1、专升本（高等数学一）模拟试卷 80 及答案与解析一、选择题1 若f(x)dx=xln(x+1)+C，则 等于（A）2（B）一 2（C）一 1（D）12 若 f(x 一 1)=x2 一 1，则 f(x)等于（A）2x+2（B） x(x+1)（C） x(x 一 1)（D）2x 一 13 设函数 f(x)满足 f(sin2x)=cos2x，且 f(0)=0，则 f(x)=4 函数 z=x2 一 zy+y2+9x 一 6y+20 有（A）极大值 f(4，1)=63（B）极大值 f(0，0)=20（C）极大值 f(一 4，1)= 一 1（D）极小值 f(一 4，1)=一 15 当 x0 时，与 x 等价
2、的无穷小量是（A）（B） ln(1+x)（C）（D）x 2(x+1)6 使 1 一 f(x)dx=1 成立的 f(x)为7 级数 是（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）无法确定敛散性8 方程 z=x2+y2 表示的曲面是（A）椭球面（B）旋转抛物面（C）球面（D）圆锥面9 已知 f(xy， x 一 y)=x2+y2，则 等于（A）2（B） 2x（C） 2y（D）2x+2y10 微分方程 y“一 7y+12y=0 的通解为（A）y=C 1e3x+C2e 一 4x（B） y=C1e3x+C2e4x（C） y=C1e3x+C2e4x（D）y=C 1e 一 3x+C2e 一 4x二、填空题11
3、 函数 的单调递减区间是_12 设 f“(x)连续，13 设 D 是圆域 x2+y2a2，则 I=_14 设 f(x)=ax3 一 6ax2+6 在区间一 1，2的最大值为 2，最小值为一 29，又知a0，则 a，b 的取值为_ 15 设曲线 则该曲线的铅直渐近线为_16 当 P_时，级数 收敛17 求18 幂级数 的收敛半径 R=_19 方程 y“一 2y+5y=exsin2x 的特解可设为 y*=_20 21 确定函数 f(x，y)=3axy 一 x3 一 y3(a0) 的极值点22 23 讨论级数 的敛散性24 25 证明：e x1+x(x0) 26 设 x0 时 f(x)可导，且满足
4、f(x)=1+ f(t)dt，求 f(x)27 求方程 y“一 2y+5y=ex 的通解28 设 f(x)=0a 一 xey(2a 一 y)dy，求 0af(x)dx(提示：利用二重积分交换顺序去计算)专升本（高等数学一）模拟试卷 80 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 因f(x)dx=xln(x+1)+C，所以2 【正确答案】 A【试题解析】 因 f(x 一 1)=x2 一 1，故 f(x)=x+1)2 一 1=x2+2x，则 f(x)=2x+23 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(sin2x)=cos2x，知 f(sin2x)= 1 一 sin2x令 u=sin2x
5、，故 f(u)=1 一u所以 f(u)=u 一 +C，由 f(0)=0，得 C=0所以 f(x)=4 【正确答案】 D【试题解析】 因 z=x2 一 xy+y2+9x 一 6y+20，于是 =一 x+2y 一 6。故对于点(一 4，1)，A=2 B=一 1，C=2，B 2 一 AC=一 35 【正确答案】 B【试题解析】 对于选项 A， 是在 x0 时的比 x低阶的无穷小；对于选项 B， 1，故 ln(1+x)是 x0 时与 x 等价的无穷小；对于选项 C， 是 x0时与 x 同阶非等价的无穷小；对于选项 D， 故(x+1) 是x0 时的比 x 高阶的无穷小6 【正确答案】 A【试题解析】 对
6、于选项 A， =1，故此积分收敛，且收敛于 1；对于选项 B， 存在；对于选项， 1+f(x)dx=1+f(x)e 一 xdx=一 e 一 x|1+=e 一 1，故此积分收敛，但收敛于 e 一 1；对于选项D， 1+f(x)dx= 故此积分收敛，但收敛于 故选 A7 【正确答案】 A【试题解析】 因 故原级数等价于 所以级数绝对收敛8 【正确答案】 B【试题解析】 旋转抛物面的方程为 z=x2+y29 【正确答案】 A【试题解析】 因 f(xy，xy)=x 2+y2y)2+2xy，故 f(x，y)=y 2+2x，从而10 【正确答案】 C【试题解析】 因方程 y“一 7y+12y=0 的特征方
7、程为 r2 一 7r+12=0，于是有特征根r1=3，r 2=4。故微分方程的通解为 y=C1e3x+C2e4x二、填空题11 【正确答案】 0x【试题解析】 令 F(x)=0，得 故当0x 时，F(x)0，F(x)单调递减12 【正确答案】 yf“(xy)+f(x+y)+yf“(x+y)【试题解析】 13 【正确答案】 0【试题解析】 用极坐标计算14 【正确答案】 【试题解析】 f(x)=3ax 2 一 12ax，f(x)=0，则 x=0 或 x=4，而 x=4 不在 一 1，2中，故舍去f“(x)=6ax 一 12a,f“(0)=一 12a，因为 a0，所以 f“(0)0，所以 x=0
8、是极值点又因 f(一 1)=一 a 一 6a+b=b 一 7a，f(0)=b，f(2)=8a 一 24a+b=b 一 16a，因为 a0，故当 x=0 时，f(x)最大，即 b=2；当 x=2 时，f(x)最小所以 b 一 16a=一29，即 16a=2+29=31，故15 【正确答案】 x=一 1【试题解析】 故铅直渐近线为 x=一 116 【正确答案】 1【试题解析】 因 当 p1 时收敛，由比较判别法知 p1 时，收敛。17 【正确答案】 【试题解析】 18 【正确答案】 1【试题解析】 19 【正确答案】 xe x(Asin2x+Bcos2x)【试题解析】 由特征方程为 r2 一 2r
9、+5=0，得特征根为 12i，而非齐次项为exsin2x，因此其特解应设为 y*=Axexsin2x+Bxexcos2x=xex(Asin2x+Bcos2x)20 【正确答案】 【试题解析】 21 【正确答案】 在(0，0)点，0，所以(0，0)不是极值点在 (a，a)点，0，且 =一 6a0(n0)，故(a，a)是极大值点22 【正确答案】 23 【正确答案】 所以级数收敛24 【正确答案】 25 【正确答案】 对 F(x)=ex 在0，x上使用拉格朗日中值定理得 F(x)一 F(0)=F()x，0x，因 F()=e1，即 ，故 exx+1(x0)26 【正确答案】 因 f(x)=1+ 可导
10、，在该式两边乘 x 得 xf(x)=x+1x(t)dt，两边对 x 求导得 f(x)+xf(x)=1+f(x)，所以 则 f(x)=lnx+C，再由 x=1 时，f(1)=1，得 C=1，故 f(x)=lnx+127 【正确答案】 y“一 2y+5y=0 的特征方程为 r2 一 2r+5=0，故特征根为 r=12i，非齐次项的特解可设为 y=Aex，代入原方程得 所以方程的通解为y=ex(C1cos2x+C2sin2x)+28 【正确答案】 将 f(x)代入有 0af(x)dx=0adx0a 一 yey(2a 一 y)dy=0ady0a 一 yey(2a 一 y)dx=0a(a 一 y)ey(2a 一 y)dy=0a(a 一 y)ea2(a 一 y)dy
