1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 ，当 x-时，它有斜渐近线 ( )（A）y=x+1（B） y=一 x+1（C） y=一 x 一 1（D）y=x12 当 x0 时，曲线 y= ( )（A）有且仅有水平渐近线（B）有且仅有铅直渐近线（C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线3 曲线 ( )（A）没有渐近线（B）仅有水平渐近线（C）仅有铅直渐近线（D）既有水平渐近线，也有铅直渐近线4 曲线 的渐近线有 ( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条5 设函数 f(
2、x)=(ex 一 1)(e2x 一 2)(enx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f(0)= ( )（A）(一 1)n-1(n1)!（B） (一 1)n(n1)!（C） (一 1)n-1n!（D）(一 1)nn!6 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，则在(0，1)内至少存在一点 ，使 ( )7 f(x)=xex 的 n 阶麦克劳林公式为 ( )8 若 f(x)在开区间(a，b)内可导，且 x1，x 2 是(a，b)内任意两点，则至少存在一点，使下列诸式中成立的是 ( )（A）f(x 2)一 f(x1)=(x1 一 x2)f()，(a ，b)（B
3、） f(x1)一 f(x2)=(x1 一 x2)f()， 在 x1，x 2 之间（C） f(x1)一 f(x2)=(x2 一 x1)f()，x 1 x 2（D）f(x 2)一 f(x1)=(x2 一 x1)f()，x 1x 29 在区间0 ，8 内，对函数 f(x)= ，罗尔定理 ( )（A）不成立（B）成立，并且 f(2)=0（C）成立，并且 f(4)=0（D）成立，并且 f(8)=010 给出如下 5 个命题： (1)若不恒为常数的函数 f(x)在(一，+)内有定义，且x00 是 f(x)的极大值点，则一 x0 必是一 f(一 x)的极大值点； (2) 设函数 f(x)在a， +)上连续，
4、f“(x) 在(a，+)内存在且大于零，则 F(x)= 在(a ，+)内单调增加； (3)若函数 f(x)对一切 x 都满足 xf“(x)+3xf(x)2=1 一 e-x，且 f(x0)=0，x 00，则 f(x0)是 f(x)的极大值； (4)设函数 y=y(x)由方程 2y3 一 2y2+2xy-x2=一1 所确定，则 y=y(x)的驻点必定是它的极小值点； (5)设函数 f(x)=xex，则它的 n 阶导数 f(n)(x)在点 x0=一(n+1)处取得极小值 正确命题的个数为 ( )（A）2（B） 3（C） 4（D）5二、填空题11 12 设 y=cos x2sin2 ，则 y=_13
5、设 y= 则 y|x=0=_14 15 y=sin4x+cos4x，则 y(n)=_(n1)16 落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是6ms ，问在 2s 末扰动水面面积的增大率为 _m2s三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 f(x)在(a，b)内可导，满足(1) (2)f(x)+f2(x)+10， (a，b)求证：ba18 若函数 (x)及 (x)是 n 阶可微的，且 (k)(x0)=(k)(x0)，k=0，1，2，n 一1又 xx 0 时， (n)(x) (n)(x)试证：当 xx 0 时，(x)(x)19 设函数 f(x)在(a，b)内存
6、在二阶导数，且 f“(x)0试证：(1)若 x0(a，b)，则对于(a ，b)内的任何 x，有 f(x0)f(x)一 f(x0)(xx0)，当且仅当 x=x0 时等号成立；(2)若 x1，x 2，x n(a，b)，且 xix i+1(i=1，2，n 一 1)，则其中常数 ki0(i=1 ，2， ，n) 且20 若 x一 1，证明：当 01 时，有(1+x) 1+x；当 0 或 1 时，有(1+x)1+x21 求证：当 x0 时，有不等式 arctan x+ 22 利用导数证明：当 x1 时，23 设 x(0，1)，证明下面不等式：(1)(1+x)ln 2(1+x)x 2；(2)24 求证：当
7、x0 时，(x 2 一 1)ln x(x 一 1)225 26 求使不等式 对所有的自然数 n 都成立的最大的数 和最小的数 27 设函数 f(x)在(一，+)内二阶可导，且 f(x)和 f“(x)在(一，+) 内有界，证明：f(x)在(一， +)内有界28 设 n 为自然数，试证：29 证明：函数 f(x)在 x0 处可导的充要条件是存在一个关于x 的线性函数 L(x)=x，30 已知 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f(x)f“(x)一(f(x) 20 (xR)(2)若 f(0)=1，证明：f(x)e f(0)x (xR)31 设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f(x)在开区间(
