1、2007 年陕西省专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知函数 在 x=0 处连续，则常数 a 与 b 满足( )（A）ab（B） ab（C） a=b（D）a 与 b 为任意实数2 设函数 F(x)是 f(x)的一个原函数，则不定积分 等于( )（A）F(lnx)（B） F(lnx)+C（C） F(x)+C（D）3 设有直线 和平面 ：xy z+1=0，则( )（A）L 与 垂直（B） L 与 相交但不垂直（C） L 在 上（D）L 与 平行但 L 不在 7 上4 设 D 是由直线 y=x，y=1 及 x=0 所围成的闭区域，则二
2、重积分 的值等于 ( )（A）1 一 cos1（B） cos1 一 1（C） 1 一 sin1（D）sin1 一 15 下列级数中绝对收敛的级数是( )（A）（B）（C）（D）二、填空题6 已知函数 f(x)的定义域为0 ，2，则函数 的为_7 当 x0 时，sinx 与 是等价无穷小，则常数 a 等于_8 设 L 为直线 y=x 一 1 上从点 (1，0)到点(2，1)的直线段，则曲线积分 L(x-y+2)ds的值等于_9 曲面 x2 一 2y2+z2 一 4x+2z=6 在点(0，1，2)处的切平面方程为 _10 定积分 的值等于_三、综合题11 求极限12 设函数 y=f(x)由方程 e
3、xy+x2 一 y+4=0 所确定，求13 设函数 f(x)=x 一 2arctanx，(1)求函数 f(x)的单调区间和极值；(2)求曲线 y=f(x)的凹、凸区间和拐点14 求不定积分15 设函数 z=f(xy，e x+y)，其中 f 具有二阶连续偏导数，求16 计算二重积分 其中 D 是由曲线 和直线 y=x 所围成的闭区域17 设连续函数 f(x)满足 ，求 F(0)18 计算曲线积分 其中 L 是由点A(一 1，1) 经点 O(0，0)到点 B(1，1)的折线段19 求幂级数 的收敛域及和函数20 设函数 f(x)连续且满足 求 f(x)四、证明题21 已知曲线 在点(x 0，y 0
4、)处有公共切线，求：(1)切点的坐标(x 0， y0)；(2)两曲线与 x 轴所围成的平面图形 S 的面积 A；(3)平面图形 S 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V22 设函数 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 证明：在(0，1)内至少存在一点 ，使得 2f()+f()=02007 年陕西省专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 由题意可知，函数 y=f(x)在点 x=0 处连续，又因, 所以 a=b.2 【正确答案】 B【试题解析】 因函数 F(x)是 f(x)的一个原函数，所以为任
5、意常数，3 【正确答案】 D【试题解析】 由题意可得，直线 L 的方向向量为 s=1，一 1，2平面 的法向量为 n=1，一 1，一 1，则 11+(一 1)(一 1)+2(一 1)=0，所以直线 L 与平面 平行，但 L 不在平面 上4 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可得，积分区域 D 如右图所示： 则积分区域 D 为5 【正确答案】 D【试题解析】 对于 D 选项， 是收敛的，所以是绝对收敛的二、填空题6 【正确答案】 0，1【试题解析】 因函数 又因为函数 f(x)的定义域为0，2，7 【正确答案】 1【试题解析】 则 a=18 【正确答案】 【试题解析】 由题意可得：9 【正确答
6、案】 2x+2y 一 3z+4=0【试题解析】 令 F(x，y， z)=x22y2+z24x+2z 一 6，则 Fx=2x 一 4，F y=一4y，F z=2z+2，F x(0，1，2)=一 4，F y(0，1，2)=一 4，F z(0，1，2)=6 所以切面方程为：一 4(x0)+(一 4)(y 一 1)+6(z 一 2)=0整理得： 2x+2y 一 3z+4=010 【正确答案】 【试题解析】 三、综合题11 【正确答案】 12 【正确答案】 将 x=0 代入方程，得 y=513 【正确答案】 当 x一1 时，f(x)0；当一 1x1 时，f(x) 0；当 x1 时，f(x) 0故 f(x
7、)在(一 ，一 1， 1，+)上单调增加存一 1，1上单调减少，且 f(x)在取得极大值在 x=1 取得极小值 (2) ，令f(x)=0，得 x=0 当 x0 时， f(x)0；当 x0 时，f(x) 0，故曲线 y=f(x)在区间(一， 0上是凸的，在0，+)上是凹的，(0，0)是曲线的拐点.14 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案】 化为极坐标，有17 【正确答案】 18 【正确答案】 令 P=2xy2 一 y2cosx，Q=2x 一 2ysinx+3x2y219 【正确答案】 收敛域一 1，1)20 【正确答案】 f(x)=6x 一 f(x)，即 f(x)+f(x)=6x 特征方程为 r2+1=0，r=i，f *=6x 故通解为 f(x)=C 1cosx+C2sinx+6x 由于 f(0)=0，f(0)=0 ，f(x)=一 C1sinx+C2cosx+6 得 C 2=0，C 2=一 6 所以 f(x)=一6sinx+6x四、证明题21 【正确答案】 22 【正确答案】 令 F(x)=x2f(x)，则 F(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导所以 F()=2f()=f(1)=F(1)由Roll e 定理知，存在 (，1)c(0，1)使 F()=0，即得 2f()+f()=0 ，(0，1)
