1、专升本（高等数学一）模拟试卷 28 及答案与解析一、选择题1 设函数 在 x=0 处连续，则 a 等于( )（A）0（B） 1/2（C） 1（D）22 设 y=sin2x，则 y等于( )（A）-cos2x（B） cos2x（C） -2cos2x（D）2cos2x3 过曲线 y=xlnx 上 M0 点的切线平行于直线 y=2x，则切点 M0 的坐标是( )（A）(1 ，0)（B） (e，0)（C） (e，1)（D）(e，e)4 设 f(x)为连续函数，则( )等于( )（A）f(t)（B） f(t)-f(a)（C） f(x)（D）f(x)-f(a)5 若 x0 为 f(x)的极值点，则( )（
2、A）f(x0)必定存在，且 f(x0)=0（B） f(x0)必定存在，但 f(x0)不一定等于零（C） f(x0)不存在或 f(x0)=0（D）f(x0)必定不存在6 等于( ) 7 平面 的位置关系为( )（A）垂直（B）斜交（C）平行（D）重合8 设 z=tan(xy)，则 等于( )9 级数 (k 为非零正常数)( ) （A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与 k 有关10 微分方程 y+y=0 的通解为 ( )（A）y=e x（B） y=e-x（C） y=Cex（D）y=Ce -x二、填空题11 设当 x0 时， 在点 x=0 处连续，当 x0 时，F(x)=-f(x)，则
3、 F(0)=_12 设 y=f(x)在点 x=0 处可导，且 x=0 为 f(x)的极值点，则 f(0)=_13 cosx 为 f(x)的一个原函数，则 f(x)=_14 设 ，其中 f(x)为连续函数，则 f(x)=_15 设 ，且 k 为常数，则 k=_16 微分方程 y=0 的通解为_17 设 z=ln(x2+y)，则 dz=_18 过 M0(1，-1，2) 且垂直于平面 2x-y+3z-1=0 的直线方程为_19 级数 的收敛区间为_20 21 22 设 y=y(x)由方程 X2+2y3+2xy+3y-x=1 确定，求 y23 设 x2 为 f(x)的原函数求 24 求曲线 y= 在点
4、(1，1) 处的切线方程25 求微分方程 的通解26 计算 ，其中 D 为曲线 y=x，y=1 ，x=0 围成的平面区域27 在第象限内的曲线上求一点 M(x，y)，使过该点的切线被两坐标轴所截线段的长度为最小28 求由曲线 y=2-x2，y=2x-1 及 x0 围成的平面图形的面积 S，以及此平面图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积专升本（高等数学一）模拟试卷 28 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为函数连续性的概念 由函数连续性的定义可知，若 f(x)在 x=0 处连续，则有 ，由题设 f(0)=a， 可知应有 a=1，故应选 C2 【正确答案】 D【试题
5、解析】 本题考查的知识点为复合函数求导数的链式法则Y=sin2x，则 y=cos(2x)(2x)=2cos2x 可知应选 D3 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的知识点为导数的几何意义由导数的几何意义可知，若 y=f(x)在点 x0 处可导，则曲线 y=f(x)在点(x0，f(x0)处必定存在切线，且切线的斜率为 f(x0)由于 y=xlnx，可知y=1+lnx，切线与已知直线 y=2x 平行，直线的斜率 k1=2，可知切线的斜率 k=k1=2，从而有1+lnx0=2，可解得 x0=e，从而知y0=x0lnx0=elne=e故切点 M0 的坐标为(e ， e)，可知应选 D4 【正确答案
6、】 C【试题解析】 本题考查的知识点为可变上限积分的求导性质 这是一个基本性质：若 f(x)为连续函数，则 必定可导，且 本题常见的错误是选 D，这是由于考生将积分的性质 与牛顿-莱布尼茨公式 混在了一起而引起的错误5 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为函数极值点的性质若 x0 为函数 y=f(x)的极值点，则可能出现两种情形：(1)f(x)在点 x0 处不可导，如 y=|x|，在点 x0=0 处 f(x)不可导，但是点 x0=0 为 f(a)=|x|的极值点(2)f(x)在点 x0 可导，则由极值的必要条件可知，必定有 f(x0)=0从题目的选项可知应选 C本题常见的错误是选
7、A其原因是考生将极值的必要条件： “若 f(x)在点 x0 可导，且 x0 为 f(x)的极值点，则必有 f(x0)=0”认为是极值的充分必要条件6 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查的知识点为不定积分基本公式 由于 可知应选 C7 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查的知识点为两平面的关系 两平面的关系可由两平面的法向量，n1，n2 间的关系确定 若 n1n2，则两平面必定垂直 若时，两平面平行； 当 时，两平面重合 若 n1 与 n2 既不垂直，也不平行，则两平面斜交 由于 n1=(1，-2，3)， n2=(2，1，0)，n1n2=0，可知 n1n2，因此 12，应选 A8 【正确答
8、案】 B【试题解析】 本题考查的知识点为偏导数运算 由于 z=tan(xy)，因此 可知应选 A9 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查的知识点为无穷级数的收敛性 由于收敛，可知所给级数绝对收敛10 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的知识点为一阶微分方程的求解 可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解 解法 1 将方程认作可分离变量方程 分离变量 两端分别积分 或 y=Ce -x 解法 2 将方程认作一阶线性微分方程由通解公式可得 解法 3 认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解： 特征方程为 r+1=0， 特征
