1、中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 38及答案与解析一、单项选择题1 数列极限2 假设 1， 2， 3， 1， 2 均为四维列向量，A=( 1， 2， 3， 1)，B=(3， 1， 2， 2)，|A|=1，|B|=2，则|A+B| 的值为( )。（A）3（B） 4（C） 5（D）63 设直线 l： 平面 为 4x 一 2y+z 一 2=0，则( )。（A）l 平行于 （B） l 在 上（C） l 垂直于 （D）l 与 斜交4 设 f(x)= ，则 x=0 是函数 f(x)的( )。（A）可去间断点（B）无穷间断点（C）连续点（D）跳跃间断点5 设 A，B 是 n 阶方阵
2、，则下列结论成立的是( )。6 设两个互相独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 2 和 4，则随机变量 2X 一 3Y的方差是( ) 。（A）一 28（B）一 8（C） 8（D）447 ( )在数学史上第一次将圆周率值计算到小数点后的第 7 位，即3141592631415927 之间。（A）祖冲之（B）阿基米德（C）丢番图（D）秦九昭8 义务教育数学课程标准(2011 年版)中指出，学习评价的主要目的是全面了解学生数学学习的( ) ，激励学生学习和改进教师教学。（A）过程和结果（B）过程和方法（C）情感和态度（D）内容和进度二、简答题9 根据 k 的不同取值，说明(9 一 k)x2+(4
3、 一 k)y2+(1 一 k)z2=1 表示的各是什么图形。10 设矩阵 相似于矩阵 (1)求 a，b 的值；(2)求可逆矩阵 P，使 P 一 1AP 为对角矩阵。11 如图，用 A、B、C 三类不同元件连接成两个系统 N1、N 2，当元件 A、B、C 都正常工作时，系统 N1 正常工作；当元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有一个正常工作时，系统 N2 正常工作。已知元件 A、B、C 正常工作的概率依次为080、090、090，分别求系统 N1、N 2 正常工作的概率 P1、P 2。12 请简要描述数学应用意识及推理能力的主要表现。13 如何在发展的过程中贯彻巩固性原则？三、解答题14 设
4、 f 在a ，b上连续，满足 fa，b) a，b。证明：存在 x0a，b，使得 f(x0)=x0。四、论述题15 数形结合思想是一种重要的数学思想，它的实质就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题。用数形结合思想解题能简化推理和运算，具有直观、快捷的优点。请简要谈谈数形结合思想在解哪些类型的问题时可以发挥作用，使问题得到更好的解决。五、案例分析题15 案例 1：教师：我们以前已经学过了一元一次方程以及二元一次方程组的解法，并简要介绍方法。并在解决许多实际问题的过程中感受到：将相等关系用数学符号抽象后所得到的“ 方程” 确实是一种有效的数学工具，它能让我们的思维过程更加准确和
5、简明!但是，生活中除了相等的数量关系以外，还存在着大量的不等关系，通过前几节课的学习，我们也已经基本了解了不等式的性质(介绍性质，写在黑板上)和简单不等式的解法(解法在黑板上顺一遍)。今天，就让我们通过一些带有选择“决策”意义的实际问题来共同探讨一下一元一次不等式这种数学模型是如何解决生活中的实际问题的。(介绍新知识)案例 2：教师在进行数学七年级上册一元一次不等式的应用教学时，在拓展思维环节举出了下面这样一个例题，随着教学过程的深入，很有感想。例题：在一个双休日，某公司决定组织 48 名员工到附近一水上公园坐船游园，公司先派一个人去了解船只的租金情况，这个人看到的租金如下表所示： 请你帮助设
6、计一下：怎样的租船才能使所付租金最少？(严禁超载)师：谁能公布一下自己的设计方案？(学生都在紧张的思考中)(突然间，教师发现一名平时学习较困难的学生这次第一个举起了手，很惊奇，便马上让他发言了。)生：我认为可以租大船，可以租小船，也可以大船和小船合租！(这时，教室里哄堂大笑，这位学生顿时有些难堪，想坐下去，教师赶紧制止。)师：很好！你为他们设计了三种方案。那你能不能再具体为他们计算出租金呢？生(一下子来劲了)：如果租大船，则需要船只数为485=96 只，因为不能超载，所以租大船需 10 只，则所付租金要 3x10=30 元。如果租小船，则需要船只数为 483=16 只，则所付租金要 162=3
