1、安徽省教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题1 已知集合 M=x 1，N=yy=1x 2，则 MN=( )。（A）(一， 2（B） (0，1（C） (0，2（D）0 ，12 在 RtABC 中，已知C=90，B=60 ，BC=1，点 P 是 ABC 内的一点，且APB=APC=CPB=120，则 AP+BP+CP=( )。3 计算： =( )。（A）1（B）一（C） 0（D）14 下列命题中错误的是( )。（A）如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 （B）如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 （C）如果平面 平面 ，平面 平面
2、 ，=l，那么 l平面 （D）如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 5 设 x，y 满足不等式组 ，若 z=ax+y 的最大值为 2a+4，最小值为a+1，则实数 a 的取值范围为( )。（A）一 1，2（B） 一 2，1（C） 一 3，一 2（D）一 3，16 如图，在三棱柱中 ABC=A1B1C1，ACB=90，ACC 1=60，BCC 1=45，侧棱CC1 的长为 1，则三棱柱的高等于( )。7 设函数 y=f(x)在区间一 1，3上的图形为： 则函数F(x)=0xf(t)dt 的图形为( )。8 普通高中数学课程标准(实验)提出五种基本能力，没有包含在其中的是( )。（A
3、）推理论证能力（B）运算求解能力（C）数据处理能力（D）几何作图能力9 下面是关于学生数学学习评价的认识：通过考查学生的知识技能就可以对学生的数学学习进行全面评价通过考查学生的情感与态度就可以对学生的数学学习水平进行评价数学学习的评价重在学习过程，对于学习结果不必看重数学学习的评价重在激励学生学习，而不是改进教师教学其中，不正确的为( ) 。（A）（B） （C） （D）10 普通高中数学课程标准(实验)中指出，高中数学课程应建立合理、科学的评价体系，包括( ) 和评价体制等方面。评价内容 评价理念评价过程 评价形式（A）（B） （C） （D） 二、填空题11 在 AA BC 中，角 A，B，C
4、 所对的边分别为 a，b，c。若A= ，b=2 ，则 a=_。12 在 =_。(用a，b 表示)。13 (1+2x2)(x 一 )2 的展开式中常数项为_。( 用数字作答)14 =_。15 现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、_、_等方面产生深刻的影响。三、解答题16 已知 +)值。17 已知a n是等差数列，满足 a1=3，a 4=12，数列b n满足 b1=4，b 4=20，且b nan是等比数列。 (1) 求数列a n和b n的通项公式； (2)求数列b n的前 n 项和。18 在表面涂成红色的棱长为 4 cm 的正方体中，将其均匀分割成棱长为 1 cm 的小正方体，从中任取一个。
5、(1)求取出的正方体恰好两面是红色的概率；(2)设取出正方体涂成红色面的总面数为随机函数 ，求 的分布列与均值 E()。19 如图，ABC 是等边三角形，O 过点 B、C ，且与 BA，CA 的延长线分别交于点 D，E 。弦 DFAC， EF 的延长线交 BC 的延长线于点 G。 (1)求证：BEF 是等边三角形； (2)若 BA=4，CG=2，求 BF 的长。20 已知函数 g(x)= (m0)是1，)上的增函数。 (1)求实数 m 取值范围；(2)当 m 取最大值时，是否存在点 Q，使得过 Q 的直线与曲线 y=g(x)围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等。证明你的结论。四、教学
6、设计题21 算法初步是课程标准的新增内容，它是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。在信息技术高度发达的现代社会，算法思想应该是公民必备的科学素养之一。(1)请简述 普通高中数学课程标准(实验) 对“算法初步”设置的内容标准。(2)设计一个算法实例的引入片段，帮助学生初步形成算法概念的雏形，说明设计意图。(3)如何引导学生设计判断任意大于 2 的正整数 n 是否是质数的算法，说明设计意图。五、案例分析22 案例：752 一次函数的简单应用教学。 以小聪、小慧去旅游的例子为线索，让学生体会一次函数的图象与二元一次方程组的解之间的关系，然后利用图象的交点让学生明白利用图象的简洁性，同时
