1、2010 年江苏专转本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设当 x0 时，函数 f(x)=x-sinx 与 g(x)=axn 是等价无穷小，则常数 a，n 的值为( )（A）a= ， n=3（B） a= ，n=3（C） a= ，n=4（D）a= ， n=42 曲线 的渐近线共有 ( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条3 设函数 (x)=x22etcostdt，则函数 (x)的导数 (x)等于 ( )（A）2xe x2 cos x2（B） -2xex2cosx2（C） -2xexcosx（D）-e x2cosx24 下
2、列级数收敛的是 ( )5 二次积分 01dy1y+1f(x，y)如交换积分次序后得 ( )（A） 01dx1x+1f(x，y)dy（B） 12dx0x-1f(x，y)dy（C） 12dx1x-1f(x，y)dy（D） 12dxx-11f(x，y)dy6 设 f(x)=x3-3x，则在区间(0，1)内 ( )（A）函数 f(x)单调增加且其图形是凹的（B）函数 f(x)单调增加且其图形是凸的（C）函数 f(x)单调减少且其图形是凹的（D）函数 f(x)单调减少且其图形是凸的二、填空题7 _8 若 f(0)=1，则 _9 定积分 的值为_10 设 a=(1，2，3)，b=(2，5，k) ，若 a
3、与 b 垂直，则常数 k=_11 设函数 =_12 幂级数 的收敛域为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 求极限 14 设函数 y=y(x)由方程 y+ex+y=2x 所确定，求15 求不定积分xarctanxdx 16 计算定积分17 求通过点(1，1，1) ，且与直线 垂直，又与平面 2xz5=0 平行的直线的方程18 设 z=y2f(xy，e x)，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求19 计算二重积分 其中 D 是由曲线 直线 y=x 及 x 轴所围成的闭区域20 已知函数 y=ex 和 y=e-2x 是二阶常系数齐次线性微分方程 y“+py+qy=0 的两个解，试确定常数
4、P，q 的值，并求微分方程 y“+py+qy=ex 的通解四、综合题21 设由抛物线 y=x2(x0)，直线 y=a2(0a 1)与 y 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为 V1(a)，由抛物线 y=x2(x0)，直线 y=a2(0a1)与直线 x=1 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为 V2(a)，另V(a)=V1(a)+V2(a)，试求常数 a 的值，使 V(a)取得最小值22 设函数 f(x)满足方程 f(x)+f(x)=2ex，且 f(0)=2，记由曲线 与直线y=1，x=t(t 0)及 y 轴所围平面图形的面积为 A(t)，试求 五、
5、证明题23 证明：当 x1 时，24 设 其中函数 (x)在 x=0 处具有二阶连续导数，且 (0)=0，(0)=1 ，证明：函数 f(x)在 x=0 处连续且可导2010 年江苏专转本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 A【试题解析】 由题意， n=32 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 (x)=(- 2x2etcostdt)=-ex2cosx2.2x=-2xex2cosx24 【正确答案】 D【试题解析】 选项 D 通项公式为 分子是幂函数，分母是指数函数，因为指数函数的增长速度高于幂函数的
6、增长速度，而幂函数又大于对数函数的增长速度，故D 是一个收敛级数，其余都发散5 【正确答案】 D【试题解析】 画出积分区域，若先对 y 后对 x 积分，则积分变为 01dy1y+1f(x，y)dx=12dxx-11f(x，y)dy6 【正确答案】 C【试题解析】 利用导数性质，当 x(0，1) 时，有 f(x)=3x2-30，f“(x)=6x0，故在区间(0 ，1)内，函数 f(x)单调减少且其图形是凹的二、填空题7 【正确答案】 e 2【试题解析】 这是“1 2”型未定式，根据两个重要极限，8 【正确答案】 2【试题解析】 由已知，根据导数定义，9 【正确答案】 【试题解析】 由定积分的对称
7、性质，10 【正确答案】 -4【试题解析】 由题意 a.b=12+25+3k=0，解得 k=-411 【正确答案】 dx+2dy【试题解析】 12 【正确答案】 (-1，1【试题解析】 因为 ，收敛半径为 R= =1,当 x=1 时，收敛(莱布尼兹级数)，当 x=-1 时， 发散(调和级数)，故收敛域为(-1，1三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 原式=14 【正确答案】 方程两边同时对 x 求导得，15 【正确答案】 16 【正确答案】 用换元法，变量替换：令 则 ，dx=tdt，17 【正确答案】 由已知得，直线 的方向向量为 n1=(1，2，3)，平面 2xz 一
8、5=0 的法向量 n2=(2，0，-1)，则所求直线的方向向量 n=n1n2= =(-2，7，-4)，因此，所求直线方程为18 【正确答案】 19 【正确答案】 根据已知，画出积分区域，先对 x 后对 y 积分，则20 【正确答案】 特征方程的两个根为 r1=1，r 2=-2，特征方程为 r2+r-2=0，从而p=1，q=-2 ；=1 是特征方程的单根，p(x)=1，可设 Q(x)=Ax，即设特解为Y=Axex，Y=Ae x+Axex，Y“=2Ae x+Axex，p=1，q=-2，代入方程 y“+py+qy=ex 得(2A+Ax+A+Ax-2A)ex=ex，即 3A=1，A= ，所以微分方程
9、y“+py+qy=ex 的通解为y=C1ex+C2e-2x+ 四、综合题21 【正确答案】 由题意得，V 1=0a(a2)2-(x2)2dx= ，V 2(a)=a1(x2)2-(a2)2dx=，则 V(a)=V1(a)+V2(a)= V(a)=(8a4-4a3)，令 V(a)=0得 a= ，最小值为22 【正确答案】 由已知，解一阶线性非齐次常微分方程得，f(x)=e -dx(2exedxdx+C)=e-x(e2x+C)=ex+Ce-x，f(0)=2，C=1，f(x)=e x+e-x，f(x)=e xe-x，则又利用定积分求面积，五、证明题23 【正确答案】 构造函数 f(x)=ex-1- ，f(x)=e x-1-x，f“(x)=e x-110，f(x)在(1，+) 上单调递增， f(1)=0，f(x) 0，f(x) 在(1，+) 上单调递增，f(1)=0，f(x) 0，即24 【正确答案】 连续性： ，所以f(x)在 x=0 处连续；可导性：由于