7、2 元。如果既租大船又租小船(说到这里，该生卡了壳)(教师边认真听，边将他的方案结论板书在黑板上，看见卡了壳，便赶紧答上话)师：刚才同学真的不错，不但一下子设计了三种方案，还差不多完成了全部租金的计算，我和全班同学都为你今天的表现感到非常高兴(教室里响起一片掌声)。要有勇气展示自己，你今天的表现就非常非常地出色，你今后的表现一定会更出色。好，下面我就让我们一同把剩下的一种方案的租金来完成吧。(在师生的共同研讨中得出)：设租用 X 只大船，Y 只小船，所付租金为 A 元。则：5X+3Y=48，A=3X+2Y 。得到： A= X+32，因为：05X48 且 X 为正整数。所以：X=9 时，A 最小
8、值=29 即租用 9 只大船和 1 只小船时，所付租金最少，最少租金为 29 元。此时有 45 人(59)坐大船，有 3 人坐小船。师：今天的课程内容还有一项，那就是请同学(示意刚才的同学)谈谈这堂课的感想。生：以前我不敢发言，我怕说的不对会被同学们笑话，而今天的游船题目恰好是我前几天才去坐过的，所以一下子我今天才发现不是这样我今后还会努力发言的问题：16 案例 1 中的教学导入形式好吗？说明理由；17 你认可案例 2 中的教师的教学过程吗？说明理由。六、教学设计题17 针对“随机事件 ”起始课的教学，两位教师给出了如下教学设计片段： 【教师甲】设置问题情境：下列问题哪些是必然发生的？哪些是不
9、可能发生的？ 太阳从西边下山； 某人的体温是 100； a 2+b2=一 1(其中 a，b 都是实数)； 水往低处流； 酸和碱反应生成盐和水； 三个人性别各不相同； 一元二次方程x2+2x+3=0 无实数解。 引发思考：把上面的事件 、 、称为必然事件，把事件、称为不可能事件，提问：什么是必然事件？什么又是不可能事件呢？它们的特点各是什么？ 【教师乙】 在日常生活中我们会发现有些事件是可能发生的，有些事件是不可能发生的，有些事件是必然发生的，在数学中我们怎样定义事件发生的可能性呢？今天就来学习必然事件、不可能事件的概念。 请完成下列任务：18 请分析两位教师引入“随机事件” 概念设计方案的各自
10、的特点；19 请分析“随机事件 ”的重、难点；20 在教学中，当引入一个新的数学概念之后，往往通过例题、习题加深对概念的理解。请针对“ 随机事件”概念，设计不同难度的两道例题和两道练习题，以加深学生对“随机事件 ”概念的理解。中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 38答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 这是函数 f(x)=在0 ，1上的一个积分和： 其中积分区间0 ，1n 等分，n 等分后每个小区间是 (i=1，2，n)， i 是区间的右端点。因此，原式 故选 B。2 【正确答案】 D【试题解析】 由已知得|A+B|=| 1+3， 2+1， 3+2，
11、 1+2| =|1， 2+1， 3+2， 1+2|+|3， 2+1， 3+2， 1+2| =|1， 2， 3+2， 1+2|+|3， 2+1， 2， 1+2| =|1， 2， 3， 1+2|+|3， 1， 2， 1+2| =|1， 2， 3， 1|+|3， 1， 2， 1|+|1， 2， 3， 2|+|3， 1， 2， 2| =2|1， 2， 3， 1|+2|3， 1， 2， 2|=2|A|+2|B|=6。3 【正确答案】 C【试题解析】 的方向向量为 a=(1，3，2)(2，一 1，一 10)=(一28，14，一 7)，平面 的法向量为 b=(4，一 2，1)，a/b ，所以直线 l 与平面
