1、专升本高等数学二（无穷级数）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题1 下列级数中为正项级数的是 ( )2 若 =0，则数项级数 ( )（A）收敛（B）发散（C）收敛且和为零（D）可能收敛也可能发散3 下列命题错误的是 ( )（A）若 (n+n)必收敛（B）若 (n+n)必发散（C）若 (n+n)不一定发散（D）若 (n+n)收敛，则级数 必都收敛4 下列级数中发散的是 ( )5 下列级数绝对收敛的是 ( )6 对任意的 n，有 an0，且 an 收敛， 应满足 ( )（A）1（B） 01（C） =1（D）07 下列正项级数收敛的是 ( )8 函数 在(3，3) 内展开成 x 的幂级数是 ( )二
2、、填空题9 设级数为 +，则它的一般项是_10 当 p=_时，级数 收敛11 设 n=(一 1)n1 (n=1，2，)，则级数 是_的，级数 n2 是_的12 幂级数 +的收敛半径为_13 幂级数 xn 的收敛域为_14 级数 的和为_15 在区间(1，1 内幂级数 xn1 的和函数是_16 函数 f(x)=2x 在 x=1 处幂级数的展开式为_17 判断 的敛散性18 根据 a 的取值情况，讨论级数 的敛散性19 判断 (n+1)2tan 的敛散性20 判断 的敛散性21 判断级数 的敛散性22 求下列幂级数的收敛半径和收敛域：23 求幂级数 (x 一 1)2n 的收敛域24 求幂级数 x
3、一 一的和函数，并求 25 将 f(x)=sin2x 展成 x 的幂级数专升本高等数学二（无穷级数）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 正项级数需满足 n0，A 项是交错级数，B 项一 1sinn1，所以 B也不是正项级数；D 项，当 a0 且 n 为奇数时 0，故 D 项也不是正项级数；1+(一 1)n0， 0 sin1，则(1+(一 1)n) 0，故 C 项是正项级数【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 D【试题解析】 an 收敛的必要条件，但不是充分条件，从例子 收敛可知 B错误，由 发散可知 A、C 错误，故选 D【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】
4、 D【试题解析】 对于选项 D，因为级数 (n n)取(11)+(11)时，不难看出结论错误【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 C【试题解析】 ，不满足级数收敛的必要条件，故选 C【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 A【试题解析】 1 的 p 级数，故收敛，则 绝对收敛【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 B【试题解析】 由比值判别法定义可知，当 0 收敛，故 01【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 C【试题解析】 由 发散，故 A 项级数发散；由积分判别法 (设函数 f(x)在1，+) 上非负且单调减少，则f(n) 与 1 f(x)dx 同敛散)可知，2 dx=lnlnx 2
5、=， 2 ，故 B 项级数发散，C 项级数收敛；=1，故 D 项级数发散【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 B【试题解析】 因 ，故选 B【知识模块】 无穷级数二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 级数前四项分别可以写为 观察前四项的规律可得级数的一般项为 【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 1【试题解析】 因 当 p1 时收敛，由比较判别法知 p1 时， 收敛【知识模块】 无穷级数11 【正确答案】 条件收敛，收敛【试题解析】 1 的 p 级数，故发散，但 n 满足莱布尼茨定理，故1 的 p 级数，故收敛【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 3【试题解析】 所给幂级数通项为
6、 ，所以收敛半径 R=3【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 (一 2，2【试题解析】 由 ，则收敛半径 R=2，而 x=2 时，级数 收敛；x= 一 2 时，级数 发散，所以收敛域为(一 2，2【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 【试题解析】 直接由几何级数求和知【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 ln(1+x)【试题解析】 令 S(x)= ，S(x)= xn1 =0xS(t)dt=0x dt=ln(1x)【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 (x1) n【试题解析】 因为 ex= ，x( 一 ，+)，所以 2x=22 x1 =2eln2x1 =2e(x1)ln2 =(x
7、 一 1)n，x(一，+)故 2 x= (x 一 1)n【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 因为 1，所以由比值判别法知该级数收敛【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 发散【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 因为对于任意正整数 n，都有 ，而对于正项级数 1，所以根据比值判别法可知正项级数 是收敛的，再由比较判别法得知正项级数是收敛的【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 (1) (2)= = ，R=0级数仅在 x=0 处收敛(3) 因满足莱布尼茨定理，收敛，由比值判别法知 收敛，故原级数收敛
8、，从而幂级数的收敛域为 (4) =(x 一 3)2，当(x 一 3)21，即x 一 31 时级数收敛，R=1当 x 一 3=1 时， 收敛，当 x 一 3=一 1 时， 收敛，故收敛域为x 一 31，即 x2，4 【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 令(x 一 1)2=t，则级数化为 tn =1R=1故级数在0t1，即一 1x 一 11 上收敛，而当 t=1 时，即 x=2 或 x=0 时，级数为 ，这是交错级数，由莱布尼茨定理知级数收敛级数在0，2上收敛【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 设所给级数的和函数为 S(x)，即 S(x)= 因为 S(x)= (一1x1) ，所以 S(x)=0xS(t)dt=0x dt，即 S(x)=arctanx，当 x=一 1 时，级数为是收敛的当 x=1 时，级数为 是收敛的于是 x 一 一=arctanz ( 一1x1)把 x= 代入 S(x)得【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数
