1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 44及答案与解析一、单项选择题1 过点 P(2，0，1)与直线 平行的直线方程是 ( )。2 函数（A）定义域相同，值域相同（B）定义域不同，值域不同（C）定义域相同，值域不同（D）定义域不同，值域相同3 设 则 A1=( )。4 幂级数 的收敛域是( )。（A）（一 1，1）（B） 1，1）（C） (一 1，1（D）1，15 已知三维向量空间的基为 1=(1，1，0)， 2=(1， 0，1)， 3=(0，1，1)，则向量=(2，0，0) 在此基底下的坐标是( )。（A）(2 ，0，0)（B） (1，1，一 1)（C） (1，0，一
2、1)（D）(0 ，0，0)6 设 P(A)=a， P（B）=b ， P（AB）=c，则 =( )。（A）ab（B） cb（C） a(1b)（D）ca7 古希腊的三大闻名几何尺规作图问题是( )。三等分角立方倍积正十七边形化圆为方（A）（B） （C） （D）8 设 X 是一个集合，p=XXR，如果关于任何 x，y，z X，有（i)（x，y)0，并且 p(x，y)=0 ，当且仅当 x=y；(ii)p(x，y)=(y，x)；(iii)（x，z）p(x，y)+(y，z) ，则称 是集合 X 的一个度量。此度量的定义方式是( )。（A）公理式定义（B）外延式定义（C）属种差异式定义（D）递归式定义二、简
3、答题9 求由 y=|lnx|与直线 x= ，x=10 和 x 轴所围成图形的面积。10 用克拉默法则解方程组：10 已知连续型随机 X 的概率密度为 求：11 k；12 分布函数 F(x)；13 P（15x25）。14 为什么说平面向量改变了中学数学内容的结构？15 分别解释学习心理学中“同化” 与“顺应”的含义，并举例说明 “同化”在数学概念学习中的作用。三、解答题16 已知矩阵 (1)求矩阵 A 的全部特征值和特征向量； (2)A 是否相似于对角阵，若是，写出与其相似的对角阵，并求一可逆矩阵 T，使 T1AT 为对角阵；(3)计算 A100 。四、论述题17 普通高中数学课程标准（实验）指
4、出：“注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力”“ 在数学教学中，应注重发展学生的应用意识 ”。请叙述如何发展高中生的应用意识和能力，并举例说明。五、案例分析题17 案例：阅读下列三位教师关于“ 直线与平面垂直的判定 ”的教学片段。教师甲的引入：教师甲：同学们，空间直线与平面有哪几种位置关系？学生边演示边叙述，得到直线与平面的三种位置关系。教师：直线在平面内，直线与平面的平行已研究过，直线与平面相交成为今天要研究的问题。在日常生活中，你见过哪些情景可以抽象成直线与平面相交？举例说明。学生：日光灯的掉线与天花板相交；房子的柱子与天花板相交；插在碗里的筷子与平的碗底相交。教师：想象力丰富
5、。生活中确实有很多例子。例如，墙角与地面（图片展示），小区的建筑，竹竿与水平面以及古诗词中的自然景观“大漠孤烟直” ，“一行白鹭上青天”。在直线与平面相交的模型中，你认为哪种相交最特殊？学生：直线与平面垂直。教师：今天我们就研究这种关系。（板书课题）教师乙的引入：教师：（用 PPT 呈现龙卷风图片）同学们刚进教室看到这样的壮丽图片，联想起“大漠孤烟直 ”的美景，大家欣赏完之后是否想到立体几何中什么与什么的关系？学生：线面垂直。教师：很好，那生活中有没有这样的例子？学生：看电视时，视线与画面；电线杆与地面垂直。教师：这样的例子很多。比如，大桥桥柱与水面。正因为生活中有很多线与面垂直关系，所以几何
6、中有必要对此进行研究。这堂课就学习直线与平面垂直。（板书课题）教师丙的引入：教师：前面我们研究了直线与平面平行的判定与性质，今天我们要研究直线与平面的其他位置关系。（展示天安门广场上的国旗与旗杆）先请大家看一幅图：天安门广场的红旗迎风飘扬。再看另一幅图：一桥飞架南北，天堑变通途。请大家回答下面的问题。问题：请同学们观察图片，说出旗杆与地面，大桥桥柱与水平面是什么位置关系？学生：垂直。教师：从教学的角度看，就是什么与什么垂直。学生：线与面。教师：你还能举出一些类似的例子吗？想一想。（同时出示课题）学生 1：箱的边缘与地面。学生 2：立竿见影，竿与地面垂直。教师又展示跨栏跳高架的图片，说明跨栏的支
7、架与地面，跳高架立竿与地面是垂直关系，请大家参照旗杆与地面这种关系画出相应的几何图形。学生画图，教师在黑板上画出图。教师：为什么画成这样呢？这样直观性强，将直线画得与表示平面的平行四边形的一边垂直。教师：接着前面的内容的学习，下面我们要学习直线与平面垂直的定义、判定与性质。问题：18 三种引入方式各有什么特点？19 在(1)的基础上，给出你对课题引入的观点。六、教学设计题19 下面是某教师执教不等式的运用的教学过程。教学的具体环节如下：(1)揭示知识联系学生画均值不等式概念图，并展示，交流讨论，丰富概念图。（设计意图：引导学生总结梳理与均值不等式相关的知识结构，通过交流讨论，帮助学生完善知识结
