1、专升本（高等数学一）模拟试卷 88 及答案与解析一、选择题1 = 【 】（A）0（B）（C） 1（D）22 设有直线 ，则该直线 【 】（A）过原点且垂直于 x 轴（B）过原点且垂直于 y 轴（C）过原点且垂直于 z 轴（D）不过原点也不垂直于坐标轴3 下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是 【 】（A）f(x)= ，x 2， 0（B） f(x)=(x4) 2，x2，4（C） f(x)=sinx，x（D）f(x)=x，x 1，14 若 收敛，则下面命题正确的是 【 】5 设 y1(x)，y 2(x)是二阶常系数线性微分方程 y+py+qy=0 的两个线性无关的解，则它的通解为 【 】 注：c
2、 1，c 2 为任意常数（A）y 1(x)+C2y2(x)（B） c1y1(x)+y2(x)（C） y1(x)+y2(x)（D）c 1y1(x)+c2y2(x)6 设 k0，则级数 为 【 】（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）收敛性与 k 有关7 y=lnx，则 y= 【 】8 设区域 D=(x，y)x 2+y21，x0，y0，则在极坐标系下，二重积分dxdy 可表示为 【 】9 已知曲线 y=y(x)过原点，且在原点处的切线平行于直线 xy+6=0，又 y=y(x)满足微分方程(y) 2=1(y) 2，则此曲线方程是 y= 【 】（A）sinx（B） sinx（C） cosx（D）
3、cosx10 设 unavn(n=1，2，)(a0)，且 收敛，则 【 】（A）必定收敛（B）必定发散（C）收敛性与 a 有关（D）上述三个结论都不正确二、填空题11 =_12 设 y= ，则 y=_13 设 y=2x.x2+sin2，则 y=_14 y+8y=0 的特征方程是 _15 D 是由 x 轴，y 轴及直线 x+y=1 围成的三角形区域，则 xydxdy_16 已知平面 ：2x+y 3z+2=0，则过原点且与 垂直的直线方程为_17 设 z=ln(x2+ )，则 dz=_18 函数 y=x55x+5 在区间 1，5上的最小值是_19 交换二重积分次序 f(x，y)dy=_ 20 过点
4、 M0(1，2，0)且与直线 垂直的平面方程为_21 求 y= 的一阶导数 y22 求23 求函数 y=1+ 的凹凸性区间及拐点24 设 f(x)= 计算 02f(x1)dx25 求多元复合函数 z=2u+v2 的一阶偏导数，u=x+y，u=xy 226 设由 y=x2，x=y 2 围成的薄片的密度函数为 (x， y)=xy，求该薄片的质量27 求微分方程 y+3y+2y=6ex 的通解28 某厂要生产容积为 V0 的圆柱形罐头盒，问怎样设计才能使所用材料最省 ?专升本（高等数学一）模拟试卷 88 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 注意所给极限为 x，它不是重要极限的形式，
5、由于 即当 x时， 为无穷小量而 sin2x 为有界函数，利用无穷小量性质可知故选 A2 【正确答案】 B【试题解析】 将原点坐标(0，0，0)代入方程，等式成立，则直线过原点；由于所给直线的方向向量 s=1，0，2，而 y 轴正方向上的单位向量 i=0，1，0，s.i=10+01+(2)0=0 因此 si，即所给直线与 y 轴垂直故选 B3 【正确答案】 C【试题解析】 罗尔定理条件主要检查三条A 中 f(x)= 在 x=0 处无定义；B 中f(x)=(x4) 2，f(2)=36f(4)=0；C 中 f(x)=sinx 在 上连续，在内可导且 =1；D 中 f(x)=x在1，1上不可导故选C
6、4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 收敛，所以 =0故选 D5 【正确答案】 D6 【正确答案】 A7 【正确答案】 C【试题解析】 y=lnx，y= ，y= 故选 C8 【正确答案】 C【试题解析】 因为区域 D：x 2+y21，x0，y0，令 有 0r1，0则 故选 C9 【正确答案】 B【试题解析】 要选函数根据题设应满足三个条件：(1)y(0)=0，(2)在原点处斜率k=1，(3) 代入(y) 2=1(y) 2 应成立故逐个验证后应选 B10 【正确答案】 D【试题解析】 由正项级数的比较判定法知，若 unvn，则当也发散，但题设未交待 un 与 vn 的正负性，由此可分析此题选
7、D二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 2 xx2ln2+2x+1x【试题解析】 已知 y=2x.x2+sin2，则 y=2xln2.x2+2x.2x=2xx2ln2+2x+1x14 【正确答案】 r 2+8r=0【试题解析】 本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特征方程的概念y+8y=0 的特征方程为 r2+8r=015 【正确答案】 16 【正确答案】 【试题解析】 已知平面 ：2x+y3z+2=0，其法向量 n=2，1，3又知直线与平面 垂直，则直线的方向向量为 s=2，1，3，所以直线方程为即17 【正确答案】 【试题解析
8、】 18 【正确答案】 y x=1=1【试题解析】 y=5x 45，在区间1，5上 y0 所以 y=x55x+5 在1 ，5上为增函数，最小值为 y x=1=119 【正确答案】 【试题解析】 因为 ，所以其区域如图所示，所以先对 x 的积分为20 【正确答案】 3(x1)(y+2)+z=0( 或 3xy+z=5)【试题解析】 因为直线的方向向量 s=3，1，1，且平面与直线垂直，所以平面的法向量 n=3，1，1由点法式方程有平面方程为：3(x1)(y+2)+(z0)=0，即 3(x1)(y+2)+z=021 【正确答案】 两边取对数得 两边对 x 求导得22 【正确答案】 所以原式=e 0=
9、123 【正确答案】 函数的定义域为(，3)( 3，+)令 y=0，得 x=6；不可导点为 x=3故拐点为(6，)，(，3)和(3，6)为凸区间，(6，+)为凹区间24 【正确答案】 由题知 f(x1)= 所以 12f(x1)dx= 01(1+ex1 )dx+12 dx=1+ex1 01+lnx 12=2 +ln225 【正确答案】 将中间变量代入，后求偏导数因 z=2x+y+(xy2)2=2x.2y+x2.y4 所以=2xln2.2y+2x.y4=2x+yln2+2xy4， =2x.2y.ln2+x226 【正确答案】 设平面薄片在 xOy 平面占有的区域为 D，于是 D 可表示为故薄片的质
10、量27 【正确答案】 原方程对应的齐次方程为 y+3y+2y=0 ， 对应的特征方程为2+3+2=0， 特征值为 1=2， 2=1 齐次方程的通解为 Y=C 1e2x +C2ex 设特解为 y=Aex，代入原方程有 6A=6，得 A=1 所以原方程的通解为 y=Y+y=C1e2x +C28 【正确答案】 设圆柱形罐头盒的底圆半径为 r，高为 h，表面积为 S，则S=2r2+2rh V0=r2h 由得 h= 代入 得 S=2r2+ ，r(0，+)现在的问题归结为求 r 在(0 ，+)上取何值时，函数 S 在其上的值最小S=4r 令S=0，得 r= 由，当 r= 时，相应的 h 为：h= =2r 可见当所做罐头盒的高与底圆直径相等时，所用材料最省
