1、2008 年江苏专转本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设函数 f(x)在(-，+)上有定义，下列函数中必为奇函数的是 ( )（A）y=-f(x)（B） y=x3f(x4)（C） y=-f(-x)（D）y=f(x)+f(-x)2 设函数 f(x)可导，则下列式子中正确的是 ( )3 设函数 f(x)=2x1t2sintdt，则 f(x)= ( )（A）4x 2sin 2x（B） 8x2sin2x（C） -4x2sin2x（D）-8x 2sin2x4 设向量 a=(1，2，3)，b=(3，2，4) ，则 ab= ( )（A）(2 ，5，
2、4)（B） (2，-5 ，-4)（C） (2，5，-4)（D）(-2，-5，4)5 函数 在点(2，2) 处的全微分 dx 为 ( )6 微分方程 y“+3y+2y=1 的通解为 ( )（A）y=C 1e-x+C2e-2x+1（B） y=C1e-x+C2e-2x+（C） y=C1ex+C2e-2x+1（D）y=C 1ex+C2e-2x+二、填空题7 设函数 f(x)= ，则其第一类间断点为 _8 设函数 f(x)= 在点 x=0 处连续，则 a=_9 已知曲线 y=2x3-3x2+4x+5，则其拐点为_10 设函数 f(x)的导数为 cos x，且 f(0)= ，则不定积分f(x)dx=_11
3、 定积分 的值为_12 幂级数 的收敛域为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 求极限14 设函数 y=y(x)由参数方程 (t2n，nZ)所确定，求15 求不定积分：16 求定积分：17 设平面 经过点 A(2， 0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，5)，求经过点 P(1，2，1)且与平面 垂直的直线方程18 设函数 z=f(x+y， )，其中 f(x，y)具有二阶连续偏导数，求19 计算二重积分 其中 D 是由曲线 y= 直线 y=x，x=2 及 y=0 所围成的平面区域20 求微分方程 xy=2y+x2 的通解四、综合题21 求曲线 y= (x0)的切线，使其在两坐标轴上的截
4、距之和最小，并求此最小值22 设平面图形由曲线 y=x2，y=2x 2 与直线 x=1 所围成 (1)求该平面图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积； (2)求常数 a，使直线 x=a 将该平面图形分成面积相等的两部分五、证明题23 设函数 f(x)在闭区间0，2a(a0)上连续，且 f(0)=f(2a)f(a)，证明：在开区间(0，a)上至少存在一点 ，使得 f()=f(+a)24 对任意实数 x，证明不等式：(1-x)e x12008 年江苏专转本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 排除法，由于不知道
5、f(x)的奇遇性，故无法判定 A、C 选项的奇偶性对于 D，y(-x)=f(-x)+f(x)=y(x)为偶函数，故排除选项 B，y(-x)=(-x) 3f(-x)4=-x3f(x4)=-y(x)为奇函数，正确2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 所以A 正确3 【正确答案】 D【试题解析】 利用变上限积分求导,f(x)= 2x1sintdt=-12xt2sintdt f(x)=-(2x)2sin2x.(2x)=-8x2sin2x，所以选 D4 【正确答案】 C【试题解析】 根据向量叉积运算，ab= =2,5，4，所以选 C5 【正确答案】 A【试题解析】 把点(2，2)代入，得 选 A【注】