8、构。）(2)通过正例同化：例 1：如果 a，b R+且 ab，求证：a3+b3a 2b+ab3。例 2：已知 a，b，c 都是小于 1 的正数，求证： (1a)b、(1b)c、（1c）。中至少有一个不大于 1/4。（设计意图：利用上述两例，结合一题多解方式，促进学生加深领会基础知识、基本技能、基本方法，并引导他们把专题知识结构同化到原有的认知结构中去。）(3)通过反例同化：例 3：求的最小值。(设计意图：_)(4)运用练习强化：练习题共三组，每组四道：第一组作为当堂练习，即时讲评；第二组为课堂作业，教师部分口头提示；第三组为自习作业，学生简答思路。（设计意图：安排难易适当、有梯度的题组，利用变
9、式教学引导学生在完善知识结构的同时回味、消化、强化所学知识。）请完成下列任务：20 请完成概念图中问号处的不等式；21 请补充完例 3 通过反例同化的设计意图；22 关于不等式的运用的教学过程，给出你的教学目标设计；23 请对上述这位教师执教不等式的运用的教学过程做出评价。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 44答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 直线 的方向向量为（7，2，8），所以所求直线方程为2 【正确答案】 B【试题解析】 函数 的定义域为1x1，且 y 不能等于 0；函数的定义域为1x1，且当 x=1 时，y=0。3 【正确答案】 C【试
10、题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 的收敛半径为 1，收敛区间为（一 1，1）。当 x=1 时，有交错级数 由莱布尼兹判别法知该级数收敛；当 x=1 时，有 p 级数 由 p 级数当p1 时发散，知该级数发散。所以，题干所述的幂级数的收敛域为1，1）。5 【正确答案】 B【试题解析】 设 =(2，0，0) 在此基底下的坐标是 (x1，x 2，x 3)，则有T=x11T+x21T+x33T=(1T， 2T， 3T) 即得一非齐次的线性方程组，对增广矩阵做初等行变换 所以 x1=1，x 2=1，x 3=1。6 【正确答案】 B【试题解析】 =P(ABB)=P(AB)P(B)=cb。7
11、 【正确答案】 B【试题解析】 大约在公元前 6 世纪至 4 世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三大尺规作图问题，这就是著名的古代几何作图三大难题：(1)三等分角问题：将任一个给定的角三等分；(2)立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍；(3)化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。8 【正确答案】 A【试题解析】 题干叙述的三条分别为度量的三条公理：正定性、对称性和三角不等式。即此度量的定义方式是以公理的形式给出的定义。二、简答题9 【正确答案】 10 【正确答案】 方程组的系数行列式 所以可以用克拉默法则，由于 所以方程组
12、的唯一解为11 【正确答案】 f(x）dx= 02（kx+1 ）=( x2+x）| 02=2k+2=1，所以 k=12 【正确答案】 当 x0 时，F(x)= 02f(x)dx=0；当 0x2 时，F（x）= 0xf(x)dx=0x(+1）dx= +x;当 x2 时， xf(x)=1。F(x)= 2f(x)dx=1。故分布函数13 【正确答案】 P(15x25)=F(25)一 F(1 5)= 。14 【正确答案】 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数和几何的一种工具。向量作为一个既有方向又有大小的量，在现代数学的发展中起着不可替代的作用。运算及其规律作为代数学的基本研究对象，贯
13、穿中学数学内容的始终。向量可以进行多种运算，并具有一系列丰富的性质，所以和数的运算相比，向量运算不仅扩充了运算的对象，还扩充了运算的性质。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。从小学开始，学生所接触的运算对象就在不断地扩展，从整数到分数，从正数到负数，从有理数到实数、复数，从数到字母、多项式等。数运算，字母、多项式运算，向量运算，函数、映射、变换运算，矩阵运算等都是数学中的基本运算。从数运算到字母运算，是运算的一次飞跃。从数运算到向量运算，是运算的又一次飞跃。具体的图形是中学数学内容的另一重要研究对象。向量可以用来表示空间中的点、线、面。如果以坐标系原点为起点，向量就与空间中的点建立了一
