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    [考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷7及答案与解析.doc

    • 资源ID:853142       资源大小:356KB        全文页数:12页
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    [考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷7及答案与解析.doc

    1、考研数学三(线性代数)模拟试卷 7 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 设 A 是 nm 矩阵,B 是 mn 矩阵,其中 nm,露是 n 阶单位矩阵,若 AB=E,证明 B 的列向量线性无关1 已知下列齐方程组(I)()2 设 4 维向量组 1=(1+a,1,1,1) T, 2=(2,2+a,2,2) T, 3=(3,3,3+a ,3)T, 4=(4,4,4,4+a) T,问 a 为何值时, 1, 2, 3,4 线性相关? 1, 2, 3,4 线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出2 设向量组 1=(1,1,1,3) T, 2=

    2、(-1,-3,5,1) T, 3=(3,2,-1,p+2) T, 4=(-2,-6, 10,P) T3 p 为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量 =(4,1,6,10) T 用1, 2, 3,4 线性表出4 P 为何值时,该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组5 已知向量组(1): 1, 2, 3;(II) : 1, 2, 3,4;(): 1, 2, 3,5如果各向量组的秩分别为 r(I)=r()=3,r()=4证明向量组 1, 2, 3,5-4的秩为 46 设齐次线性方程组 其中 aO,b0,n2试讨论a,b 为何值时,方程组仅有零解,有无穷多组解?存有无穷多组解时,

    3、求出全部解,并用基础解系表示全部解6 已知齐次线性方程组 其中ai0试讨论 a1,a 2,a n 和 b 满足何种关系时7 方程组仪有零解;8 方程组有非零解,在有非零解时,求此方程组的一个基础解系9 设有齐次线性方程组 试问 a 为何值时,该方程组有非零解,并求其通解10 已知线性方程组 的一个基础解系为(b11,b 12,b 1,2n )T,(b 21,b 22,b 2,2n)T,(b n1,b n2,b n,2n)T试写出线性方程组 的逋解,并说明理由11 设 1, 2, ., s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系: 1=t11+t22, 2=t12+t23, , s=t1s+t2

    4、1,其中 t1,t 2 为实常数 试问 t1,t2 满足什么关系时,1, 2,., s,也为 Ax=0 的一个基础解系11 设 n 元线性方程组 Ax=b,其中12 当 n 为何值时,该方程组有唯一解,并求 x1;13 当 a 为何值时,该方程组有无穷多解,并求通解13 设14 求满足 A2=1, A 23=1 的所有向量 2, 3;15 对(I)中的任意向量 2, 3,证明 1, 2, 3 线性无关15 设 A= b= 已知线性方程组 Ax=b 存在 2 个不同的解16 求 ,a;17 求方程组 Ax=b 的通解考研数学三(线性代数)模拟试卷 7 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明

    5、过程或演算步骤。1 【正确答案】 方法一:对 B 按列分块,记 B=(1, 2,., n),若k11+k22+knn=0,即:( 1, 2,., n) 两边左乘A,得 所有 1, 2,., n 线性无关.方法二:因为 B 是 mn 矩阵,n 1, 2,., n 线性无关 .【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 对( 1, 2, 3,4)作初等行变换,有( 1, 2, 3,4)=若 a=0,则秩 r(1, 2, 3,4)=1, 1, 2, 3,4 线性相关极大线性尤关组 1,日 2=21, 3=31, 4=41若a0,则有 (1, 2, 3,4) 当 a=-10 时,1

    6、, 2, 3,4 线性相关,极大线性无关组 2, 3,4,且 1=-2-3-4【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 对矩阵( 1, 2, 3,4 丨 )作初等行变换:当 P2 时,向量组1, 2, 3,4 线性无关由 =x11+x22+x33+x44,解得 x1=2,x2=(3p-4)/(p-2),x3=1,x4=(1-p)/(p-2)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 当 p=2 时,向量组 1, 2, 3,4 线性相关此时,向量组的秩等于 3 1, 2, 3(或 1, 3,4) 为其一个极大线性无关组 【试题解析】 对矩阵 A 作初等行变换得到矩阵 B,则 A

    7、的列向量与 B 的列向量有相同的线性相关性,因此观察 B 的列向量就可判断 A 的列向量是否线性相关,亦可求出极大线性无关组【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 因为 r(I)=r()=3,所以 1, 2, 3 线性无关, 1, 2, 3, 4 线性相关, 4 可由 1, 2, 3 线性表出,设为 4=l1+l22+l33若 k11+k22+k33+k4(5-4)=0, (k1-l1k4)1+(k2-l2k4)2+(k3-l3k3)3+k45=0,r()=4,即 1, 2, 3, 5 线性无关故必有 解 k4=0,k 3=0,k 2=0,k 1=0。于是 1, 2, 3,5-4 线性无关即其

    8、秩为 4【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 方程组的系数行列式=a+(n-1)6(a-b)n-1,(1)当 ab 且 n(1一 n)6 时,方程组只有零解(2)当 a=b 时,对系数矩阵作初等行变换,有由于 n-r(A)=n-1,取自由变量为x2,x 3,x n,得到基础解系为 1=(-1,1,0,0) T, 2=(-1,0,1,0,0) T, n-1=(-1,0,0,0,1) T方程组的通解是:k11+k22+kn-n-1,其中 k1,k 2,k n-1 为任意常数(3)当 n=(1-n)b 时,对系数矩阵作初等行变换,有r(A)=n-1;有 n-r(A)=1,即基础解系只有 1 个解向

