1、2011 年山东专升本（数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 y=arcsin + 的定义域是( )（A）3，4（B） (3，4)（C） 0，2（D）(0 ，2)2 极限 等于( )（A）0（B） 2（C） 1（D）13 曲线 y= 在点 (2， )的切线方程是 ( )（A）x+4y4=0（B） x4y4=0（C） 4x+y4=0（D）4xy4=04 函数 f(x)在 x0 点可导，且 f(x0)是函数 f(x)的极大值，则( )（A） (x0)（B） (x0)0（C） (x0)=0，且*50(x 0)0（D） (x0)=05 函数 y=
2、 的铅直渐近线是( )（A）x=1（B） x=0（C） x=2（D）x=16 走积分 dx 的值是( )（A）2（B）兀（C） （D）47 已知 (0)=3，则 等于( )（A）（B）（C）（D）8 已知点 A(1，1，1) ，点 B(3，x，y)，且向量 与向量 =(2，3，4)平行，则 x等于( )（A）1（B） 2（C） 3（D）49 如果级数 (un0)收敛，则必有( )（A）级数 发散（B）级数 u n收敛（C）级数 (1) nun 收敛（D）级数 收敛10 函数 f(x)=x在点 x=0 处( )（A）不连续（B）连续，但图形无切线（C）图形有铅直的切线（D）可微二、填空题11 若
3、 f(x)= 在 x=0 点连续，则 a=_12 极限 =_13 x=0 是函数 f(x)的第_类间断点14 由方程 x2y 24xy=0 确定隐函数的导数 =_15 函数 f(x)=3xx 2 的极值点是_16 函数 f(x)= 的图形的(向上)凹区间是_17 =_18 向量 (1，1，4) 与向量 =(1，2，2)的夹角的余弦是_19 级数 的收敛区间是_20 微分方程 +5 +6y=0 的通解为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。21 22 23 求由参数方程 所确定的函数的导数24 求函数 y= (x0)的导数25 求sin 2xcos3xdx26 求 arcsin xdx27 求
4、微分方程 ycot x=2xsin x 的通解28 求与两平面 x4z=3 和 2xy5z=1 的交线平行且过点(3，2，5)的直线方程29 计算 ，其中 D 为由直线 y=1，x=2 及 y=x 所围成的闭区域30 已知函数 z=x4+y44x 2y2 求四、证明题31 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌 20m 长的墙壁问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大?32 求抛物线 y= 将圆 x2+y2=8 分割后形成的两部分的面积33 已知 f(x)为连续的奇函数，证明 f(t)dt 为偶函数2011 年山东专升本（数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，
5、只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 由函数 arcsin 可知，1 1，解得3x4；由函数可知，2xx 20，解得 0x2故原函数的定义域为两者的交集0，2，选项 C 正确2 【正确答案】 B【试题解析】 = = (x+1)=2 选项 B 正确3 【正确答案】 A【试题解析】 由于 = ，故曲线在点(2， )处的切线斜率 k =，故切线方程为 y = (x2) ，即 x+4y4=0，选项 A 正确4 【正确答案】 D【试题解析】 根据函数在点 x0 取得极值的必要条件可知，选项 D 正确5 【正确答案】 A【试题解析】 由于 =，故 x=1 是原函数的铅直渐近线，选项 A正
6、确说明：由于 = =1，故 x=0 不是铅直渐近线6 【正确答案】 B【试题解析】 根据定积分的几何意义， dx 就等于圆 x2+y2=4 位于第一象限内的面积( 圆面积) ，故 = .22=，选项 B 正确7 【正确答案】 D【试题解析】 根据导数的定义， = 选项 D 正确8 【正确答案】 D【试题解析】 由于向量 =(2，x1，y1)，由向量 与向量 =(2，3，4)平行可知，对应分量成比例，故 ，解得 x=4，选项 D 正确9 【正确答案】 A【试题解析】 由于级数 收敛，且 un0，所以 =0，则 =，所以级数 发散，选项 A 正确；级数 ，收敛但 u n不一定收敛(如 (1) n
7、)，选项 B 错误；级数 收敛但 (1 ) nun 不一定收敛(如(1) n )，项 C 错误；由于 = ，而级数发散，故 发散，选项 D 错误10 【正确答案】 B【试题解析】 由函数 f(x)=x的图形可知，f(x)在 x=0 处连续，但不可导( +(0)=1， (0)=1)，故选项 B 正确二、填空题11 【正确答案】 根据分段函数的连续性可得，f(0 +)=f(0 )=f(0)，而 f(0+)= f(x)= (3+ex)=4，f(0 )= f(x) ，故 a=412 【正确答案】 =8 说明：此题也可用洛必达法则解答，如下：=813 【正确答案】 由于 =1，故 x=0 是函数 f(x
8、)= 的第一类间断点14 【正确答案】 方程 x2y 24xy=0 两端对 x 求导，考虑到 y 是 x 的函数，可得2x2y. 4(y+x. )=0，即(4x+2y) =2x4y,所以 =15 【正确答案】 令 (x)=32x=0，可得函数的驻点 x= ，且 (x)在 x= 的左右两侧附近变号，故原函数的极值点为 x=16 【正确答案】 (x)= ， (x)= = 0，故函数的凹区间为函数的整个定义区间(，)17 【正确答案】 3 xexdx=(3e)xdx= +C= +C18 【正确答案】 两向量夹角的余弦 cos=19 【正确答案】 因 = = = =1，故 R=1，所以收敛区间为( 1
9、，1)20 【正确答案】 由于特征方程，r 2+5r+6=0 有两个不等实根 r1=2，r 1=3，故原方程的通解为 y=C1e2x +C2e3x三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。21 【正确答案】 = = =说明：此题通分后，也可用洛必达法则解答，如下所示： = =22 【正确答案】 原式 =23 【正确答案】 = =tan24 【正确答案】 因 y= ，故25 【正确答案】 原式=sin 2xcos2xcosxdx=sin2x(1 sin2x)d(sinx)=(sin2xsin 4x)d(sinx)= 1sin3x sin5x+C26 【正确答案】 =27 【正确答案】 此为一阶线性微
10、分方程，其中 P(x)=cotx，Q(X)=2xsinx，故通解为 y= =28 【正确答案】 由题意，两平面的法向量分别为 =(1，0，4)， (2， 1，5)，又所求直线与两平面的交线平行，且 故可取直线的方向向量 =(4，3，1)，又直线还过点（ 3，2，5)，故所求直线方程为=29 【正确答案】 画出图形，将积分区域 D 看作 X 一型积分区域1x2，1yx ，由此=30 【正确答案】 =4x38xy 2， =16xy四、证明题31 【正确答案】 设垂直于墙壁的边长为，则平行于墙壁的另一边长为 202x,故面积 S(x)=x(202x)=2x 2420x，且 (x)=4x+20， (x)=4，令 (x)=0 得驻点x=5，且 (5)=432 【正确答案】 画出图形如下图所示，设上、下两部分的面积分别为 S1，S 2，由于抛物线与圆的交点坐标 A(2，2)，故直线 OA 的方程为 y=x，所以扇形 OAB 的面积等于 圆面积，故S1=2 =2 兀+ ，S 2=8 S1=8(2+ )=633 【正确答案】 证明：设 F(x)= dt，则 F(x)= f(t)dt，令 u=t ，则t= u， dt= du，且当 t=0 时，u=0，t= x 时，u=x，则 F(x)= f(t)dt= f(u)(du)= f(u)du= f(t)dt=f(x)，故 f(t)dt 为偶函数
