1、2013 年江苏专转本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 当 x0 时，函数 f(x)=ln(1+x)-x 是函数 g(x)=x2 的 ( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶无穷小（D）等价无穷小2 曲线 y= 的渐近线共有 ( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条3 设 f(x)= 则点 x=0 是函数 f(x)的 ( )（A）跳跃间断点（B）可去间断点（C）无穷间断点（D）连续点4 设 y=f(x2)，其中 f 具有二阶导数，则 =( )（A）2xf 2(x2)+2f2(x2)（B） 4x2f2(x2)+
2、2f2(x2)（C） 4xf2(x2)+2f2(x2)（D）4x 2f2(x2)5 下列极数中收敛的是 ( )6 已知函数 f(x)在点 x=1 处连续，且 ，则曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 ( )（A）y=x-1（B） y=2x-2（C） y=3x-3（D）y=4x-4二、填空题7 设 f(x)= 在点 x=0 处连续，则常数 a=_8 已知空间三点 A(1，1，1)，B(2，3，4)，C(3，4，5)，则 ABC 的面积为_9 设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，则 _10 设 =c，则常数 c=_11 微分方程 的通解为_12 幂级数 的收敛数为_三、解答题解答
3、时应写出推理、演算步骤。13 求极限 14 设函数 z=z(x+y)由方程 z+3xy-3x=1 所确定， 及 dz.15 求不定积分xsin2xdx16 计算定积分17 设函数 x=f(x2，x x+3y)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 18 已知直线 在平面上，又知直线 与平面平行，求平面的方程19 已知函数 y=f(x)是一阶微分方程 满足初始条件 y(0)=1 的特解，求二阶常系数非齐次线性微分方程 y-3y2+2y=f(x)的通解20 计算二重积分 ，其中 D 是由曲线 (x0)与三条直线y=x，x=3，y=0 所围成的平面闭区域四、综合题21 设平面图形 D 由曲线 与直线
4、 y=1 所围成，试求： (1)平面图形 D 的面积； (2)平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积22 已知 F(x)=20(18t-10t3)dr 是函数 f(x)的一个原函数，求曲线 y=f(x)的凹凸区间拐点五、证明题23 证明，当 x1 时，(1+lnx) 22x124 设函数 f(x)在a,b上连续，证明： 2013 年江苏专转本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 由题意 故选 C2 【正确答案】 C【试题解析】 当 x1 和 x2 时，有 y有 2 条垂直渐近线，当 x时，y=2所
5、以有一条水平渐近线，故选 C3 【正确答案】 B【试题解析】 在 0 点左极限，等于右极限4 【正确答案】 B【试题解析】 y=2f(x 2).2x，y“=2f“(x 2)+42f“(x2) 故选 B5 【正确答案】 D【试题解析】 A： P 级数收敛，调和级数发散，所以相加仍为发散选项 B： 选项 C：选项 D：故选 D6 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)在点 x=1 处连续， 即 f(x)=1， f(1)=0 即 k=f(1)=1,在点1，f(x)处的切线方线为 y=x-1，故选 A二、填空题7 【正确答案】 0【试题解析】 (无穷小 有界函数仍为无穷小)因为在 0 处连续故8
6、 【正确答案】 【试题解析】 由题意 因为 =-i+2j.k=(-1，2，-1)， 所以9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 2【试题解析】 等式左边= 当 a=2 时，左边=右边11 【正确答案】 y=xlnx+Cx【试题解析】 y=u+xu代入原式 得 u+xu=1+u，xu=1，两边积分得 u=lnx+C，把 U= 代入得 y=lnx+Cx12 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 原式两边对 x 偏导 原式两边对 y 偏导15 【正确答案】 【试题解析】 16 【正确答案】 4
7、-4ln2【试题解析】 17 【正确答案】 6e 2x+3y(xf21“+f22“e2x+3y+f21)【试题解析】 =3e2x+3yf2 =32e2x+3yf2+e2x+3y(f“21.2x+f“22.2e2x+3y)=6e2x+3yf2+6xe2x+3yf“21+6c4x+6yf“22=6e2x+3y(f2+xf“21+e2x+3yf“22)18 【正确答案】 3(x-1)-(y-1)+5(z-1)=0【试题解析】 对称式方程表示直线方程：解该二元一次方程组 y0=1，z=1即点(1， 1，1) 是这直线上一点，又 n1=(1，-1，1)，n 2=(1，-3，-1)，S 1=n1n2=4i
8、+2j-2k 所以直线对称或方程为 设该平面法向量为n，另一直线方向向量为 S2，S 2=(-3，1，2)，n=S 1S2= =3i-j+5k 因为直线 S1 过平面 所以平面方程为： 3(x-1)-(y-1)+5(z-1)=019 【正确答案】 y=C 1ex+C2e2x-xex20 【正确答案】 【试题解析】 如图 DE 域为四、综合题21 【正确答案】 【试题解析】 22 【正确答案】 (0，0) ，(1，8)【试题解析】 对 F(x)求导 f(x)= f(x)=令 f(x)=0，f(x)=0，解得x1=0， x2=1 x=0 处 f(x)左导数等于右导数，故不可导当 x(-，0)U(1，+)时，f“(x)0 为凸函数；x(0，1)时，f“(x)0 为凹函数所以点 (0，0) ，(1，8)为该函数拐点五、证明题23 【正确答案】 构造函数 F(x)令 F(x)=2x-1-(1+lnx)2,F(1)=0，则 f(x)单增 f(x)f(1)=0，F(x) 单调增 所以 F(x)F(1)=0所以 2x-1(1+lnx) 2 得证24 【正确答案】
