1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 46及答案与解析一、单项选择题1 设有直线 L： 及平面 ：2x+6y+4z1=0，则直线 L( )。（A）平行于 （B）在 上（C）垂直于 （D）与 斜交2 极限（A）0（B）（C） 1（D）3 已知 x 的多项式 则该多项式的常数项为( )。（A）4（B） 0（C） 1（D）44 下列说法正确的是( )。（A）单调数列必收敛（B）收敛数列必单调（C）有界数列必收敛（D）收敛数列必有界5 已知矩阵 则矩阵 A 的逆矩阵 A1 为( )。6 对某目标进行 100 次独立射击，假设每次射击击中目标的概率是 02，记 X 为100 次独立
2、射击中击中目标的总次数，则 E(X2)等于( )。（A）20（B） 200（C） 400（D）4167 被誉为中国人工智能之父，在几何定理的机器证实取得重大突破，并获得首届国家最高科学技术奖的数学家是( )。（A）张景中（B）吴文俊（C）华罗庚（D）陈景润8 普通高中数学课程标准（实验）设置了四个选修系列，其中选修系列 1 是为希望在人文社会科学等方面发展的学生而设置的，下列内容不属于选修系列 1 的是( )。（A）矩阵变换（B）推理与证明（C）导数及应用（D）常用逻辑用语二、简答题9 求过直线 L： 且平行于 z 轴的平面方程。10 设线性方程组 与方程组 x1+x2+ax3=a1 有公共解
3、，求 a 的值及所有公共解。11 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： ，其中 0m n。12 简述普通高中数学课程标准（实验）中必修课程内容确定的原则和选修课程内容确定的原则。13 简述数学概念学习的基本内容和形式。三、解答题14 设 h0，函数 f 在 U(a，h)内具有 n+2 阶连续导数，且 f(n+2)(a)0，f 在U（a，h）内的泰勒公式为四、论述题15 试论述如何在教材编写过程中做到素材的选取应体现数学的本质、联系实际、适应学生的特点。五、案例分析题15 案例：概念同化指从已有概念出发，理解并接纳新概念的过程，实质是利用演绎方式理解和掌握概念。由于数学中大多数概念是以属概念加种
4、差的方式定义的，所以适宜采用概念同化的方式进行教学。以“奇函数”概念教学为例简要说明概念同化的教学模式：(1)向学生提供“ 奇函数”概念的定义(2)解释定义中的词语、符号、式子所代表的含义突出概念刻画的是：对定义域中的任意一个自变量 x，考察 x 与x 对应的函数值f(x)与 f（x）之间的关系 f(x)=f(x)。因此函数的定义域应该关于原点对称，满足这个条件后再考察 f(x)=f(x)。(3)辨别例证，深化概念教师向学生提供丰富的概念例证，例证中以正例为主，但也要包含适当的反例，尤其是一些需要考察隐含条件的例子。(4)概念的运用提供各种形式来运用概念，达到强化对概念的理解，促进概念体系的建
5、构的目的，可以利用个别有一定综合性但难度不大的问题。问题：16 请举出反例说明(3)辨别例证，深化概念；17 请举例补充(4)概念的运用；18 请结合案例，总结出概念同化的教学模式的过程。六、教学设计题18 请以“直线与平面平行的判定” 为课题，完成下列教学设计。19 设计本节课的教学目标；20 设计本节课的教学重难点；21 写出新课引入和新知探究、巩固应用及设计意图等。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 46答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 直线 L 的方向向量 =7（4i 2j+k），平面 的法同量 n=(2，6 ，4) ，易知 ln。又直线
6、 L 上一点 不在平面 上，所以直线 L 平行于 。2 【正确答案】 C【试题解析】 利用等价无穷小量，当 x0 时，xe x1。本题中所以极限3 【正确答案】 A【试题解析】 根据行列式展开定理，所以该多项式的常数项为4 【正确答案】 D【试题解析】 由数列n知，选项 A 错误；由数列 知，选项 B 错误；由数列sinn知，选项 C 错误；选项 D 是收敛数列的有界性，正确。5 【正确答案】 D【试题解析】 所以A1=6 【正确答案】 D【试题解析】 X 服从二项分布，XB(100，02)，所以 E(X)=10002=20，D(X)=1000208=16。所以 E(X2)=D(X)+E(X)
7、2=16+202=416。7 【正确答案】 B【试题解析】 吴文俊被誉为中国人工智能之父，在几何定理的机器证实取得重大突破，并获得首届国家最高科学技术奖。8 【正确答案】 A【试题解析】 选修 11 的内容是：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修 12 的内容是：统计案例、推理与证明、数系扩充与复数的引入、框图。矩阵变换属于选修系列 4 的内容。所以选 A。二、简答题9 【正确答案】 平面一的法向量（2，4，1），平面二的法向量(1，3，5)，由=23i9j+10k，所以直线 L 的方向向量 l=(23，9，10)。设所求平面的法向量为 n=(x，y，z)，z 轴的方向向量为 m=
8、(0，0，1)，根据题意有ln=0， mn=0，有 23x9y+10z=0，z=0，所以 n=(9，23，0)，且平面过点所以平面的方程为 即所求平面方程为 9x23y5=0。10 【正确答案】 将方程联立 该方程组的解即为两个方程组的公共解。矩阵 经过线性变换得到 (1)当 a=1 时 r(A)= =23，方程组有无数组解，所以两个方程组有公共解 （k 为常数）。(2)当 a=2 时，r(A)= =3，方程组有唯一解 所以两个方程组有公共解为11 【正确答案】 设 f(x)=lnx，f(x)= ，因为函数 f(x)在m，n上满足拉格朗日中值定理，则在(m，n) 上存在一点 ，使得结论得证。1
9、2 【正确答案】 必修课程内容确定的原则是：满足未来公民的基本数学需求，为学生进一步的学习提供必要的数学准备。选修课程内容确定的原则是：满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学素养奠定基础。其中，系列 1 是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的，系列 2 则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的。系列 l、系列 2 内容是选修系列课程中的基础性内容。系列 3 和系列 4 是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内容反映了某些重要的数学思想，有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识，有利于学生终身的发展，有利于扩展学生的数