8、0，c)内存在且单调减少，f(0)=0试应用拉格朗日中值定理证明：f(a+b)f(a)+f(b)，其中常数 a， b 满足条件 0aba+bC32 33 证明：当 0a b 时，bsin b+2cos b+basina+2cos a+a34 设 ba e，证明：a bb a35 证明：当 x0 时，不等式 1+x 成立36 37 若函数 f(x)在(0，+)上有定义，在 x=1 点处可导，且对于任意的正数 a，b 总有f(ab)=f(a)+f(b)，证明：f(x)在(0，+) 上处处可导，且 f(x)= 38 设 f(x)和 g(x)是对 x 的所有值都有定义的函数，具有下列性质：(1)f(x
9、+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)；(2)f(x)和 g(x)在 x=0 处可微，且当 x=0 时，f(0)=0，g(0)=1 ，f(0)=1，g(0)=0证明：f(x)对所有 x 都可微，且 f(x)=g(x)39 用导数定义证明：可导的偶函数的导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数40 用导数定义证明：可导的周期函数的导函数仍是周期函数，且其周期不变考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因此有斜渐近线 y=一 x 一 1，应选(C)【知识模块】 一元函数微分学2
10、【正确答案】 A【试题解析】 ，由渐近线的求法可得正确选项【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 由渐近线的求法可得正确选项【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 ，曲线 y=f(x)有水平渐近线曲线y=f(x)有铅：直渐近线 x=0 曲线 y=f(x)无斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 用导数定义【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 设 F(x)=xf(x)，则 F(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故存在(0， 1)，使得(xf(x)| x=0，即 f()+f()=0，有 f()= ，所
11、以选(A)选项(B)，(C)，(D)可用反例 y=1x 排除【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=xex，f(0)=0，f(x)=e x(1+x)，f(0)=1，f (n)(x)=ex(n+x)，f(n)(0)=n，f n+1(x)=ex(n+1+x),f(n+1)(x)=ex(n+1+x)，依次代入到泰勒公式，即得(B)【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 由拉格朗日中值定理易知(A)，(C) 错， (B)正确，又因未知 x1 与 x2 的大小关系，知(D) 不正确【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 因
12、为 f(x)在0 ，8上连续，在(0，8)内可导，且 f(0)=f(8)，故 f(x)在0，8上满足罗尔定理条件令 ，得 f(4)=0，即定理中 可以取为 4【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 B【试题解析】 对上述 5 个命题一一论证 对于(1)，只要注意到：若 f(x)在点 x0 取到极大值，则一 f(x)必在点 x0 处取到极小值，故该结论错误； 对于(2)，对任意xa由拉格朗日中值定理知，存在 (a，x)使 f(x)-f(a)=f()(xa)，则由 f“(x)0 知，f(x)在(a，+) 内单调增加因此，对任意的 x 与 ，ax，有 f(x)f()，从而由上式得 F(x)0
13、，所以函数 F(x)在(a，一)内单调增加，该结论正确； 对于(3) ，因f(x0)=0，故所给定的方程为 ，显然，不论 x00，还是 x00，都有 f“(x0)0，于是由 f(x0)=0 与 f“(x0)0 得 f(x0)是 f(x)的极小值，故该结论错误；对于(4)，对给定的方程两边求导，得 3y 2y一 2yy+xy+y-x=0， 再求导，得 (3y2 一 2y+x)y“+(6y 一 2)(y)2+2y=1 令 y=0，则由式得 y=x，再将此代入原方程有 2x3 一 x2=1，从而得 y=y(x)的唯一驻点 x0=1，因 x0=1 时 y0=1，把它们代入式得 y“|(1,1)0，所以
14、唯一驻点 x0=1 是 y=y(x)的极小值点，该结论正确； 对于(5)，因为是求 n 阶导数 f(n)(x)的极值问题，故考虑函数 f(x)=xex 的 n+1 阶导数f(n+1)(x)，由高阶导数的莱布尼茨公式得 f (n)(x)=x(ex)(n)+n(ex)n-1=(x+n)ex， f (n+1)(x)=x+(n+1)ex；f (n+2)(x)=x+(n+2)ex-(n+1) 令 f(n+1)(x)=0，得 f(n)(x)的唯一驻点 x0=一(n+1)；又因 f(n+2)(x0)=e-(n+1)0，故点 x0=一(n+1)是 n 阶导数 f(n)(x)的极小值点，且其极小值为 f(n)(
