xy+6=0，又 y=yy(x)满足微分方程(y“) 2=1 一(y) 2，则此曲线方程是 y= ( )（A）一 sin x（B） sin x（C） cos x（D）一 cos x10 设 f(x，y)为连续，二次积分 02dxx2f(x，y)dy 交换积分次序后等于 ( )（A） 02dy0yf(x，
4、y)dx（B） 01dy0yf(x，y)dx（C） 02dyy2f(x，y)dx（D） 02dy02f(x，y)dx二、填空题11 若 ，则 k=_12 要使 y=arcsinau(a0)，u=2+x 2 能构成复合函数，则 a 取值范围是_13 设 f(x)= 且 f(x)在点 x=0 处连续，则 a=_14 已知由方程 x2+y2=e 确定函数 y=y(x)，则15 已知f(x)dx=2 x+sinx+C，则 f(x)=_16 设 f(2)=1， 02f(x)dx=1，则 02xf(x)dx=_17 过原点且与平面 2xy+3z+5=0 平行的平面方程为_18 函数 f(x， y)=x3+
5、y3 一 9xy+27 的极小值点是_19 级数 绝对收敛的充要条件是_20 微分方程 x(y)2 一 2xy+x=0 的阶数是_21 22 试证：当 x0 时，有不等式 xsin x23 已知直线 L： 平面 ：一 x+2yz+4=0，试确定 m，n的值，使得直线 L 在平面 上24 已知 f()=1，且 0f(x)+f“(x)sin xdx=3，求 f(0)25 设 f(x，y)=cos(x 2y)，求26 求函数 y=x3 一 3x2 一 9x+1 的极值27 将函数 f(x)=ln(1+x 一 2x2)展开为 x0=0 的幂级数28 设 f(x)为连续函数，且满足 f(x)=x0xf(
6、t)dt0xtf(t)dt+x3，试求 f(x)专升本（高等数学一）模拟试卷 97 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设有 y=2ax，则在(0，+)上 2ax0所以必有 a0 且 c 为任意实数故选 B.2 【正确答案】 A【试题解析】 由题意得微分方程的特征方程为 r2+1=0，故 r=i 为共轭复根，于是通解为 y=C1cos x+C2sin x3 【正确答案】 A【试题解析】 故选 A4 【正确答案】 D【试题解析】 平面 ：x+2yz+3=0 的法向量 n=1，2，一 1，的方向向量 s=3，一 1，1，(x 0，y 0，z 0)=(1，一1，2)因为 31+
7、(一 1)2+1(-1)=0，所以直线与平面平行，又点(1，一 1，2)满足平面方程(即直线 l 上的点在平面 上) ，因此直线在平面上故选 D5 【正确答案】 B【试题解析】 当 axb 时，f(x)0，因此曲线弧 y=f(x)在(a，b)内下降由于在(a， b)内 f“(x)0，因此曲线弧 y=f(x)在(a，b)内下凹故选 B6 【正确答案】 C【试题解析】 7 【正确答案】 A【试题解析】 已知球心为(-1，2，一 2)，则代入球面标准方程为(x+1) 2+(y 一 2)2+(z+2)2=r2又与 xOy 平面相切，则 r=2故选 A8 【正确答案】 D【试题解析】 由 z=xy 得
8、解得驻点(00)又因为 A=z“xx|(0,0)=0， B=z“xy|(0,0)=1，C=z“ yy|(0,0)=0，B 2 一 AC=10，所以在(0，0)处无极值故选D9 【正确答案】 B【试题解析】 要选函数根据题设应满足三个条件：(1)y(0)=0，(2)在原点处斜率k=1，(3) 代入(y“) 2=1 一(y) 2 应成立故逐个验证后应选 B。10 【正确答案】 A【试题解析】 积分区域 D 可以表示为 0x2，xy2，其图形如图中阴影部分所示交换积分次序，D 也可以表示为 0y2，0xy，因此 02dxx2f(x，y)dy=02dy0yf(x，y)dx，故选 A.二、填空题11 【
9、正确答案】 2【试题解析】 这是检查第二类重要极限的题因为所以由条件等式有 e-5k=一 e-10，即5k=10，k=2 12 【正确答案】 【试题解析】 因为由常见函数 y=arcsinQ(x)，这里的 |Q(x)|1，一 1Q(x)1，即一1au1，0a(2+x 2)1，有 02aa(2+x 2)1，得 又由 a0 可知 a 的取值范围为 0a13 【正确答案】 0【试题解析】 由 可知当f(x)在 x=0 处连续时，必有 从而 a=014 【正确答案】 【试题解析】 此题是隐函数求导数的题且同时检查了反函数的导数等于原函数导数的倒数 .具体解法是：在 x2+y2=e 两侧关于 x 求导数
