1、考研数学二（一元函数微分学及应用）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)可导，则下列结论正确的是( )2 若曲线 y=x2+ax+b 与曲线 2y=-1+xy3 在(1，-1) 处相切，则( )（A）a=3 ，b=1（B） a=1，b=3（C） a=-1，b=-1（D）a=1 ，b=13 设 f(x)满足 f(x)+f2(x)=2x，且 f(0)=0，则( )（A）x=0 为 f(x)的极大点（B） x=0 为 f(x)的极小点（C） (0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 既非 f(x)的极值点，(0，f(0)也
2、非 y=f(x)的拐点4 若函数 f(-x)=f(x)(-x+) ，在(-，0)内 f(x)0 且 f(x)0，则在(0，+) 内有( )（A）f(x)0，f(x) 0（B） f(x)0，g(x)0（C） f(x)0，f(x)0（D）f(x)0，f(x) 0二、填空题5 函数 y=x2x 的极小点为_6 函数 y=x+2cosx 在 上的最大值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设函数 y=y(x)由方程组8 设 x=9 求 = 对应 r=1+cos 上点处的切线10 设 y=y(x)由11 设 f(x)=12 设 y=exsinx，求 y(n)13 设 y= ，求 y(
3、n)14 设 y= ，求 y(n)15 f(x)=x4ln(1-x)，当 n4 时，求 f(n)(0)16 设 y=x2ln(1+2x)，求 y(5)17 设 f(x)= ，求(0，2)内使得 f(2)-f(O)=2f()成立的 18 设 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，证明：存在 (0，3)，使得 f()=019 设 f(x)在a，b连续，在(a，b) 内可导(a0)且 f(a)=0，证明：存在 (a，b)，使得 f()=20 设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得f()=-f()cot
4、21 设 f(x)在-a，a上连续，在 (-a，a)内可导，且 f(-a)=f(a)(a0)，证明：存在 (-a，a) ，使得 f()=2f()22 设函数 f(x)在0，1上可微，且满足 f(1)= xf(x)dx(01)，证明：存在(0， 1)，使得 f()=23 设 f(x)在0，1上有二阶导数，且 f(1)=f(0)=f(1)=f(0)=0，证明：存在 (0，1)，使 f()=f()23 设 f(x)在a，b上连续可导，f(x)在(a ，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0， f(x)dx=0，证明：24 在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()=f()；25 在(a，b)内至少存
5、在一点 ()，使得 f()=f()25 设奇函数 f(x)在-1 ，1上二阶可导，且 f(1)=1，证明：26 存在 (0，1)，使得 f()=1；27 存在 (-1，1) ，使得 f()+f()=128 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，证明：存在 (0，1) ，使得考研数学二（一元函数微分学及应用）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 取 f(x)=x， ，但 f(x)=1，(A) 不对；取 f(x)=sinx，(C)不对；取 f(x)=cosx，(D)不对；应选(B)事实上，对任意的 M0，
6、因为 =+，所以存在 X00，当 XX0时，有 f(x)M0当 xX 0 时，f(x)=f(X 0)=f()(x-X0)M(x-X0)(X0)，从而f(x)f(X0)+M(x=X0)，两边取极限得【知识模块】 一元函数微分学及应用2 【正确答案】 C【试题解析】 由 y=x2+ax+b 得 y=2x+a；2y=-1+xy 3 两边对 x 求导得2y=y3+3xy2y，解得 y= 因为两曲线在(1，-1)处相切，所以解得 a=-1，b=-1，应选 (C)【知识模块】 一元函数微分学及应用3 【正确答案】 C【试题解析】 取 x=0 得 f(0)=0由 f(x)+f2(x)=2x 得 f(x)+2
7、f(x)f(x)=2，从而f(0)=2因为 f(0)= =20，所以存在 0，当 0x 时，从而 ，故(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点，应选(C)【知识模块】 一元函数微分学及应用4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，f(x)为偶函数，从而在(0，+) 内有 f(x)0，f(x)0，应选(C) 【知识模块】 一元函数微分学及应用二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 令 y=2x+x2xln2=2x(1+xln2)=0 得【知识模块】 一元函数微分学及应用6 【正确答案】 【试题解析】 令 y=1-2sinx=0 得 x= y=-2cosx
