1、中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 37及答案与解析一、单项选择题1 若 f(x)=，则下列表达式正确的是( ) 。（A） (x0 一 ，x 0+)，有|f(x)|M（B） (X0 一 ，x 0+)，有|f(x)|M（C） (x0 一 ，x 0+)，且 xx0，有|f(x)|M（D） (x0 一 ，x 0+)，且 xx0，有|f(x)|M2 设有直线 L： 及平面 ：2x+6y+4z 一 1=0，则直线 L( )。（A）平行于 （B）在 上（C）垂直于 （D）与 斜交3 极限（A）0（B）（C） 1（D）4 设 4 阶矩阵 A 与 B 仅有第 3 行不同，且|A|=1，
2、 |B|=2，则|A+B|=( )。（A）3（B） 6（C） 12（D）245 对某目标进行 100 次独立射击，假设每次射击击中目标的概率是 02，记 X 为100 次独立射击中击中目标的总次数，则 E(X2)等于( )。（A）20（B） 200（C） 400（D）4166 已知三维向量空间的一组基为 1=(1，1，0)， 2=(1，0，1)， 3=(0，1，1)，则向量 =(2，0，0) 在此基底下的坐标是 ( )。（A）(2 ，0，0)（B） (1，1，一 1)（C） (1，0，一 1)（D）(0 ，0，0)7 我国古代关于求解一次同余式组的方法被西方称作“中国剩余定理” ，这一方法的首
3、创者是( ) 。（A）贾宪（B）刘徽（C）朱世杰（D）秦九韶8 设 X 是一个集合，=XXR，如果关于任何 x，y，z X，有(i)(x，y)0，并且 (x，y)=0，当且仅当 x=y；(ii)p(x ，y)=(y，x)；(iii)(x，z)(x，y)+(y，z)，则称 是集合 X 的一个度量。此度量的定义方式是( )。（A）公理式定义（B）外延式定义（C）属种差异式定义（D）递归式定义二、简答题9 设函数 f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx 3，若 f(x)与 g(x)在 x0 是等价无穷小，求 a，b，k 的值。10 求出齐次线性方程组的一个基础解系并用它表示出全
4、部解。10 已知连续型随机变量 X 的概率密度为 求：11 k；12 分布函数 F(x)；13 P(15x2 5) 。14 数感是义务教育数学课程标准(2011 年版)提到的课程核心之一，学生的数感主要表现在哪些方面？15 数学教学中如何贯彻实践性原则？三、解答题16 已知矩阵 (1)求矩阵 A 的全部特征值和特征向量； (2)A 是否相似于对角阵，若是，写出与其相似的对角阵，并求一可逆矩阵 T，使 T 一 1AT 为对角阵；(3)计算 A100 。四、论述题17 函数知识一直是中学代数内容的主线，是研究代数、三角函数、数列、方程和不等式等初等数学内容的基础，函数思想又是数学解题中的重要思想，
5、这就决定了函数在中学数学中的重要地位。请说明初中函数内容教学的要求，并结合自己的教学，谈谈利用函数思想解决问题时，重点要注意的问题是什么，并举出两个你印象最为深刻的利用函数思想解题的例子。五、案例分析题17 案例：某教师在进行二次根式教学时，给学生出了如下一道练习题：已知方程x2+3x+1=0 的两个根分别为 ， ，求 的值。某学生的解答过程如下：解：因为=3 2 一 411=50，由一元二次方程根与系数的关系，得 +=一3，=1，故 问题：18 指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因；19 给出你的正确解答；20 指出你解题所运用的数学思想方法。六、教学设计题20 初中“平面直角坐标系”(
6、 第一节课)设定的教学目标如下：了解有序数对的概念，体会有序数对在现实生活中应用的广泛性；通过实例让学生认识有序数对，感受有序数对在确定点的位置中的作用。完成下列任务：21 根据教学目标，设计至少三个问题，并说明设计意图。22 根据教学目标，给出至少两个实例，并说明设计意图。23 本节课的教学重点是什么？24 作为初中阶段的重要内容，其难点是什么？25 本节课的教学内容对后续哪些内容的学习有直接影响？中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 37答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 由函数极限的定义，若函数 f(x)在 x0 的某一去心邻域内有定义，如果对
7、任意给定的正数 M(不论它多大 )，总存在正数 ，只要 x 适合不等式 0|x 一x0|，对应的函数值 f(x)总满足不等式 |f(x)|M ，则有x(x0 一 ，x 0+)，且 xx0，有|f(x)| M 。2 【正确答案】 A【试题解析】 直线 L 的方向向量 =一 7(4i 一 2j+k)，平面 的法向量 n=(2， 6，4) ，易知 ln。又直线 L 上一点 不在平面 上，所以直线 L 平行于 。3 【正确答案】 C【试题解析】 利用等价无穷小量，当 x0 时，xe x 一 1。本题中所以极限4 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意，设 所以 C=A+B= 行列式|A|和|B|第 3
8、 行元素所对应的代数余子式对应相等，记为 A3j，j=1，2，3，40 则|C|的第 3 行元素所对应的代数余子式为 8A3j，j=1，2，3，4。于是有|C|=|A+B|=8A 31(a31+b31)+8A32(a32+b32)+8A33(a33+b33)+8A34(a34+b34)=8(a31A31+a32A32+a33A33+a34A34+b31A31+b32A32+b33A33+b34A34)=8(|A|+|B|)=83=24。5 【正确答案】 D【试题解析】 X 服从二项分布，XB(100，02)，所以 E(X)=10002=20，D(X)=1000208=16。所以 E(X2)=D