    9、量,取自由变量为 x,则基础解系为=(1, 1,1, ,1) T故通解为 k,其中 k 为任意常数【试题解析】 这是 n 个未知数 n 个方程的齐次线性方程组, Ax=0 只有零解的充分必要条件是丨 A 丨0,故可从计算系数行列式人手【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 当 b=0 时,原方程组的同解方程组为 a1x1+a2x2+anxn=0由于秩 r(A)=n-1,则 Ax=0 的基础解系是 =(1,1,1,1) T【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 设齐次方程组的系数矩阵为 A,则丨 A 丨=a+1/2(n+1)na n-

    10、1那么,Ax=0 有非零解丨 A 丨=0 a=0 或 a=-1/2(n+1)n当 a=0 时,对系数矩阵 A 作初等变换,有 故方程组的同解方程组为x1+x2+xn=0,由此得基础解系为 1=(-1,1,0, ,0) T, 1=(-1,0,1,0) T, n-1=(-1,0,0,1) T于是方程组的通解为 x=k11+kn-1n-1,其中 k1,.,kn-1 为任意常数当 a=-1/2(n+1)n 时,对系数矩阵作初等行变换,有 故方程组的同解方程组为 由此得基础解系为 =(1,2,n) T,于是方程组的通解为x=k 其中 k 为任意常数【试题解析】 确定参数,使包含 n 个未知量和 n 个方

    11、程的齐次线性方程组有非零解,通常用两个方法:一是对其系数矩阵作初等行变换化成阶梯形;再就是由其系数行列式为零解出参数值本题的关键是参数 n 有两个值,对每个值都要讨论【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 记方程组(I)和( )的系数矩阵分别是 A 和 B由于 B 的每一行都是 Ax=O 的解,故 ABT=0,那么 BAT=(ABT)T=0因此, A 的行向量是方程组()的解 由于 B 的行向量是(I)的基础解系,它们应线性无关,从而知 r(B)=n且由(I)的解的结构,知 2n-r(A)=n故 r(A)=n于是 A 的行向量线性无关 对于(II),由 2n-r(B)=n,说明()的基础解系

    12、由 12 个线性无关的解向量所构成,所以 A 的行向量是(II)的基础解系于是 ()的通解为:k 1(a11,a 12,a 1,2n)T+k2(a21,a 22,a 2,2n)T)+kn(an1,a n2,a n,2n)T,其中 k1,k2,.,kn 是任意常数【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 由于 i(i=1,2,s)是 1, 2, ., s 的线性组合,又1, 2,., s 是 Ax=0 的解,所以根据齐次方程组解的性质知 i(i=1,2,s)均为 Ax=0 的解 从 1, 2,., s 是 Ax=0 的基础解系,知 s=n-r(A) 下面来分析 1, 2,., s 线性无关的条件

    13、设 k11+k22+kss=0,即 (t 1k1+t2ks)1+(t2k1+t1k2)2+(t2k2+t1k3)3+(t2ks-1+t1 ks)s=0,由于 1, 2,., s 线性无关,因此有 所以当 t1s+(-1)s+1t2s0 时,方程组有零解 k1=k2=ks=0从而 1, 2,., s 线性无关即当 s 为偶数 t1t2,s 为奇数,t 1-t2 时, 1, 2,., s 也为 Ax=0 的一个基础解系【试题解析】 如果 1, 2,., s,是 Ax=0 的基础解系,则表明 (1) 1, 2,., s是 Ax=0 的解; (2) 1, 2,., s 线性无关; (3)s=n-r(A

    14、)或 1, 2,., s 可表示Ax=0 的任一个解 那么要证 1, 2,., s 是基础解系,也应当证这三点本题中(1)、(3)是容易证明的,关键是 (2)线性相关性的证明在考研中是常见的【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 由克莱姆法则,丨 A 丨0 时方程组有唯一解故 a0 时方程组有唯一解且用克莱姆法则,有 x1=【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 当 a=0 时,方程组 有无穷多解.其通解为(0 ,1,0,0) T+k(1,0,0,0) T,k 为任意常数【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 对于方程组 Ax=1,由增广矩阵作

    15、初等行变换,有得方程组通解 x1=t,x 2=-t,x 3=1+2t,即2=(t, -t,1+2t) T,其中 t 为任意常数由于 A2= ,对 A2x=1,由增广矩阵作初等行变换,有 得方程组通解 x1=-1/2-u,x 2=u,x 3=,即 3=(-1/2-u,u,) T,其中 u, 为任意常数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 因为行列式所以对任意的 t,u,v,恒有丨1, 2, 3 丨0,即对任意向量 2, 3, 1, 2, 3 线性无关【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 所以方程组 Ax=b 的通解为(3/2 ,-1/2,0) T+k(1,0,1) T,其中 k 是任意常数【知识模块】 线性代数


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