9、根为 r=-1， 方程通解为 y=Ce -x二、填空题11 【正确答案】 1【试题解析】 本题考查的知识点为函数连续性的概念 由连续性的定义可知，若F(x)在点 x=0 连续，则必有 ，由题设可知 12 【正确答案】 0【试题解析】 本题考查的知识点为极值的必要条件由于 y=f(x)在点 x=0 可导，且 x=0 为 f(x)的极值点，由极值的必要条件可知有f(0)=013 【正确答案】 -sinx【试题解析】 本题考查的知识点为原函数的概念由于 cosx 为 f(x)的原函数，可知f(x)=(cosx)=-sinx14 【正确答案】 2e2x【试题解析】 本题考查的知识点为可变上限积分求导
10、由于 f(x)为连续函数，因此可对所给表达式两端关于 x 求导15 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为广义积分的计算 16 【正确答案】 y=C1【试题解析】 本题考查的知识点为微分方程通解的概念微分方程为 y=0dy=0 y=C17 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为求二元函数的全微分 通常求二元函数的全微分的思路为： 先求出 如果两个偏导数为连续函数，则可得知由题设 z=ln(x2+y)，令 u=x2+y，可得 当 X2+y0 时， 为连续函数，因此有 18 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为直线方程的求解 由于所求直线与平面垂直，因此直线的方向向量 s
11、 可取为已知平面的法向量 n=(2，-1，3)由直线的点向式方程可知所求直线方程为19 【正确答案】 (-1，1)【试题解析】 本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间 所给级数为不缺项情形 可知收敛半径 ，因此收敛区间为 (-1，1) 注：考试大纲中指出，收敛区间为(-R，R) ，不包括端点 本题一些考生填 1，这是误将收敛区间看作收敛半径，多数是由于考试时过于紧张而导致的错误20 【正确答案】 2【试题解析】 本题考查的知识点为二重积分的几何意义 由二重积分的几何意义可知，所给二重积分的值等于长为 1，宽为 2 的矩形的面积值，故为 2或由二重积分计算可知 21 【正确答案】 解法 1 原式
12、(两次利用洛必达法则) 解法 2 原式( 利用等价无穷小代换)【试题解析】 本题考查的知识点为用洛必达法则求极限 由于问题为“-”型极限问题，应先将求极限的函数通分，使所求极限化为“ ”型问题 如果将上式右端直接利用洛必达法则求之，则运算复杂注意到使用洛必达法则求极限时，如果能与等价无穷小代换相结合，则问题常能得到简化，由于当 x0 时，sinx x，因此 从而能简化运算 本题考生中常见的错误为：由于当 x0 时，sinxx ，因此 将等价无穷小代换在加减法运算中使用，这是不允许的22 【正确答案】 解法 1 将所给方程两端关于 x 求导，可得 2x+6y 2y+2(y+xy)+3y-1=0，
13、 整理可得 解法 2 令 F(x，y)=x 2+2y3+2xy+3y-x-1， 则【试题解析】 本题考查的知识点为隐函数求导法 y=y(x) 由方程 F(x，Y)=0 确定，求 y通常有两种方法： 一是将 F(x，y)=0 两端关于 x 求导，认定 y 为中间变量，得到含有 y的方程，从中解出 y 二是利用隐函数求导公式 其中Fx，Fy 分别为 F(x，y)=0 中 F(x，y)对第一个位置变元的偏导数与对第二个位置变元的偏导数 对于一些特殊情形，可以从 F(x，y)=0 中较易地解出 y=y(x)时，也可以先求出 y=y(x)，再直接求导23 【正确答案】 解法 1 由于 x2 为 f(x)
14、的原函数，因此 解法 2 由于 x2 为 f(x)的原函数，因此 【试题解析】 本题考查的知识点为定积分的计算24 【正确答案】 由于 所以 因此曲线 y= 在点 (1，1)处的切线方程为 或写为 x-2y+1=0【试题解析】 本题考查的知识点为曲线的切线方程25 【正确答案】 所给方程为一阶线性微分方程 其通解为 【试题解析】 本题考杏的知识点为求解一阶线性微分方程26 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为选择积分次序；计算二重积分 由于不能利用初等函数表示出来，因此应该将二重积分化为先对 x 积分后对 y积分的二此积分27 【正确答案】 【试题解析】 本题考查的知识点为函数的最大值、最小值应用题 这类问题的关键是先依条件和题中要求，建立数学模型 依题目要求需求 的最小值由于 L 为根式，为了简化运算，可以考虑 L2 的最小值这是应该学习的技巧28 【正确答案】 如图 10-2 所示【试题解析】 本题考查的知识点为利用定积分求平面图形的面积；利用定积分求旋转体体积需注意的是所给平面图形一部分位于 x 轴上方，而另一部分位于 x 轴下方而位于 x 轴下方的图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体包含于 x 轴上方的图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体之中，因此只需求出 x 轴上方图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积，即为所求旋转体体积