7、附带介绍近似解等概念，但在教学中我们发现：当我们需要将问题中的两个函数的图象画在同一个直角坐标系中时遇到了困难。为什么是 s1=36t 和 s2=26t+10 这两个函数?下面是这教学片段的师生对话：师：这个问题我们能否用新的方法(数形结合)来解决。 生：可以利用函数的图象。(部分学生回答) 师：很好，若要利用函数的图象，我们首先需要知道什么? 生：函数的解析式。 师：那函数的解析式是怎样的? 生 1：s 1=36t 和 s2=26t。 师：还有不同答案吗? 生 2：s 1=36t 和 s2=26t+10。 师：为什么有两种不同的答案? 我们需要的是哪一种? 生：第二种。 师：为什么? (全班
8、学生迟疑了片刻，有几个好生举手发言了) 生 1：因为此两个函数要画在同一个直角坐标系中，它们的函数值 y 要相同； 生 2：它们两个人出发的时间相同： 生 3： 根据以上教学片段回答下列问题 (1)针对以上片段中学生的回答，你认为应该采取怎样教学手段更好地使学生理解。(2)根据以上教学内容，拓展开来谈谈如何“ 挖掘教材内涵，凸显数学本质” 。安徽省教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 由 M 中不等式 1，解得：0x2 ，即 M=(0，2，由 N 中 y=1x21，得到 N=(一，1，则 MN=(0，1。2 【正确答案】 B【试题解析】
9、 在下图中，PAB+ PBA=180一 120=60，PBA+ PBC=60，则PAB=PBC，又 APB=BPC=120，则PAB 一 PBC，则PA：PB=PB：PC=AB：BC=2 ：1。 设 PC=x，则 PB=2x，PA=4x。在PCB 中运用余弦定理，可解得 x= 。3 【正确答案】 B【试题解析】 原式=2sin。4 【正确答案】 D【试题解析】 如果平面 平面 ，则 内垂直于 与 的交线的所有直线都垂直于平面 。5 【正确答案】 B【试题解析】 由 z=ax+y 得 y=一 ax+z，直线 y=一 ax+z 是斜率为一 a，y 轴上的截距为 z 的直线，作出不等式组对应的平面区
10、域如图： 则 A(1，1)，B(2，4)， z=ax+y 的最大值为 2a+4最小值为 a+1， 直线 z=ax+y 过点 B 时，取得最大值为 2a+4，经过点 A 时取得最小值为 a+1。 若 a=0，则 y=z，此时满足条件， 若a0，则目标函数斜率 k=一 a0，要使目标函数在 A 处取得最小值，在 JE处取得最大值 则目标函数的斜率满足一 akBC=一 1， 即 0a1。 若 a0，则目标函数斜率 k=一 a0， 要使目标函数在 A 处取得最小值，在 B 处取得最大值， 则目标函数的斜率满足一 akAC=2 即一 2a0。 综上得，a 的取值范围是 2，1。6 【正确答案】 A【试题
11、解析】 过 C1 作面 ACB、线 BC、AC 的垂线，交点分别为 O、D 、E，连接OD、OC、OE，易知 AC 垂直于平面 C1OE，CB 垂直于平面 C1OD。 AC 垂直于OE，BC 垂直于 OD，又 ACB=90，所以四边形 OECD 为矩形。7 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)符号可以确定 F(x)的单调性，再结合变上限积分的性质，逐一排除即可得到正确答案。首先，当 x0 时 f(x)0，可知，此时 F(x)应该单调递增，由此排除 A；在剩下的三个选项中，可以先排除 B，因为变上限积分一定是连续的；最后再由 F(0)=0，可知，应该排除 C，故选 D。8 【正确答案】 D
12、【试题解析】 五种基本能力为空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理。9 【正确答案】 D【试题解析】 评价不仅要关注学生的学习结果，更要关注学生在学习过程中的发展和变化。应采用多样化的评价方式，恰当呈现并合理利用评价结果，发挥评价的激励作用，通过评价帮助教师进行总结与反思，调整和改进教学内容和教学过程，促进老师的发展。10 【正确答案】 D【试题解析】 普通高中数学课程标准(实验)中指出，现代社会对人的发展的要求引起评价体系的深刻变化，高中数学课程应建立合理、科学的评价体系，包括评价理念、评价内容、评价形式和评价体制等方面。二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 ABC 中 co