8、，因为为 y=x+2cosx 的极大值点，也是最大值点，故最大值为【知识模块】 一元函数微分学及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 t=0 时，x=0，y=-1，【知识模块】 一元函数微分学及应用8 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学及应用9 【正确答案】 曲线 r=1+cos 的参数方程为【知识模块】 一元函数微分学及应用10 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学及应用11 【正确答案】 =0，g(x)=1+sin 2(cosx)(-sinx)， =-1【知识模块】 一元函数微分学及应用12 【正确答案】 y=e xsinx+excosx=
9、由归纳法得【知识模块】 一元函数微分学及应用13 【正确答案】 令由 A(2x-1)+B(x+1)=3-3x 得 解得 A=-2，B=1，即 y=-2.【知识模块】 一元函数微分学及应用14 【正确答案】 令 由 A(x-1)+B(x+1)=x 得【知识模块】 一元函数微分学及应用15 【正确答案】 由【知识模块】 一元函数微分学及应用16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学及应用17 【正确答案】 f(2)-f(0)= =-1当 x(0，1)时，f(x)=-x，当 x1 时，f(x)= 即 f(x)= 当 01 时，由 f(2)-f(0)=2f()得-1=-2，解得 = 当 12 时
10、，由 f(2)-f(0)=2f()得-1=【知识模块】 一元函数微分学及应用18 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，3上连续，所以 f(x)在0，3上取到最小值 m 和最大值 M3mf(0)+f(1)+f(2)3M ，即 m1M， 由介值定理，存在 c0，3 ，使得f(c)=1 因为 f(c)=f(3)=1，所以由罗尔定理，存在 (c，3) (0，3)，使得 f()=0【知识模块】 一元函数微分学及应用19 【正确答案】 令 (x)=(b-x)af(x)， 因为 (a)=(b)=0，所以存在 (a，b)，使得()=0， 而 (x)=-a(b-x)a-1f(x)+(b-x)af(x)，故 f(
11、)=【知识模块】 一元函数微分学及应用20 【正确答案】 令 (x)=f(x)sinx，(0)=()=0，由罗尔定理，存在 (0，) ，使得 ()=0，而 (x)=f(x)sinx+f(x)cosx，于是 f()sin+f()cos=0，故 f()=-f()cot【知识模块】 一元函数微分学及应用21 【正确答案】 令 (x)= f(x)， 由 f(-a)=f(a)得 (-a)=(a)， 由罗尔定理，存在(-a，a)，使得 ()=0， 而 (x)= f(x)-2xf(x)且 0，故 f()=2f()【知识模块】 一元函数微分学及应用22 【正确答案】 令 (x)=xf(x)，由积分中值定理得
12、f(1)= .cf(c).=cf(c)，其中c0，从而 (c)=(1)，由罗尔中值定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()=0而 (x)=f(x)+xf(x)，故 f()=【知识模块】 一元函数微分学及应用23 【正确答案】 令 (x)=e-xf(x)+f(x)， (0)=(1)=0，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0， 而 (x)=e-xf(x)-f(x)且 e-x0，故 f()=f()【知识模块】 一元函数微分学及应用【知识模块】 一元函数微分学及应用24 【正确答案】 令 F(x)= f(t)dt，F(a)=F(b)=0 ， 由罗尔定理，存在 c(a，b)，使得 F(c)
13、=0，即 f(c)=0 令 h(x)=e-xf(x)，h(c)=h(c)=0， 由罗尔定理，存在 (a，c) ，使得 h()=0， 由 h(x)=e-xf(x)-f(x)且 e-x0，故 f()=f()【知识模块】 一元函数微分学及应用25 【正确答案】 同理，由 h(c)=h(b)=0，则存在 (c，b) ，使得 f()=f()令 (x)=exf(x)-f(x)，()=()=0，由罗尔定理，存在 (，) (a，b) ，使得 ()=0，而 (x)=exf(x)-f(x)且 ex0，故 f()=f()【知识模块】 一元函数微分学及应用【知识模块】 一元函数微分学及应用26 【正确答案】 令 h(
14、x)=f(x)-x，因为 f(x)在-1 ，1 上为奇函数，所以 f(0)=0，从而 h(0)=0，h(1)=0 ，由罗尔定理，存在 (0，1) ，使得 h()=0，而 h(x)=f(x)-1，故 (0，1) ，使得 f()=1【知识模块】 一元函数微分学及应用27 【正确答案】 令 (x)=exf(x)-1， 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)为偶函数，由f()=1 得 f(-)=1 因为 (-)=()，所以存在 (-，) (-1，1)，使得 ()=0， 而 (x)=exf(x)+f(x)-1且 ex0， 故 f()+f()=1【知识模块】 一元函数微分学及应用28 【正确答案】 令 F(x)=arctanx，F(x)= 0，由柯西中值定理，存在(0， 1)，使得 f(1)-f(0)-(1+2)f()【知识模块】 一元函数微分学及应用
