1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 设 f(x)在a ，b上非负，在(a，b) 内 f“(x)0，f(x)0I 1= (f(b)+f(a)，I2=abf(x)dx，I 3=(b 一 a)f(b)，则 I1、I 2、I 3 的大小关系为 ( )（A）I 1I2I3（B） I2I3I1（C） I1I3I2（D）I 3I2I13 设函数 f(x)在a，b上可积，(x)= axf(t)dt，则下列说法正确的是 ( )（A）(x)在a，b上可导（B） (x)在a ，b 上连续（C） (x)在a ，b 上：不可导（D
2、）(x)在a，b上不连续4 设 f(x)=0sinxsin2tdt，g(x)= 02xln(1+t)dt，则当 x0 时，f(x)与 g(x)相比是 ( )（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小5 设 N=-aax2sin3xdx，P= -aa(x3 一 1)dx，Q= -aacos2x3dx，a0，则 ( )（A）NPQ（B） NQP（C） QPN（D）PNQ二、填空题6 将 分解为部分分式的形式为_7 设 f(x)的一个原函数为 ln X，则 f(x)=_8 已知函数 F(x)的导数为 f(x)= 则 F(x)=_9 10 11 12 若 f(x2)= (
3、x0)，则 f(x)=_13 x2sin 2xdx=_14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 求不定积分17 求下列积分：18 求下列积分：19 20 求下列积分：21 求下列积分：22 求下列积分：23 求下列积分：24 求下列积分：25 计算积分： -12xmax1，e -xdx，其中，x 表示不超过 x 的最大整数26 计算积分： 03(|x1|+|x 一 2|)dx27 计算积分：设 f(x)= 求 13f(x 一 2)dx28 计算积分：已知 f(x)= 求 2n2n+2f(x 一 2n)e-xdx，n=2，3，29 30 设 f(sin2x)=31 设函
4、数 x=x(y)由方程 x(y-z)2=y 所确定，试求不定积分32 设 f(x)在区间0，1上连续，在 (0，1)内可导，且满足证明：存在 (0，1)，使得 f()=2f()33 设函数 f(x)有连续导数，F(x)= 0xf(t)f(2a-t)dt，证明： F(2a)一 2F(a)=f2(a)一 f(0)f(2a)考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，I 1 是梯形 AabB 的面积，I 2 是曲边梯形 Aa
5、bB 的面积，I 3是长方形 A1abB 的面积由于 f(x)0，f“(x) 0，y=f(x)单调减少且图形为凹由图 131 可知 I3I2I1【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 当 f(x)在a，b 上连续时，(x)= axf(t)dt 在a，b 上可导如果 f(x)只在a ，b上可积，则只能保证 (x)在a，b上连续【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 需要计算 f(x)与 g(x)比值的极限故当 x0 时，f(x)与 g(x)是同阶但非等价无穷小【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 x 2sin3x 是奇函数，故
6、N=0， 是奇函数，故 P=-aa(一 1)dx=一2a0，Q=2 0acos2 x3dx0，所以 PNQ【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 由题设，f(x)dx=ln x+C,f(x)=(ln x+C)=【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 由题意 F(x)=f(x)= ，故【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 其中 C
7、为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设 x=tanu，则 dx=sec2 udu，【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答
8、案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 因 x=一(1 一 x)一 1，从而可凑微分法【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 然后分部积分，留 arccos x，移 到 d 后面，即【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 由于(xln x)1 一 ln x，分子分母同时除以注意到【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 一般会想到如下解法：用牛顿一莱布尼茨公式，令 t=tan x，则x=arctan t，dx= 则这当然是错的，错在哪里呢?因为当 t一 1，0时，x=arctant 之值不落在原积分区间 事实上
9、，补救的办法是将积分区间拆开，由此，得【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 因分段函数则由定积分的分段可加性得 -12xmax1，e -xdx=-10(一 1)e-xdx+010dx+121dx=2 一 e【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 因分段函数|x 一 1|+|x-2|= 则由定积分的分段可加性得 03(|x 一 1|+|x-2|)dx=01(3-2x)dx+12dx+23(2x-3)dx=5【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 令 t=x 一 2，则由定积分的分段可加性得， 13f(x 一 2)dx=-11f(t)dt=-10(1+t2)dt+01et
10、dt=【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 令 t=x-2n，则由定积分的分段可加性与分部积分得， 2n2n-2f(x-2n)e-xdx=02f(t)e-t-2ndt=e-2n01te-tdt+e-2n12(2 一 t)e-tdt=(1 一 e-1)2e-2n【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 令 yx=t，则(yt)t 2=y，故得 t3 一 3t=A(t3+t2一 t 一 1)+B(t2+2t+1)+C(t3 一 t2 一 t+1)+D(t2 一 2t+1) =(A+C)t
11、3+(A+BC+D)t2+(一A+2BC 一 2D)tA+B+C+D 比较 t 的同次幂的系数得【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 由积分中值定理，得 f(1)= 令 F(x)=则 F(x)在 1，1上连续，在( 1，1)内可导，且由罗尔定理，在( 1，1)内至少有一点 ，使得于是 f()=2f() ， (1，1) (0，1)【知识模块】 一元函数积分学33 【正确答案】 F(2a) 一 2F(a)=02af(t)f(2at)dt 一 20af(t)f(2a 一 t)dt =a2af(t)f(2a-t)dt一 0af(t)f(2a-t)dt，其中 a2af(t)f(2at)dt=f2(a)一 f(0)f(2a)+a2af(2at)f(t)dt，所以 原式=f2(a)一 f(0)f(2a)+a2af(2a 一 t)f(t)dt 一 0af(t)f(2a-t)dt，又 a2af(2at)f(t)dt 0af(u)f(2a-u)du=0af(t)f(2a-t)dt，所以， F(2a)一 2F(a)=f2(a)一 f(0)f(2a)【知识模块】 一元函数积分学