15、x0)=一 e-(n+1)，该结论正确故正确命题一共 3 个，答案选择(B)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 144【试题解析】 设在 t 时刻最外圈波的半径为 r(t)，扰动水面面积为 s(t)，则 s(t)=r2(t)，故 s(t)=2r(t)r(t)，由题知
16、r(t)=6，r(t)=6t，所以 s(2)=2r(2).6=144(m2s)【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 x 2(a，b)，对函数 arctan f(x)在x 1，x 2上用拉格朗日中值定理，便知 (x1，x 2)，使得arctan f(x2)一arctan f(x1)一 (x2 一 x1) 由条件(1) ，在上述不等式 中，x 1a +，x 2b -，即得【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 令 u(n-1)(x)=(n-1)(x)一 (n-1)(x) 在 x0，x上用微分中值定理得 u (n-1)(x)一 u(
17、n-1)(x0)=u(n)().(xx0)，x 0 x 又由 u(n)()0 可知 u(n-1)(x)一 un-1(x0)0，且 u(n-1)(x0)=0，所以 u(n-1)(x)0，即当 xx 0 时， (n-1)(x) (n-1)(x) 同理 u(n-2)(x)=(n-2)(x)一 (n-2)(x)0 归纳有 u(n-3)(x)0，u(x)0，u(x)0于是，当xx 0 时，(x)(x)【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 (1)将 f(x)在 x0 点泰勒展开，即 f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+ (xx0)2， 在 x0 与 x 之间由已知 f“(x)0，x(a
18、 ，b)得于是 f(x)f(x0)+f(x0)(x 一 x0)，即 f(x0)f(x)一 f(x0)(x 一 x0)，当且仅当 x=x0 时等号成立f(x0)f(xi)一 f(x0)(xi 一 x0)，i=1，2，n，当且仅当 xi=x0 时等号成立 而 x0x1且 x0xn，将上面各式分别乘以 ki(i=1，2，n) 后再求和，有【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 令 f(x)=(1+x)则有 f(x)=(1+x)-1，f“(x)=( 一 1)(1+x)-2，由 f(x)的泰勒展开式 可知当 x一1，01 时，( 一 1)0，1+0故 所以 f(x)f(0)+f(0)x，即 (1
19、+x)1+x同理可证当 x一 1，0 或 1 时，有(1+x) 1+x【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 设 f(x)=所以 f(x)单调递减，且当 0x+ 时，f(x)f(+)=0即【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 设 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 xln x，有 f(1)=2ln 20由 f(x)=0(x0) 知，f(x) 单调递增，且当 x 1 时，f(x) f(1)=2ln 20，ln x0，【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 (1)令 (x)=x2 一(1+x)ln 2(1+x)，有 (0)=0，且 (x)=2x ln2(1+x)一 2l
20、n(1+x)，(0)=0当 x(0，1)时， x 一 ln(1+x)0则 (x)单调递增从而 (x)(0)=0，则 (x)单调递增，则 (x)(0)=0，即(1+x)ln 2(1+x)x 2 由(1)得，当 x(0，1)时 f(x)0，知 f(x)单调递减，从而 f(x)f(1)= 又因为当x(0，1)时，f(x)0，知 f(x)单调递减，且 f(x)f(0 +)= 所以【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 设 f(x)=(x2 一 1)ln x 一(x 一 1)2所以 f(1)=0又因为 f(x)=2xln x-x+2 一 ,f(1)=0，且 f“(x)=2ln x+1+ ，f“(
21、1)=20， 所以当x1 时，f“(x)0，知 f(x)单调递增，则 f(x)f(1)=0，从而 f(x)单调递增，故 f(x)f(1)=0原式成立 当 0x1 时，f“(x) 0，知 f“(x)单调递减，则 f“(x)f“(1)=20，从而 f(x)单调递增，故 f(x)f(1)=0，所以 f(x)单调递减，知 f(x)f(1)=0原式成立【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 已知不等式等价于 即令 g(x)=(1+x)ln2(1+x)一 x2，x0，1，则 g(0)=0，且 g(x)=ln 2(1+x)+2ln(1+x)一 2x，g
