1、2012 年江苏专转本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 权限 = ( )（A）0（B） 2（C） 3（D）52 设 f(x)- ，由函数 f(x)的第一类间断点的个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 ，则函数 f(x) ( )（A）只有一个极大值（B）只有一个极小值（C）既有极大值又有极小值（D）没有极值4 函数 在点(1，1)处的全微分为 ( )（A）dx-3dy（B） dx+3dy（C）（D）5 二次积分 01dyy1f(x，y)dx 在极坐标系下可化为 ( )6 下列级数中条件收敛的是 ( )二、填空题7 要
2、使函数 f(x)= 在点 x=0 处连续，则应补充定义 f(0)=_8 设函数 y=x(x3+2x+1)+e2x，则 y(7)(0)=_9 设 y=x2(x0)，则函数 y 的微分 dy=_10 设向量 a， b 互相垂直，且 a=3，b=2，则a+2b =_ 11 设反常积分 a+e-xdx= ，则常数 a=_12 幂级数 的收敛域为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 求极限 14 设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，求15 求不定积分16 计算定积分17 已知平面通过点 M(1，2，3)与 x 轴，求通过点 N(1，1，1)且与平面平行，又与 x 轴垂直的直线方程18 设函数
3、 z=f(x，xy)+(x 2+y2)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 具有二阶连续导数，求 19 已知函数 f(x)的一个原函数为 xex 求微分方程 y“+4y+4y=f(x)的通解20 计算二重积分 其中 D 是由曲线 直线 及 x 轴所围成的平面闭区域四、综合题21 在抛物线 y=x2(x0)上求一点 P，使该抛物线与其在点 P 处的切线及 x 轴所围平面图形的面积为 ，并求该平面图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积22 已知定义在(-，+)上的可导函数 f(x)满足方程 xf(x)-41xf(t)=x3-3，试求： (1)函数 f(x)的表达式； (2) 函数 f(x)
4、的单调区间与极值； (3)曲线 f(x)的凹凸区间与拐点五、证明题23 证明：当 0x1 时,arcsinx x+ 24 设 f(x)= 其中函数 g(x)在(-，+)上连续，且 =3证明：函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=2012 年江苏专转本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 根据题意：2 【正确答案】 C【试题解析】 第一类间断点分为可去间断点、跳跃间断点，由题意得：则 x=0 为第一类间断点(跳跃间断点) 同理，x=2 时，为第一类可去间断点同理，x=-2 时，为第二类间断点所以，答案为
5、 C3 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意： 得 x=1 为 f(x)的零点由此可知 x=0 时，为 f(x)的不可导点，故选 C4 【正确答案】 A【试题解析】 将(1，1)代入，得 dz=dx-3dy，故选A5 【正确答案】 B【试题解析】 根据题意该二重积分 D 为 如图 可知6 【正确答案】 D【试题解析】 由条件收敛定义得 则 A、B 均发散，又因为绝对收敛，所以 C 也不符合，D 为条件收敛二、填空题7 【正确答案】 e -4【试题解析】 由题意知 若 f(x)= 在点 x=0 处连续，即答案为 e-48 【正确答案】 128【试题解析】 由题意可知 y=x 4+2x2+x+e
6、2x， 得 y(7)=27e2x 可知 y(1)(0)=27=128，故答案为 1289 【正确答案】 x x(lnx+1)dx【试题解析】 令 y=exlnx 则 dy=xx(lnx+1)dx10 【正确答案】 5【试题解析】 由题意可知 a=3，b=2 ，则a+2b 2=a2+4a.b+4b2=9+0+44=25，所以a+2b=5 11 【正确答案】 ln2【试题解析】 a+e-xdx=-e-x a+= -e-x+e-a= ，得 a=ln212 【正确答案】 (0，6【试题解析】 因此，收敛域为(0，6三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案
7、】 【试题解析】 15 【正确答案】 2xtanx+2lncosx+tanx+C【试题解析】 16 【正确答案】 【试题解析】 当 x=1 时，t=1，x=2 时，t= 则17 【正确答案】 【试题解析】 因为平面过 x 轴所以必过(1，0，0)，则平面的注向量，n= = =(0，3 ，-2) ，直线方向向量 S=nxt= =(0，-2，-3)，因为直线过点(1，1，1) ，所以直线方程为：18 【正确答案】 xf 12“+xy22“+f2+4xy“【试题解析】 =f1+f2y=2x， =f11“+x.f12“+y0f 21“+xyf22“+f2+2x.0“+2y2x“=xf12“+xyf22
8、“+f2+4xy“19 【正确答案】 y=(C 1+C2x)e-2x+【试题解析】 因为f(x)dx=xe x+C，所以 f(x)=ex+xex=(1+x)ex当 y“+4y+4y=0，通解为 r2+4r+4=0，得 r1=r2=-2，则 y=(C1+C2x).e-2x因为 1 不是特征根，所以将yx=(Ax+B)ex 代入原方程得 所以通解为 y=(C1+C2x)e-2x+20 【正确答案】 【试题解析】 原方程= 01ydy2yy2+1dx =01yy2+12ydy= 四、综合题21 【正确答案】 【试题解析】 如图 设 P 点(x 0，x 02)，则 k=2x0，直线方程y=2x0(xx
9、0)，即 y+x02=2x0x由题意得 所以 x0=2所以有P(2，4)，则 Vx=02x4dx-12(4x-4)2dx= 22 【正确答案】 f(x)=x 3-3x2 单调区间：(-，0)U(2 ，+)递增 (0，2)递减 极值：x=0 时极大值 0，x=2 时极小值-4 x(- ，1)，凹区间，x (1，+)，凸区间，拐点：(1，-2)【试题解析】 因为 f(x)+xf(x)-4(2x)=3x2(对方程两边求导 )，即 y- =3x所以P(x)= ，Q(x)=3x ，y=-3x 2+Cx3由题意得 f(1)=-2，所以 C=1所以 f(x)=x3-3x2令 f(x)=3x2-6x=0，则 x1=0，x 2=2，当在(-，0)U(2，+)函数单调递增；当在(0 ，2) 函数单调递减所以在 x=0 处取极大值 f(4)=0，在 x=2 取极小值 f(2)=-4 令 f“(x)=6x-6=0，得 x3=1，所以当 x(-， 1)时，为凹区间；当 z(1，+)为凸区间，拐点为(1，-2)五、证明题23 【正确答案】 令 f(x)=arcsinx-x- ，有 f(0)=0，x(0， 1)，所以 f(x)单调递增,所以 f(x)f(0)=0所以 f(x)单增所以 f(x)0，得证24 【正确答案】 因为左右导数相等，所以，命题得证