12、 垂直。4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(0)，所以 x=0 是函数 f(x)的可去间断点。5 【正确答案】 C【试题解析】 A 选项中若 时，AB=O，故 A 选项错误：B 选项 O 时，|A|=O，故 B 选项错误；D 选项中|A|= =1，A 不是单位矩阵，故 D 选项错误。6 【正确答案】 D【试题解析】 D(2X 一 3Y)=D(2X)+D(3Y)=4D(X)+9D(Y)=44。7 【正确答案】 A【试题解析】 阿基米德的数学成就主要是集中探讨面积和体积的计算相关问题；丢番图是第一个对“不定方程”广泛研究的数学家；秦九昭发明了“正负开方术”。8 【正确答案】 A【试题解析】
13、 义务教育数学课程标准(2011 年版)中指出，学习评价的主要目的是全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。二、简答题9 【正确答案】 方程(9 一 k)x2+(4 一 k)y2+(1 一 k)z2=1(1)k9 时，(1) 式不成立，不表示任何图形；4 k9 时，(1) 式变为 表示双叶双曲线；1k4 时， (1)式变为 表示单叶双曲线； k1 时，(1) 式变为表示椭球面；k=1 时，(1)式变为 表示母线平行 z 轴的椭球柱面；k=4 时，(1)式变为 表示双曲柱面；k=9 时，(1)式变为不表示任何图形。10 【正确答案】 (1)相似矩阵具有相同的行列式和秩，从而
14、 显然可求得 B 的特征值为 1，1，5，从而 A 的特征值为 1，1，5，当 =1 时，E 一A= 从而解得属于特征值 1 的线性无关的特征向量为1=(2， 1，0) T， 2=(3，0，一 1)T。同理，解得属于特征值 5 的恃征向量3=(1， 1，一 1)T。11 【正确答案】 分别记元件 A、B、C 正常工作为事件 A、B、C，P(A)=080 ，P(B)=090，P(C)=090。(1)因为事件 A、B、C 相互独立，所以 N1 正常工作的概率为 P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0800 90090=0648。(2)N2 正常工作的概率 P2=P(A)P(C+B) ，即
15、 P2=P(A)=0801 一 0 10010=080099=0792。12 【正确答案】 应用意识主要表现在认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。推理能力主要表现在能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例：能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。13 【正确答案】 (1)在学习新知识时，要深刻理解这些知
16、识，必须调动学生学习知识的自觉性。学习过程必须是学生积极开展思维活动的过程，用积极态度学到的知识是获得巩固知识的必要条件。因此，在教学时要引起学生对学习知识的强烈兴趣，把原来以为枯燥无味的数学课上成生动活泼的数学课，注意防止学生产生学习的逆反心理，充分发挥学生的主体作用。(2)零碎的、杂乱的、无系统的知识是不可能巩固的。因此，使学生获得有系统的知识是使知识巩固的又一必要条件，它要求教师在教学时注意概念形成过程，讲清命题间的逻辑关系等。教学必须条理清晰、前后联系、层次分明，给学生系统知识，使其深刻理解，以达到巩固的目的。三、解答题14 【正确答案】 由 fa，b) a，b知，对任何 x0a，b有
17、 af(x0)b，特别地，有af(a)以及 f(b)b。若 a=f(a)或 f(b)=b，则取 x0=a 或 b，从而有 f(x0)=x0。现设af(a)与 f(b)b。令 F(x)=f(x)一 x，叫 F(a)=f(a)一 a0，F(b)=f(b)一 b0，由根的存在性定理，存在 x0(a，b)，使得 F(x0)=0，即 f(x0)=x0。四、论述题15 【正确答案】 (1)在解方程或解不等式的问题中，若方程或不等式中的代数式能分拆成一次函数、二次函数、对数函数、指数函数和三角函数等形式，则一般可利用函数的图像直观地使问题获得解决；(2)复数与三角函数概念的建立离不开直角坐标系，因此这些概念