22、(0)=0，故 g(x)在0，1上严格单调递减，所以 g(x)g(0)=0同理，g(x) 在0，1 上也严格单调递减，故 g(x)g(0)=0，即 (1+x)ln2(1+x)-x20，从而 f(x)0(0 x1)，因此 f(x)在(0，1上也严格单调递减故使不等式对所有的自然数 n 都成立的最大的数 为【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 存在正常数 M0，M 2，使得 (一 ，+)，恒有 |f(x)|M0，|f“(x)|M 2 由泰勒公式，有 f(x+1)=f(x)+f(x)+ 其中 介于 x 与 x+1之间，整理得 f(x)=f(x+1)一 f(x)一 所以 |f(x)|f(x+
23、1)|+|f(x)|+因此函数 f(x)在(一 ，+)内有界【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 右端不等式等价于证明从而，当 x0 时，f(x)单调增，且当 x+ 时，f(x)趋于零，所以，当 x0 时，f(x)0进而知当 x0 时，f(x)单调减，且当 x+时，f(x)趋于零，于是，当x0 时，f(x)0所以，对一切自然数 n，恒有 f(n)0，故有从而右端不等式成立 类似地，引入辅助函数类似可证明：当 x0 时，g(x)0，从而对一切自然数 n，左端不等式成立【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 必要性 若 f(x)在 x0 点可导，则 f(x)在 x0 点可微，由可
24、微的定义知，f(x0+x)一 f(x0)=x+o(x)(其中 为常数)，取 L(x)=x，充分性 若存在 L(x)=x(其中 为常数) 使 则，故有 f(x0+x)-f(x0)一 L(x)=o(x)即f(x0+x)一 f(x0)=x+o(x)，所以 f(x)在 x0 点可导【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 (1)记 g(x)=ln f(x)，则 ，故即 f(x)ef(0)x【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 用拉格朗日中值定理。 当 a=0 时，等号成立当 a0 时，由于f(x)在区间0，a及b，a+b上满足拉格朗日中值定理，所以，存在 1(0,a)，2(b， a+b
25、)， 1 2，使得 f(a+b) 一 f(b)一f(a) 一 f(0)=af(2)一 af(1) 因为 f(x)在(0， c)内单调减少，所以 f(2)f(1)，于是， f(a+b)一 f(b)一f(a)一 f(0)0，即f(a+b)f(a)+f(b)【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 用拉格朗日中值定理且函数 f(t)=ln t 在x，1+x上满足拉格朗日中值定理，所以存在 (x，1+x)，使得【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 令 F(x)=xsin x+2cos x+x，只需证明 F(x)在(0，)上单调递增F(x)=sin x+xcos x 一 2sin x+=
26、+xcos xsin x，由此式很难确定 F(x)在(0，)上的符号，为此有 F“(x)=一 xsin x0，x(0，) ，即函数 F(x)在(0 ，)上单调递减，又 F()=0，所以 F(x)0，x(0，)，于是 F(b)F(a)，即 bsin b+2cos b+basina+2cosa+a 【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 设 其中 ln xln e=1，所以，f(x)0，即函数 f(x)单调递减所以，当 ba e 时，【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 构造辅助函数 f(x)=1+x 一 则 f(0)=0，且【知识模块】 一元函数微分学36 【正确答案】 而 c
27、os x0，所以不等式成立上式中，当但是，2xcos x-2sin x+x 3 的符号无法直接确定，为此，令g(x)=2xcos x 一 2sin x+x3，则 g(0)=0，且 g(x)=x2+2x(xsin x)0，所以，当 xg(x)=2xcos x 一 2sin x+x30【知识模块】 一元函数微分学37 【正确答案】 令 a=b=1，由于 f(ab)=f(a)+f(b)，则 f(1)=0于是对于任意的正数 x，在 f(ab)=f(a)+f(b)中，取a=x，ab=x+x，也就是取 于是这就证明了 f(x)在(0，+)上处处可导，且有【知识模块】 一元函数微分学38 【正确答案】 由于 f(x)，g(x) 在 x=0 处可微，所以有【知识模块】 一元函数微分学39 【正确答案】 由 f(一 x)=f(x)，而故 f(x)为奇函数 由 f(一 x)=一 f(x)，而故 f(x)为偶函数【知识模块】 一元函数微分学40 【正确答案】 设 f(x)的周期为 T，即 f(x+T)=f(x)，所以 f(x)仍是周期为 T 的周期函数【知识模块】 一元函数微分学
