1、考研数学三（行列式）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 方程 f(x)= =0 的根的个数为（A）1（B） 2（C） 3（D）42 设 A 为 n 阶矩阵，对矩阵 A 作若干次初等变换得到矩阵 B，那么必有（A）A=B（B）如 A=0 ，则B=0（C） AB （D）如A0，则B03 设 A 是 n 阶矩阵，且A=0，则（A）A 中必有两行元素对应成比例（B） A 中任一行向量是其余各行向量的线性组合（C） A 中必有一列向量可由其余的列向量线性表出（D）方程组 Ax=b 必有无穷多解二、填空题4 行列式 D= =_5 设 n 阶矩阵 A=
2、 ，则A=_6 设 n 阶矩阵 A= ，则2A=_7 已知 1， 2， 3， 都是 4 维列向量，且 1， 2， 3，=a ，+， 3， 2， 1=b，则2， 1， 2， 3=_.8 已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的 3 阶矩阵，则D= =_9 已知 A 为 3 阶矩阵，且A=2，那么(2A) -1-A*=_.10 设矩阵 A= ，矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则B=_11 设 1， 2， 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A=(1， 2， 3)，B=(1+2+3， 1+22+43， 1+32+93)，如果A=1，那么B=_三、解答
3、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 计算行列式的值：13 设 A= ，计算 E-A之值.14 计算 之值15 已知 A= ，若E-A =0，求 的值16 已知A= ，试求：( )A 12-A22+A32-A42； ()A41+A42+A43+A4217 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A=2，B=-3 ，求()2A *B-1； ()2A * BT18 已知 a23a31aija64a56a15 是 6 阶行列式中的一项，试确定 i，j 的值及此项所带符号19 已知 f(x)= ，证明 f(x)=0 有小于 1 的正根20 计算行列式 D= 之值，其中 ai0(i=2，3，4)21 计
4、算行列式 D4= 之值22 计算行列式 Dn= 之值23 计算行列式A= 之值24 计算行列式A= 之值25 证明 D=26 设 n 阶矩阵 A= ，证明行列式 A=(n+1)a n考研数学三（行列式）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 问方程 f(x)=0 有几个根，也就是问 f(x)是 x 的几次多项式为此应先对 f(x)作恒等变形将第 1 列的-1 倍分别加至第 2，3，4 列得再将第 2 列加至第 4 列，行列式的右上角为O可用拉普拉斯展开式(16)，即，从而知应选(B)【知识模块】 行列式2 【正确答
5、案】 B【试题解析】 经初等变换矩阵的秩不变由故(B)正确若 A=，可知(A)、(D) 均不正确若 A= ，可知(C)不正确【知识模块】 行列式3 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 是充分条件例如 A= ，虽任两行元素都不成比例，但A=0；(D)方程组可能无解例如 ，且A=0，但 Ax=b 无解，故(A) ，(D)均错误 由A=0 知 A 的行(列)向量组线性相关，但线性相关向量组中，只是有向量可由其余向量线性表出，并不是每一个向量都可由其余向量线性表出故应选(C)【知识模块】 行列式二、填空题4 【正确答案】 1【试题解析】 从第 1 行开始，依次把每行加至下一行，得【知识模块】 行列式
6、5 【正确答案】 -2.(n-2)!【试题解析】 把第 2 行的-1 倍分别加至其余各行，再把第 1 行的 2 倍加至第 2 行，得【知识模块】 行列式6 【正确答案】 【试题解析】 2A=2 nA对于行列式A，先把每行都加至第一行并提取公因数 n-1，然后再把第一行的-1 倍分别加至其它各行，由 (15)有【知识模块】 行列式7 【正确答案】 2(a-b)【试题解析】 +， 3， 2， 1中第一列是两个数的和，用性质 3 可将其拆成两个行列式之和，再利用对换，提公因式等行列式性质作恒等变形，就有 +， 3， 2， 1= ， 3， 2， 1+ ， 3， 2， 1=b， ， 1， 2， 1= 1
7、， 2， 1，=a，又， 1， 2， 1=- ， 1， 2， 3， 于是 2， 1， 2， 3=2(a-b).【知识模块】 行列式8 【正确答案】 【试题解析】 由公式(16)，(19) ，(112)等，有【知识模块】 行列式9 【正确答案】 【试题解析】 由于(2A) -1= ，又 A*=AA -1，则【知识模块】 行列式10 【正确答案】 【试题解析】 由于A= =3，又 AA*=A*A=A E，则对矩阵方程右乘 A 得 3AB-6B=A，即 3(A-2E)B=A两端取行列式有 3(A-2E)B = A=3，即 27A-2EB =3因为 A-2E =【知识模块】 行列式11 【正确答案】