13、sB=12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 2【试题解析】 (1+2x 2)(x 一 )8 的展开式中常数项为 1C 84+2C 85(一 1)5=一42。14 【正确答案】 【试题解析】 15 【正确答案】 数学教学；数学学习。三、解答题16 【正确答案】 17 【正确答案】 (1)设等差数列a n的公差为 d，由题意得d= =3，a n=a1+(n 一 1)d=3n(n=1，2，) ，设等比数列b n 一 an的公比为 q，由题意得 q3= =8，解得 q=2，所以 bnan=(b1a1)qn1=2n1，从而 bn=3n+2n1(n=1，2， )，(2)由(1)知 bn=3
14、n+2n1(n=1，2，)，18 【正确答案】 (1)将大正方体分割成小正方体，可分割出 444=64(个)，其中恰好两面是红色的正方体是在 12 条棱上的正方体，有(42)12=24(个)，因此概率为2464= 。 (2)由上题可知， P(=2)= 。 三面都是红色的是 8 个角上的正方体，因此 P(=3)=864= 。 只有 1 面是红色的正方体是 6 个面中间的正方体，有(42)(42)6=24 个，因此 P(=1)=2464= 。 各面都不是红色的正方体有(42)3=8(个)，因此 P(=0)=864= 。 故 E()=0 。19 【正确答案】 (1) AABC 是等边三角形EFB=
15、ECB=60又DFACD=BAC=60BFF=D=60EBF=60BEF 是等边三角形。(2)在等边ABC 和BEF 中，EBF= ABC=60EBD=FBC 又BAC= EFB=60EAB=BFG=120EBAGBF 又AB=BC=4 BG=BC+CG=4+2=6BE=BFBF2=ABBG BF= 。20 【正确答案】 (1)由 g(x)= 。g(x) 是1，+)上的增函数，g(x)0 在1，+) 上恒成立，即 x2+1 一 0 在1，+) 上恒成立。设 x2=t， x1，+)，t1 ，+)，即不等式 t+1 一 0 在1，+) 上恒成立。函数 y=t+1 一 在1，+)上单调递增，因此 y
16、min=2 一m。y min0，2 一 m0，即 m2。又 m0，故 0m2。 (2)存在这样的点 Q。m的最大值为 2。故有 g(x)= ，x(一，0)(0，+)。将函数 g(x)的图象向上平移 2 个长度单位，所得图象相应的函数解析式为 (x)= ，x(一，0)(0，+)。 由于 (x)=一 (x)，所以 (x)为奇函数，故 (x)的图象关于坐标原点成中心对称。由此可得函数 g(x)的图象关于点 Q(0，一 2)成中心对称。这表明存在点 Q(0，一 2)，使得过点 Q 的直线若能与函数 g(x)的图象围成两个封闭图形且这两个封闭图形的面积总相等。四、教学设计题21 【正确答案】 (1) 算
17、法的含义、程序框图：通过对解决具体问题过程与步骤的分析，体会算法的思想，了解算法的含义。通过模仿、操作、探究，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种几百年逻辑结构：顺序、条件分支、循环。 基本算法语句：经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句一输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。 通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。 (2)问题：大家还记得如何在给定精确度的前提下，用二分法求函数零点的近似值吗?给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下： 第一步
18、：确定区间a，b，验证f(a)f(b) 0； 第二步：求区间(a ，b)的中点 c； 第三步：计算 f(c)； (1)若 f(c)=0，则 c 就是函数零点； (2)若 f(a)f(c) 0，则令 b=c(此时零点 x(a，c)； (3)若 f(c)f(b) 0，则令 a=c(此时零点 x0(c，b)。 第四步：判断是否达到精确度，即若a b，则得到零点近似值 a 或 b；否则重复 24。 问题：按照此算法，我们是否能够借助计算机来寻求方程的近似值呢? 我们必须确保让计算机执行的程序的每一个步骤都明明白白没有歧义，也就是步骤必须明确。 问题：我们可以把精确度 取消吗? 算法的步骤必须是有限的，