14、一对应关系；一点和一个非零向量可以唯一确定一条直线，它通过这个点且与给定向量垂直。在高维空间中，这种表示十分有用，还可以表示曲线、曲面。因此，向量可以描述、刻画、替代集合中的基本研究对象点、线、面，它也是几何研究的对象。向量是集合研究对象，这种认识很重要。在立体集合中，可用向量来讨论空间中点、线、面之间的位置关系；判断线线、线面、面面的平行与垂直，用向量来度量几何体；计算长度、角度、面积等。由此可见，平面向量扩展了中学的运算，丰富了图形的研究方法，为学生今后进一步学习其他数学内容，体会数学的真谛奠定了基础。15 【正确答案】 同化是指有机体面对一个新的刺激情景时，把刺激整合到已有的图式或认知结
15、构中。顺应是指当有机体不能利用原有图式接受和解释新刺激时，其认知结构发生改变来适应刺激的影响。同化论，强调新旧知识的相互作用涉及上位学习、下位学习、并列结合学习三种形式；强调概念和命题的不断分化和综合贯通：强调原有知识的巩固及教材由一般到个别的循序组织。实际应用中，要了解学生对新旧知识的掌握程度及接受能力，用耳熟能详的“已知” 内容去教导“未知”内容。比如我们在学习“ 椭圆” 的时候，可以从 “圆”类比着来学习。三、解答题16 【正确答案】 (1)由矩阵 A 的特征多项式 得所有特征值为 1 和 3：对于特征值 1解方程组 得特征向量(1，1)T。对于特征值 3，解方程组 得特征向量(1，1)
16、 T。(2)A 是相似于对角阵，令 就有 T1AT=四、论述题17 【正确答案】 通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值。帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学。在有关内容的教学中，教师应指导学生直接应用数学知识解决一些简单问题。高中数学课程中提供了基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，所以应多开展“数学建模”的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程。高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提
17、高实践能力。例如，运用函数、数列、不等式、统计等知识直接解决问题：还应通过数学建模活动引导学生从实际情境中发现问题，并归结为数学模型，尝试用数学知识和方法去解决问题；也可向学生介绍数学在社会中的广泛应用，鼓励学生注意数学应用的事例，开阔他们的视野。五、案例分析题18 【正确答案】 三位教师的引入各有特色。教师甲在直线与平面位置关系的数学中，以“在这些相交关系中，你认为哪种相交最特殊？” 引出课题，并伴以学生的动手操作、举例、想象和语言叙述。这一设计的特点是：注意知识的系统与联系：强调学生生活经验的作用。这样容易唤起在“直线与平面平行” 的学习中形成的经验，从而明确“研究什么 ”和“怎样研究”，
18、使学习的自觉性得到提高。教师乙利用一张生活图片提出“是否想到在立体几何中的什么与什么的关系” ，由于“诱导”过分明显，学生就不假思索地齐声回答 “线面垂直”。虽然有后面的师生分别举例，但课题引入任务由这一句话已经完成。虽然这一引入有单刀直入、开门见山的特点，但学生对看图片的意图、当前学习内容与已有知识与方法的联系与借鉴等都很难觉察到。另外，“ 线面垂直 ”的说法不好，至少提出得太早。另外，甲、乙两位老师用的“大漠孤烟直” 的情景不能很好地反映当前学习内容的本质，不是一个好情景。教师丙的引导语“ 前面我们研究了直线与平面平行的判定与性质，今天我们要研究直线与平面的其他位置关系”以及图片，目的都是
19、直指“ 要研究直线与平面垂直”。这样引入也稍嫌太快，学生对于“要学什么”“为什么要学”和“ 如何学”等的感知都不充分，要学的内容与已有经验的衔接不够自然。19 【正确答案】 良好的开端是成功的一半，课题引入是课堂教学的重要一环。教学设计中，应当重点考虑：如何利用新旧知识的联系与发展，以及学生相关的生活经验，创设问题情境，自然、亲切地引出学习内容；如何在课题引入中融入“学什么、为什么、怎么学” 的成分。六、教学设计题20 【正确答案】 第一行中间的问号应填入： 第二行中间的问号应填入：21 【正确答案】 例 3 的设计意图：通过例 3 剖析错解、引出正确的教学策略，把学生置于原有认知结构与新问题
20、矛盾的冲突之中，引导他们顺应新问题、新体会，调整原有认知结构从而达到新平衡。22 【正确答案】 知识与技能目标：掌握均值不等式，能根据问题条件的需要灵活运用均值不等式解决相关问题。过程与方法目标：通过相关知识的梳理，以及正例同化与反例顺应，优化认知结构，进一步发展恒等变形与转化化归的能力，发展思维的灵活性与创新性。情感态度与价值观目标：经历知识的系统化过程，感受数学知识的内在联系，领悟数学知识的生长规律；经历师生、生生交流、合作与探究、批判与反思，增进理性思维的发展，并获得成功的体验。23 【正确答案】 上述教学过程，基本符合教学要求、学生实际，反映了新课程的基本理念。而且，教学过程设计比较具体，可操作性强，能保证教学目标的实现。但有两个环节不容易把握：一是对知识结构梳理；二是利用反例顺应。这两个环节也是引导学生进行高水平认知活动的重要环节，对于学生的不同想法，教师应只引申和明确，不能限制学生的思路，要给教学的动态生成以充分的空间和时间。