10、，得 2x+2yy=0， y=15 【正确答案】 2 xln2+cos x【试题解析】 这是求原函数的题，等式右侧的导数应该为 f(x)即 f(x)=(2x+sin x+C)=2xln2+cos x16 【正确答案】 1【试题解析】 由分部积分公式有： 02xf(x)dx=02xdf(x)=xf(x)|0202f(x)dx=2f(2)一02f(x)dx=211=117 【正确答案】 2xy+3z=0【试题解析】 已知平面 1：2x 一 y+3z+5=0 的法向量 n1=2，一 1，3所求平面1，则平面 的法向量 nn1，可以取 n=n1=2，一 1，3由于所求平面过原点，由平面的点法式方程，得
11、 2xy+3z=0 为所求平面方程18 【正确答案】 (3，3)【试题解析】 这是二元函数求极值的题令 解得驻点为(3，3)，(0，0)f“ xx=6x，f“ xy=一 9，f“ yy=6y.当 时， A=fxx“(3，3)=18，B=f“ xy(3，3)=一 9， C=f“yy(3，3)=18，B 2 一 AC0，且 A=18 0，所以在(3 ，3)处 f(x，y)取得极小值；当 时，A=f“ xx(0，0)=0，B=f“ xy(00)= 一 9，C=f“ yy(0，0)=0 ，B 2一 AC0，所以点(0，0)不是 f(c，y)的极值点19 【正确答案】 |a|120 【正确答案】 121
12、 【正确答案】 令 ，则 x=t2，dx=2tdt 当 x=1 时，t=1；当 x=4 时，t=2 22 【正确答案】 先证 xsin x(x0)设 f(x)=xsin x，则 f(x)=1 一 cos x0(x0) ，所以 f(x)为单调递增函数，于是对 x0 有 f(x)f(0)=0，即 xsin x0，亦即xsin x(x0) g(x)=cosx-1+x 则 g“(x)=-sinx+10 所以g(x)单调递增，又 g(0)=0，可知 g(x)g(0)=0(x 0)，那么有 g(x)单调递增又g(0)=0，可知 g(x)g(0)=0(x0)，综上可得：当 x0 时，xsin x23 【正确
13、答案】 要使直线 L 在平面 上，只要直线 L 平行于平面 ，且有一点在平面 上即可直线 L 的方向向量为 s=2，一 1，m，平面丌的法线向量为n=一 n，2，一 1，由直线平行于平面丌得 s.n=0，即 一 2n 一 2 一 m=0 又点P(1，一 2，一 1)为直线 L 上的点，把此点的坐标代入平面 的方程得 一 n4+1+4=0 24 【正确答案】 因为 0f(x)+f“(x)sin xdx=0f(x)sin xdx+0f“(x)sin xdx， 而 0f“(x)sinxdx=0sinxdf(x) =sin x.f(x)|0一 0f(x)cos xdx =一 0cos xdf(x) =
14、一 f(x)cos x|00f(x)sin xdx =f()+f(0)一 0f(x)sin xdx， 所以 0f(x)+f“(x)sin xdx=f()+f(0)=3 又 f()=1，所以 f(0)=225 【正确答案】 26 【正确答案】 由于 y=x3 一 3x2 一 9x+1 的定义域为(一+)y=3x 2 一 6x 一9，令 y=0，得驻点 x1=一 1，x 2=3，y“=6x 一 6，y“(一 1)0，y“(3)0，故 f(一 1)=6 为极大值，f(3)=一 26 为极小值27 【正确答案】 因为 1+x 一 2x2=(1+2x)(1 一 x)，所以 ln(1+x 一 2x2)=l
15、n(1+2x)+ln(1一 x)28 【正确答案】 由所给关系式两边求导，得 f(x)= 0xf(t)dt+xf(x)一 xf(x)+3x2=0xf(t)dt+3x2，上式再次求导，得 f“(x)=f(x)+6x ，即 f“(x)一 f(x)=6x，这是二阶常系数非齐次线性微分方程，对应齐次方程为 f“(x)一 f(x)=0，其特征方程为 2 一 1=0，有两个根 1=1， 2=一 1于是齐次方程的通解为 f(x)=C 1ex+C2e-x(C1，C 2 为任意常数)由于 =0 不是特征根，设 f“(x)=Ax+B，把它代入所给方程，得一 AxB=6x，比较同次幂系数，得 A=一 6，B=0，于是求得一特解为 f*(x)=一 6x，故所给方程f“(x)一 f(x)=6x 的通解为 f(x)=C 1ex+C2e-x 一 6x(C1，C 2 为任意常数)又由题设及f(x)表达式，知 f(0)=0，f(0)=0，从而得故 f(x)=3ex 一 3e-x 一 6x