19、它可以进行循环结构的运算，但必须有终点。在数学中，经过这样一补充，我们就得到了完整的算法概念：算法通常是指按照一定的规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。 设计意图：学生已经积累了大量的算法的实践经验，只不过没有明确提出“算法” 这一概念。同时，为了进一步培养学生归纳总结、提炼概括的能力，因而没有直接给出算法的概念，而是通过引导学生回顾相关实例(给点精确度 ，用一分法求函数零点近似值的步骤)，再从实例中提炼出算法的概念。这样也就充分体现了从学生“最近发展区” 设计问题，从而提高了课堂教学的有效性。 (3) 引导学生设计出判断 11 是否为质数的算法：引导学生思考如何设计判断 1999 是否是质
20、数的算法： 引导学生设计出判断任意大于 2 的正整数 n 是否是质数的算法： 第一步：给定大于 2 的整数 n； 第二步：令 i=2； 第三步：用 i 除 n，得到余数 r； 第四步：判断“r=0” 是否成立。若是，则 n 不是质数；否则将 i 的值增加 1，仍用 i 表示； 第五步：判断“i(n 一 1)”是否成立。若是，则 n 是质数，结束算法；否则，返回第三步。 整个过程，从 11，再到 1999，最后到任意大于 2 的正整数 n，对他们的判断方法具有高度的一致性，这其实反映了算法的一个重要特征普适性。 设计意图：选择从 11 到 1999 再到任意大于 2 的正整数 n 的，从简单到复
21、杂，从具体到抽象，从特殊到一般的设计过程，一方面降低了设计的难度，让学生积累了设计算法的经验；另一方面又体现了算法概念的内涵：算法是解决某一类问题的步骤。通过为学生提供一个又一个的操作机会，达到让学生在整个过程中模仿中有探索，探索中有新知，步步为营加深对概念认知的目的。五、案例分析22 【正确答案】 (1)以上教学只是按照教材规定的内容进行教学，教学方法也比较传统，教学过程侧重于知识的落实，学生虽然参与了学习，但学习热情较为低落。可以说，教师基本上是在“教教材” ，缺乏数学本质的体现。这个问题本身使部分学生感到比较难理解，我认为可以采用这种教学设计：以“数形结合” 为引领，大胆改编教材的呈现模
22、式切合学生实际教学思路。先让学生了解一次函数和二元一次方程的关系，然后再利用“数形结合” 的思想方法让学生体会直角坐标系中两条直线(不平行于坐标轴)的交点坐标与由两条直线的函数解析式所组成的二元一次方程组的解之间的关系，让学生明白利用图象的简洁性。这样处理的好处是：既分解了本节课的难点又为利用图象法解决例题埋下了伏笔。这样的设计以数学思想为主线，设置问题串，让学生在不断的演练中体会到“数形结合”的优越性。(2)分解教材内容确定学习目标学习目标：会综合运用一次函数的解析式和图象解决简单实际问题；了解直角坐标系中两条直线(不平行于坐标轴)的交点坐标与由两条直线的函数解析式所组成的二元一次方程组的解
23、之间的关系：会用二次函数的图象求二元一次方程组的解(包括近似解)。结合数形结合的要求，选择教学素材a创造性地处理教材教材中只用一个例题，为更好地呈现给学生，可以用这样的一个等式 y=x+1 让学生了解一次函数和二元一次方程的关系，再让学生了解直角坐标系中两条直线(不平行于坐标轴) 的交点坐标与由两条直线的函数解析式所组成的二元一次方程组的解之间的关系。b创造开发生成性的教学素材在教学设计中，讲解例题时，当作出函数的图象时我们设计了这样一个问题：从图象中你还能了解到哪些信息?符合新课标的要求，不同的人在数学上得到不同的发展。运用数学思想解决问题，培养学生创新意识a让学生经历数学知识的形成与应用过程。b构建“以问题为中心” 的讨论式数学模式。c注重数学思想的运用，提高解决问题的能力。在教学的最后一个环节，还可以设计这样一道开放题：根据此函数的图像，你能设计出它的实际背景吗?教学中，应当有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会数学思想，感受数学的规律性、可循性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力。