6、本题也可先把对数函数化简后再求全微分，即 z=ln =lnylnx，则能简化计算6 【正确答案】 B【试题解析】 先求对应齐次方程 y“+3y+2y=0 的通解 ，特征方程为2+3+2=0，(+2)(+1)=0，解得特征根为 1=-2， 2=-1，所以通解为 =C1e-x+C2e-2x 再求特解 y*，由于 =0 不是特征根，所以令 y*=A，y*=0，y*“=0，代入原方程，得 0+0+2A=1，A= ，y*= 所以，通解 y= +y*=C1e-x+C2e-2x+ ，B 正确二、填空题7 【正确答案】 x=1【试题解析】 在 x=1 处， 是第一类间断点，在 x=0 处， 是第二类间断点8
7、【正确答案】 a=3【试题解析】 应用左右极限求解又 f(0)=a，所以 a=39 【正确答案】 【试题解析】 由已知，得 y=6x2-6x+4，y“=12x-6 ，令 y“=0，得，所在点为拐点，代入曲线方程求得 y= ，所以拐点为10 【正确答案】 【试题解析】 由已知 f(x)=cosx，两边积分，f(x)dx=cosxdx，即 f(x)=sinx+C 对 f(x)= 代入，求得 C= ，所以 f(x)= +sinx，则11 【正确答案】 【试题解析】 利用定积分定称性定理，原积分变为12 【正确答案】 -2，2)【试题解析】 由于 所以收敛半径为 又当 x=-2 时 收敛(莱布尼兹级数
8、)，x=2 时， 发散（调和级数），故收敛域为-2，2)三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 由于 所以16 【正确答案】 令 =t，则 x=t2，dx=2tdt，x=0 时，t=0 ，x=1 时，t=1，则01 dx=01et.2tdt=201tetdt 用分部积分法，2 02tetdt=201tdet=2tet 01-01etdt=2eet 01=2(ee+1)=217 【正确答案】 由已知得，平面 的法向量，nAB，nAC ，且 AB=-2，3，0)，AC=-2，0，5)，则n=ABBC= =15，10，6又直线方向向量 sn，
9、取 s=15，10，6则所求直线方程为18 【正确答案】 令 u=x+y,v= ，由复合函数求偏导法则由于 f(x，y)具有二阶连续偏导数，则上式= 19 【正确答案】 如图，画出积分区域，选择先对 y 积分后对 x 积分则注：本题若先对 x 积分然后对 y 积分，也能计算出结果，但过程较繁20 【正确答案】 将微分方程变形为 ，这是一阶线性微分方程的标准形式，且 P(x)= ，Q(x)=x，代入求解公式，得四、综合题21 【正确答案】 由已知，设切点坐标为(x 0， )，则切线斜率为 y(x0)= ，切线方程为 求截距：令 y=0，得 x=2x0，令 x=0，解得 y= ，则截距之和 S=2
10、x0+ (x00)令 S=2- =0，得驻点 x0=1，由于 S“(x0)=4x0-3=4.1-3=40 所以 x0=1 为极小值点，也是最小值点，即 x=1 时，截距之和最小，且最小值 S(1)=2+2=422 【正确答案】 如图所示，曲线 y=x2，y=2x 2 与直线 x=1 的交点分别为(1，2)，(1，1)利用定积分几何意义， (1)该平面绕 x 轴旋转所得旋转体体积为 Vx=01(2x2)2dx-01(x2)2dx=01(4x4-x4)dx=013x4dx= (2)依题意：0a(2x2-x2)dx=a1(2x2-x)dx，即 0ax2dx=a1x2dx 两边积分得 ，解得 当时将平
11、面图形分成面积相等的两部分五、证明题23 【正确答案】 构造辅助函数，F(x)=f(x+a)-f(x)，x0，a ，F(x)在0，a连续，且 F(0)=f(a)-f(0)，由于 f(0)=f(2a)，则 F(a)=f(2a)-f(a)=f(0)-f(a)，又 F(0).F(a)=f(a)-f(0).f(0)-f(a)=-f(a)-f(0)20，由零点定理知：在 (0，a) 至少存在一点 ，使 F()=0，即 f(+a)-f()=0，f(+a)=f()， (0，a)24 【正确答案】 构造辅助函数，令 f(x)=1-ex+xex，x(- ，+)，则 f(x)=-ex+ex+xex=xex，令 f(x)=0，得 x=0，为驻点又 f“(x)=ex+xex，f“(0)=10，所以x=0 为极小值点，且为最小值点，所以 x(-，+) ，有 f(x)f(0)=0，即 1-ex+xex0 即(1-x)e x1，证毕