9、(X)+E(X)2=16+202=416。6 【正确答案】 B【试题解析】 设 =(2，0，0) 在此基底下的坐标是 (x1，x 2，x 3)，则有T=x11T+x22T+x33T=(1T， 2T， 3T) 即得一非齐次的线性方程组，对增广矩阵做初等行变换 所以x1=1， x2=1， x3=一 1。7 【正确答案】 D【试题解析】 秦九韶(1208 一 1261)，著有数书九章。数书九章是一部划时代的巨著，它完整保存了中国算筹式记数法及其演算式，论述了自然数、分数、小数、负数，还第一次用小数表示无理根。数书九章还对“大衍求一术”(一次同余组解法)和“正负开方术”(高次方程的数值解法)等进行了十
10、分深入的研究。8 【正确答案】 A【试题解析】 题干叙述的三条分别为度量的三条公理：正定性、对称性和三角不等式。即此度量的定义方式是以公理的形式给出的定义。二、简答题9 【正确答案】 10 【正确答案】 对方程组的系数矩阵作初等变换，有所以 r(A)=35，方程组的基础解系含有 2 个线性无关的解向量，且原方程的同解方程组为 令 x3=1，x 5=0，得 1=(一 1，一 1，1，2，0) T，令x3=0， x5=1，得 2= 则 1， 2 为原方程组的一个基础解系，且该齐次线性方程组的全部解为 =k11+k22。其中 k1，k 2 为任意实数。11 【正确答案】 0nf(x)dx=02(kx
11、+1)dx=( x2+x)|02=2k+2=1，所以 k= 。12 【正确答案】 当 x0 时，F(x)= 一 xf(x)dx=0；当 0x2 时，F(x)= 一 xf(x)dx=0x当 x2 时，F(x)= 一 xf(x)dx=1。故13 【正确答案】 P(15x25)=F(25)一 F(1 5)= 。14 【正确答案】 理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。15 【正确答案】 学生数学思想方法的发展水平最终取决于自身参与数学活动的过程。数学思想方法教学既源于
12、知识教学又高于知识教学。知识教学是认知结果的教学，是重记忆理解的静态型的教学，学生无独立思维活动过程，具有鲜明的个性特征的数学思想方法也就无法形成。因此，贯彻实践性原则，就是在实际教学中，教师要特别注重营造教学氛围，要给学生提供思想活动的素材、时机，悉心引导学生积极主动地参与到数学知识的发生过程中，在亲自的实践活动中，接受熏陶，不断提炼思想方法，活化思想方法，形成用思想方法指导思维活动、探索问题解答策略的良好习惯。数学思想方法也只有在需要该种方法的教学活动中才能形成。三、解答题16 【正确答案】 (1)由矩阵 A 的特征多项式 得所有特征值为 1 和 3：对于特征值 1，解方程组 得特征向量(
13、1，一1)T。对于特征值 3解方程组 得特征向量(1，1) T。(2)A 是相似于对角阵，令四、论述题17 【正确答案】 初中函数的要求：能探索具体问题中的数量关系和变化规律；了解常量、变量的意义，了解函数概念和表示方法；能结合图像分析，能用适当函数表示刻画某些实际问题中变量之间的关系；对具体的一次函数、二次函数、反比例函数体会意义，画出图像，确定解析式、能利用函数解决一些实际问题。利用函数思想解决问题时要注意的问题是：函数知识的横向、纵向联系；把函数、方程、不等式看成一个整体；将函数性质、特征与图像紧密结合；二次函数的综合运用；实际问题通过建立函数模型解决等。五、案例分析题18 【正确答案】
14、 错解分析：解答本题时，学生忽视了二次根式的除法法则成立的条件是 a0，b0，从而导致错误。事实上，由 =1，知 ，这两个根式是同正或同负的。又由 +=一 3，=l，可知 0 且 0，故19 【正确答案】 正确解答：20 【正确答案】 解题所运用的是化归思想。六、教学设计题21 【正确答案】 问题：老师带来一件纪念品，想赠送给你们中的一位同学，如果这位同学在第三列，你们猜猜是谁呢？问题：如果这位同学在第三列第二行，那么这位同学是谁呢？问题：那么怎样才能确定这位同学的位置呢？(设计意图：通过给学生提供现实的背景及生活素材，吸引学生的注意力，激发好奇心和求知欲。让学生通过亲身经历体会从具体情境中发
15、现数学问题，进而寻求解决问题方法的全过程，从而使学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息。)22 【正确答案】 实例：影院对观众席所有的座位都按 “几排几号”编号，以便确定每个座位在影院中的位置，观众根据入场券上的“排数” 和“号数”准确入座。实例：在新中国成立 50 周年的庆典活动中，天安门广场上出现了壮观的背景图案，你知道它是怎么组成的吗？原来，他们举起不同颜色的花束(如第 10 排第 25列举红花，第 28 排第 30 列举黄花)，整个方阵就组成了绚丽的背景图章。(设计意图：经历运用所学知识，寻找实际背景的过程，使学生体会到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，在现实生活中有着广泛的应用。)23 【正确答案】 重点：用有序数对表示位置。24 【正确答案】 难点：对有序数对中的有序的理解。25 【正确答案】 本节课的教学内容是人教版初中数学七年级下册第六章“平面直角坐标系”中第一节 “有序数对 ”，本节课是学习平面直角坐标系的基础，对后续学习函数图像也起着至关重要的作用。通过有序数对的学习使学生体会到数与形的相互转化的数学思想，实现认识上从一维空间到二维空间的发展，使数学学习进入一个新的阶段。因此，本节课是学好本章的关键所在，也是渗透数形结合数学思想的好教材。