18、含有明显的几何意义，采用数形结合解决此类问题非常直观清晰；(3)二元一次方程、二元二次方程能与直线、二次曲线相对应，用数形结合法解此类问题，能在解题过程中充分利用平面几何和解析几何的知识，使解题思路更开阔。五、案例分析题16 【正确答案】 案例 1 中教师的教学导入有优点也有缺点。优点是一开始提到并复习了上节课的知识，进行了新旧知识间的一个过渡，降低了学生对新知识的认知难度；采取了直接导入的方式，开门见山介绍了本节课的课题，缺点在于没进行合理的情境创设，将知识全盘塞给学生，无法激发学生的兴趣。17 【正确答案】 我觉得案例 2 中的老师的做法是很好的，从这一个学生的举手发言到说得头头是道的“
19、意外 ”中，让教师明白了：学生需要一个能充分展示自我的自由空间，作为老师，我们需要给学生一个自由的民主的氛围，能充分培养学生的自信，使“学困生 ”也能产生发言的欲望，也能对问题畅所欲言，教师还应能及时捕捉到这一闪光点，给每一位学生都有展示的机会。也就是说要使学生全部积极参与教学，因为它集中体现了现代课程理念：活动、民主、自由。民主是现代课程中的重要理念。民主最直接的体现是在课程实施中学生能够平等地参与。没有主动参与，只有被动接受，就没有民主可言。相反，如果没有民主，学生的参与就不是主动性参与，而是被动的、消极的参与。在课程进行中，教师应形成一种有利于学生主动参与的人际关系氛围。尊重是进行一切活
20、动的前提，只有尊重学生，才能理解学生，才能做到平等，学生才会感到安全，才不会出现有的学生被冷落，被讽刺，甚至被耻笑的现象。在提问时，应设计开放性的问题，如：“ 请你帮助设计一下，怎样租用，才能使所付租金最少？” 这样才没有限制学生的思维，给学生创设一个自由的空间，学生在这个空间中可以按自己的方式展开想象，才能畅所欲言。在课堂上，老师应不只关注“ 优等生”，而应平等地对待每一个学生，让“学困生”和“学优生”同时享有尊严和拥有一份自信。特别是发现一个学生在举了手时，应及时给“学困生 ”展示的机会，让他们发言，学生在发言中，虽然有时不能把问题完全解决，老师也要充分地肯定这个学生的成绩和能够大胆发言的
21、勇气。六、教学设计题18 【正确答案】 教师甲的做法非常符合素质教育的要求的，首先，这几个事件都是学生能熟知的生活常识和学科知识，通随这些生动的、有趣的实例，自然地引出必然事件和不可能事件；其次，必然事件和不可能事件相对于随机事件睐说，特征比较明显，学生容易判断，把它们首先提出来，符合由浅入深的理念，容易激发学生的学习积极性。概念的总结也让学生来完成，把课堂尽量多地还给学生，以此来体现自主学习，主动参与的理念。教师乙的做法相对教师甲来说，是有所欠缺的，没有给学生预设情境，通过总结性的语言，直接总结提出随机事件的概念，没有体现学生的主体地位，不能提高学生的学习积极性，也没有增加教学的趣味性和知识
22、性，课堂整体会比较沉闷，教师只是一味地教，学生只是一味地学，没有体现出新课标的要求。19 【正确答案】 教学重难点重点：必然事件、不可能事件、随机事件的判断，随机事件的特点。难点：必然事件、不可能事件、随机事件的区别，对随机事件做出准确判断。20 【正确答案】 例题 1：“从一堆牌中任意抽一张，抽到红牌” 这一事件的发生情况？例题 2：5 名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有 5根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号 1，2，3，4，5。小军首先抽签，他在看不到纸签上的数字的情况从签筒中随机(任意)地取一根纸签。请考虑以下问题：抽到的序号有几种可能的结果？抽到的序号会是 0 吗？抽到的序号小于 6 吗？抽到的序号会是 1 吗？你能列举与事件 相似的事件吗？练习 1 摸球游戏中小明的箱子里面都是红球，小麦的箱子里面都是黑球，小米的箱子里面有红球有黑球：问小明、小麦、小米三人每次一定能摸到红球吗？练习 2 指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件。两直线平行，内错角相等；刘翔再次打破 110 米栏的世界纪录；打靶命中靶心；掷一次骰子，向上一面是 3 点；13 个人中，至少有两个人出生的月份相同；经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；在装有 3 个球的布袋里摸出 4 个球；物体在重力的作用下自由下落；抛掷一千枚硬币，全部正面朝上。
