1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 81 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设对方阵 A 施行初等初换得到方程 B，且A0，则 【 】（A）必有BA（B）必有B A（C）必有B 0（D）B0 或B 0 依赖于所作初等变换2 设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABCE ，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则必有 【 】（A）ACBE（B） CBAE（C） BACE（D）BCAE3 则必有 【 】（A）AP 1P2B（B） AP2P1 B（C） P1P2A B（D）P 2P1AB4 设 A、B、AB、A -1B -1 均为 n 阶可逆阵，则(A -1B -
2、1)-1 【 】（A）A -1B -1（B） AB（C） A(AB) -1B（D）(AB) -1二、填空题5 _6 _7 _8 _9 _10 _11 行列式 的第 4 行各元素的余子式之和的值为_12 方程 f() 0 的全部根是_13 方程 f() 0 的实根为_14 方程 f() 0 的全部根是_15 设 4 阶矩阵 A 1 1 2 3，B 2 1 2 3，其中 1， 2， 1， 2， 3 均为 4维列向量，且已知行列式A4，B1，则行列式 AB_16 设矩阵 A ，I 为 3 阶单位矩阵，则(A2I) -1_17 _18 已知 (1，2，3)，(1， )，矩阵 A T，n 为正整数，则A
3、*_19 设 3 阶方阵 A、B 满足关系式 A-1BA6ARA，其中 A ，则B_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设行列式 D 不具体计算 D，试利用行列式的定义证明 D021 设实对称矩阵 A 满足 A2O，证明：AO22 设 B 是元素全都为 1 的 n 阶方阵(n1)证明：(EB) -1E B23 设 A、B 都是 n 阶方阵，且 A2E，B 2E，A B 0，证明：AB024 设 A (1)求 An(n2，3，) ； (2)若方阵 B 满足 A2ABA E ，求 B25 设 4 阶实方阵 A(a ij)44 满足：(1)a ijA ij(i，j1，2，3，4
4、，其中 Aij 是 aij 的代数余子式)；(2)a 110，求A26 实 a 为实的 n 维非零列向量， E 为 n 阶单位矩阵，证明：矩阵 AE 为对称的正交矩阵27 设矩阵 A、B 满足关系式 ABA2B，其中 A ，求 B28 设矩阵 矩阵 A 满足关系式 A(EC -1B)TCTE，化简此关系式并求矩阵 A29 设矩阵 A 的伴随矩阵 A* 矩阵 B 满足关系式 ABA-1BA -13E，求矩阵B30 已知矩阵 且矩阵 X 满足 AXABXBAXBBXAE，求矩阵 X考研数学三（线性代数）模拟试卷 81 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正
5、确答案】 C【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件 A(BC)E，知 A 与 BC 互为逆矩阵， BCAE【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 注意依次对 A 施行下列两种初等行变换，即得矩阵 B：先将 A 的第1 行加到第 3 行，再将所得矩阵的 1、2 两行互换两次初等行变换所对应的初等方阵依次为 P2、P 1，故有 BP 1P2A【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 由(A -1B -1)A(AB) -1B(EB -1A)(AB) -1BB -1(BA)(AB) -1BB -1BE，或 A(AB) -1BB -1(AB)A
6、-1-1(B -1AA-1B -1BA-1)-1(B -1A -1)-1(A -1B -1)-1 即知只有 C 正确【知识模块】 线性代数二、填空题5 【正确答案】 (a 1a4b 1b4)(a2a3b 2b3)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 1 2y 2z 2【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 n!(2 n)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 a (1) n+1bn【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 4【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 1a a 2a 3a 4a 5【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 28【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1，2，3【
7、知识模块】 线性代数13 【正确答案】 t6【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 0， 1f() 5(1)【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 40【试题解析】 (1)AB 1 2 21 22 238( 1 1 2 3 2 1 2 3 )(A B) 8(41)40【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 A n( T)(T)( T)(T) T(T)( T) T3n-13 n-1T【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【试题解析】 B(A -1E) -16AA -16(A -1E) -1
8、【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 按定义 D ， 其中 分别取自 D 的第 3、第 4、第 5 行和D 的 3 个不同列，而 D 的后 3 行中取自 3 个不同列的元素中最多有 2 个不为零，最少有 1 个为零，即 这 3 个数中至少有 1 个为零，因而 D 的展开式中每一项都为零，从而知 D0【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 A 2AA TO 的(i，i)元素为：0 0(i，j1，2，n)，即 AO【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 其中 B2nB，【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 A 2E， A1，同理有B 1
9、，又AB， AB1故A BAEEB AB 2A 2BA(BA)B AB A BAB AB0【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)A 2 4E A2m(A 2)m4 mE，A 2m+1A 2mA4 mA(m1，2，)； (2)A 24E， BA -1(EAA 2)A -1E A AE A【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 a A ij(i，j1，2，3，4)，ATA *， A ATA *A 3， A 0，1，1， 又【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 记正常数 b ，则 AEb T， ATE Tb(a T)TTEb TA，故 A 为对称矩阵，又由 T ，得 AATAA(Eb T)(Eb T)Eb Tb Tb 2(T)TE，故 A 为正交矩阵【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 化简成 A(CB) TE， 故 A(C B) T-1(CB) -1T【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 由A *A n-1，有A 38，得A2给题设方程两端右乘 A，得 ABB3A，两端左乘 A*并利用 A*AA E2E，得2BA *B6E， (2EA *)B6E， B6(2EA *)-1【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 (AB)X(AB)E X(AB) -1(AB) -1【知识模块】 线性代数