8、2【试题解析】 利用行列式的性质恒等变形有 B = 1+2+3， 1+22+43， 1+32+93 = 1+2+3， 2+33， 2+53 (先 3 列 -2 列，再 2 列-1 列) = 1+2+1， 2+33， 23 (3 列-2 列) =2 1+2+3， 2+33， 3 (3 列提公因式 2) =2 1+2+3， 2， 3 (2 列+3 列的-3 倍 ) =2 1， 2， 3=2A=2【知识模块】 行列式三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 行列式13 【正确答案】 【知识模块】 行列式14 【正确答案】 把第 1 行的-4 倍，-7 倍分别
9、加至第 2 行及第 3 行，即有【知识模块】 行列式15 【正确答案】 先把第 2 列加至第 3 列，再把第 3 行的-1 倍加至第 2 行，然后按第 3 列展开，即所以=0(二重根)，=-2【知识模块】 行列式16 【正确答案】 () 虽然我们可以先分别算出每一个代数余子式，然后再求和，但这往往是烦琐的对于代数余子式的性质应会灵活运用如能观察到在本题中a11=1，a 21=-1，a 31=1，a 41=-1，那么就知 A12-A22+A32-A42=a11A12+a21A22+a31A32+a41A42=0 ()由于 Aij 与 aij 无关，现在可构造一个新的行列式(将行列式A中第 4 行
10、元素置换成代数余子式 A4j2 的系数)，即由于A，B仅第 4 行元素不同，因此新、旧这两个行列式的代数余子式 A41，A 42，A 43，A 44 是完全一样的，而对B按第 4 行展开，就有B =1.A 41+1.A42+1.A43+1.A44=A41+A42+A43+A44 可见，要解( )只需算出行列式B 的值为此即 A41+A42+A43+A44=-1【知识模块】 行列式17 【正确答案】 () 2A *B2-1=2 nA *.B -1 =2nA n-1. B -1= ()2A *B T=2A * n.B T=(2 nA n-1)nB=【知识模块】 行列式18 【正确答案】 根据行列式
11、的定义，它是不同行不同列元素乘积的代数和因此，行指标 2，3，i，6，5，1 应取自 1 至 6 的排列，故 i=4同理可知3，1，j，4，6，5 中 j=2 关于此项所带的符号，可有两种思路： (1)将该项按行的自然顺序排列，有 a23a31a42a64a56a15=a15a23a31a42a56a64 后者列的逆序数为r(5，3，1，2 ，6，4)=4+2+0+0+1=7，所以该项应带负号 (2)直接计算行的逆序数与列的逆序数，有 (2，3，4，6，5，1)+(3，1，2，4，6，5)=6+3=9 亦知此项应带负号【知识模块】 行列式19 【正确答案】 因为 f(0)= 又知函数f(x)在
12、0，1 上连续，在 (0，1)内可导，故 (0，1)，使 f()=0，即 f(x)=0 有小于1 的正根【试题解析】 按行列式定义易知 f(x)是 x 的多项式，显然 f(x)连续且可导根据罗尔定理，我们只需证明 f(0)=f(1)【知识模块】 行列式20 【正确答案】 第 i 行提出 ai，再把第 i 行的-1 倍加至第 1 行(i=2，3，4)，得【知识模块】 行列式21 【正确答案】 把各列均加至第 1 列，并按第 1 列展开，得到递推公式继续使用这个递推公式，有 D3=D2-a(-1)3+1a2=D2-(-1)3+1a3而初始值 D2=1-a+a2，故 D4=1-a+a2-a3+a4【
13、知识模块】 行列式22 【正确答案】 按第 n 行展开，有=xDn-1+an(-1)n+1.(-1)n-1=xDn-1+an2，从而递推地得到 Dn-1=xDn-2+an-1(-1)vn.(-1)n-2=xDn-2+an-1， D n-2=xDn-3+an-2， D 22=a1x+a2对这些等式分别用 1， x，x 2，x n-2 相乘，然后相加，得到 Dn=a1xn-1+a2xn-2+a3xn-3+an-1x+an【知识模块】 行列式23 【正确答案】 先互换第 2，3 两行，再对调第 2，3 两列，就可用拉普拉斯展开式(1 6)，即 =(a1a2-b1b2)(c1c2-d1d2)【知识模块
14、】 行列式24 【正确答案】 由于 AAT=(a2+b2+c2+dv)E，故用行列式乘法公式(1 10)，得 A 2=A.A T= AA2=(a 2+b2+c2+d2)4 因A中，a 4 系数是+1，所以A=(a 2+b2+c2+d2)2【知识模块】 行列式25 【正确答案】 构造范德蒙行列式 一方面，对行列式D1 按第 4 列展开，有 D1=1.A14+yA24+y2A34+y3A34，而 y2 的系数是另一方面，对行列式 D1 用公式(113)，有在这里，易见 y2 的系数是【试题解析】 本题的行列式与范德蒙行列式很接近，它缺少的是字母的平方项，可以用加边的方法构成一个 4 阶的范德蒙行列式，然后分析这两个行列式之间的联系，进而可推导出所需要的结论【知识模块】 行列式26 【正确答案】 (用数学归纳法) 记 Dn=A= 当n=1 时， D1=2n，命题 Dn=(n+1)an 正确当 n=2 时，D 2= =3a2，命题Dn=(n+1)an 正确设 nk 时，命题 Dn=(n+1)n 正确，对 Dk 按第一列展开得=2aDk-1-a2Dk-2， 按归纳假设 Dk-1=kak-1，D k-2=(k-1)ak-2，从而 Dk=2a(kak-1)-a2(k-1)ak-2=(k+1)ak所以 ，命题 Dn=A=(n+1)a n 正确【知识模块】 行列式