10、学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。13 【正确答案】 数学概念学习包括以下四个方面：第一，数学概念名称；第二，数学概念定义；第三，数学概念的例子；第四，数学概念属性。数学概念学习的形式一般有两种：第一，数学概念形成。数学概念形成的过程有以下几个阶段：(1)观察实例。(2)分析共同属性。(3)抽象本质属性。(4)确认本质属性。(5)概括定义。(6)符号表示。(7)具体运用。第二，数学概念同化。三、解答题14 【正确答案】 f 在 U(a，h)内带皮亚诺型余项的 n+2 阶泰勒公式为四、论述题15 【正确答案】 教材中素材的选取，首先要有助于反映相应数学内容的本质，
11、有助于学生对数学的认识和理解，激发他们学习数学的兴趣，充分考虑学生的心理特征和认知水平。素材应具有基础性、时代性、典型性、多样性和可接受性。高中学生已经具有较丰富的生活经验和一定的科学知识。因此，教材中应选择学生感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，现实世界中的常见现象或其他科学的实例，展现数学的概念、结论，体现数学的思想、方法，反映数学的应用，使学生感到数学就在自己身边，数学的应用无处不在。例如，在统计内容中，可以选择具有丰富生活背景的案例，展示统计思想和方法的广泛应用；通过行星运动的轨迹、凸凹镜等说明圆锥曲线的意义和应用；通过速度的变化率、体积的膨胀率，以及效率、密度等大量丰富的现实背景引
12、入导数的概念。五、案例分析题16 【正确答案】 例如 f(x)=sinx，x0，2，定义域不关于原点对称;f(x)=2 和f(x)=h(x)+h（x），不满足 f(x）=f(x)。17 【正确答案】 如：已知奇函数 f(x)在区间 3，1上是增函数，且有最大值2，那么 f（x）在区间1，3上的最小值是多少？18 【正确答案】 概念同化的心理过程如图所示：由于概念同化属于有意义的接受学习，所以要使学生有意义地同化新概念，要求：新概念具有逻辑意义；学生的认知结构中具备同化新概念的适当知识；学生具有学习新概念的积极心向。所以概念同化的教学过程可以设计为：提供概念定义解释概念定义辨别例证概念运用并纳入
13、体系。六、教学设计题19 【正确答案】 教学目标知识与技能：理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法，并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。过程与方法：通过直观感知一观察一操作确认的认识方法，在过程中逐渐培养观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。情感、态度与价值观：在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。20 【正确答案】 教学重点与难点重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立体空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。21 【正确答案】 教学过程设计知识准
14、备、新课引入提问 1：根据公共点的情况，空间中直线 a 和 平面有哪几种位置关系？学生小组内讨论后，得出结论。提问 2：根据直线与平面平行的定义（没有公共点）来判定直线与平面平行，你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。（设计意图：通过提问，学生复习并归纳空间直线与平面位置关系而引入本节课题，并为探寻直线与平面平行判定定理做好准备。）判定定理的探求过程1)直观感知提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？生 1：日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。生 2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行（由学生到教室门前做演示）
15、，然后教师用多媒体动画演示。2)动手实践教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置时，给人以平行的感觉，而当把直角所在的腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置时，给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师与前、后墙面平行（老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上傲上述情形的演示）。（设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素是什么，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学，
16、领悟空间观念与空间图形性质。）3)探究思考上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起了作用呢？通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：第一，平面外一条线；第二，平面内一条直线；第三，这两条直线平行。如果平面外的直线口与平面内的一条直线 b 平行，那么直线 a 与平面平行吗？4)归纳确认：（多媒体幻灯片演示）直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。简单概括：（内外）线线平行线面平行。作用：判定或证明线面平行。关键：在平面内找（或作）出一条直线与面外的直线平行。思想：空间问题转化为平面问题定理运用，问题探究（多媒体幻灯片
17、演示）判断下列命题的真假？说明理由：1)如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行。( )2)过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行。( )3)一直线上有二个点到平面的距离相等，则这条直线与平面平行。( )设 a、b 是二异面直线，则过 a、b 外一点 p 且与 a、b 都平行的平面存在吗？若存在请画出平面，不存在说明理由？先由学生讨论交流，教师提问，然后教师总结，并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程，最后借多媒体展示作图的动画过程。（设计意图：这是一道动手操作的问题，不仅是为了加深对定理的认识，更重要的是培养学生空间感与思维的严谨性。）总结先由学生口头总结，然后教师归纳总结（由多媒体幻灯片展示）：1)线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与这个平面平行。2)定理的符号表示：简述：（内外）线线平行则线面平行。3)定理运用的关键是找（作）面内的线与面外的线平行，途径有：取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等。
