1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 65 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。0 设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+21 求矩阵 A 的特征值；2 判断矩阵 A 可否对角化2 设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=A 一 B，若 1， 2， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明：3 AB=BA；4 存在可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP，P 一 1BP 同时为对角矩阵5 (1)若 A 可逆且 AB ，证明：A *B *； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP6 设 有三个线性无关
2、的特征向量，求 a 及 An7 设方程组3= 为矩阵 A 的分别属于特征值 1=1， 2=一 2， 3=一 1 的特征向量(1)求A；(2)求|A *+3E|7 设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1=2 是 A的特征值，对应特征向量为(一 1，0，1) T8 求 A 的其他特征值与特征向量；9 求 A10 设 ,求 a，b 及正交矩阵 P，使得PTAP=B11 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n，证明： A，B 有公共的特征向量11 设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， n 是 n 维列向量，且 n0，若A1=2，A 2=3，A n 一
3、 1=n，A n=0证明：12 1， 2， ， n 线性无关；13 求 A 的特征值与特征向量14 设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为 k1设 = 求 A15 求 a，b 及可逆矩阵 P，使得 P 一1AP=B16 设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明： BTAB 正定的充分必要条件是 r(B)=n考研数学三（线性代数）模拟试卷 65 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数1 【正确答案】 因为 1， 2， 3 线性无关，所以 1+2+30， 由 A(1+2+3)=2(1+2+3)，得 A 的一个特征值
4、为 1=2； 又由 A(1 一 2)=一( 1 一 2)，A( 2 一3)=一 (2 一 3)，得 A 的另一个特征值为 2=一 1因为 1， 2， 3 线性无关，所以 1 一 2 与 2 一 3 也线性无关，所以 2=一 1 为矩阵 A 的二重特征值，即 A 的特征值为 2，一 1，一 1【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 因为 1 一 2， 2， 3 为属于二重特征值一 1 的两个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 由 AB=A 一 B 得 A 一 B 一 AB+E=E，(E+A)(EB)=E，即 E 一 B与 E+
5、A 互为逆矩阵，于是(E B)(E+A)=E 一(E+A)(EB)，故 AB=BA【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 因为 A 有三个不同的特征值 1， 2， 3，所以 A 可以对角化，没A 的三个线性无关的特征 向量为 1， 2， 3，则有 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)diag(1， 2， 3)， BA( 1， 2， 3)=B(1， 2， 3)diag(1， 2， 3)， AB( 1， 2， 3)=B(1， 2， 3)diag(1， 2， 3)，于是有 AB i=iBi，i=1，2，3 若 Bi0，则 Bi是 A 的属于特征值 i 的特征向量，又 i 为单根，所以有 BI=i
6、i； 若 Bi=0，则 i是 B 的属于特征值 0 的特征向量，无论哪种情况，B 都可以对角化，而且 i 是 B的特征向量，因此，令 P=(1， 2， 3)，则 P 一 1AP，P 一 1BP 同为对角阵【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 (1)因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆，A，B 的特征值相同且|A|=|B| 因为 AB ，所以存在可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP=B， 而 A*=|A|A 一1，B *=|B|B 一 1， 于是由 P 一 1AP=B，得(P 一 1AP)一 1=B 一 1，即 P 一 1A 一 1P=B 一 1， 故 P 一 1|A|A 一 1P=|A|B
7、一 1 或 P 一 1A*P=B*，于是 A*B * (2)因为 AB，所以存在可逆阵 P，使得 P 一 1AP=B，即 AP=PB，于是 AP=PBPP 一 1=P(BP)P 一 1，故APBP【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 由|E 一 A|= =0，得 1=2=1， 3=2因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 一定可对角化，从而 r(E 一 A)=1，即 a=1，故由 =1 时，由(E 一 A)X=0，得 1= 由 =2 时，由(2E 一 A)X=0，得 3= 令 P=(1， 2， 3)=两边 n 次幂得 P 一 1AnP= 从而An=【知识模块】 线性代数7 【正确答
8、案】 因为方程组有无穷多个解，所以 =a2 一2a+1=0，解得 a=1令 P=(1， 2， 3)=(2)|A|=2，A *对应的特征值为 即 2，一 1，一 2，A *+3E 对应的特征值为 5，2，1，所以|A*+3E|=10【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 即 A 有特征值 2=5，对应的特征向量为 又因为 AX=0 有非零解，所以 r(A)3，从而 A 有特征值 0，设特征值 0 对应的特征向量为 根据不同特征值对应的特征向量正交得 解得特征值 0 对应的特征向量为【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【知识模块】
9、线性代数10 【正确答案】 因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，即因为 AB ，所以矩阵 A，B 的特征值都为 1=1， 2=0， 3=6当 =1 时，由(E 一 A)X=0，得 1=当 =0 时，由(0E 一 A)X=0，得 2= 当 =6 时，由(6E 一 A)X=0，得3=再令 P=(1， 2， 3)= ，则有 PTAP=B【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 因为 r(A)+r(B)n，所以 r(A)n，r(B)n，于是 =0 为 A，B 公共的特征值，A 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 AX=0 的非零解；B 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程
10、组 BX=0 的非零解，因为 r(A)+r(B)n，所以方程组 有非零解，即 A，B 有公共的特征向量【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 令 x11+x22+xnn=0，则x1A1+x2A2+xnAn=0 x12+x23+xn 一 1n=0x1A2+x2A3+xn 一1An=0 x13+x24+xn 一 2n=0x1n=0 因为 n0，所以 x1=0，反推可得x2=xn=0，所以 1， 2， n 线性无关【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 A( 1， 2， n)=(1， 2， n) ，令P=(1， 2， n)，则 P 一 1AP= =B，则 A 与 B 相似，
11、由|E 一 B|=0 1= n=0，即 A 的特征值全为零，又 r(A)=n 一 1，所以 AX=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而 An=0n(n0)，所以 A 的全部特征向量为 kn(k0)【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 ，即 A 有一个特征值为 1=5，其对应的特征向量为 1= ，A 1=51又 AX=0 的通解为 k1，则 r(A)=1 2=3=0，其对应的特征向量为2= ，A 2=0，A 3=0令 x11+x22+x33=，解得 x1=8，x 2=一1，x 3=一 2，则 A=8A1 一 A2 一 2A3=8A1=40【知识
12、模块】 线性代数15 【正确答案】 由|A 一 B|=0，得 1=一 1， 2=1， 3=2，因为 AB ，所以 A 的特征值为 1=一 1， 2=1， 3=2由 tr(A)=1+2+3，得 a=1，再由|A|=b= 123=一 2，得 b=一 2，即 A 由( 一 E 一 A)X=0，得 1=(1，1，0) T；由(E一 A)X=0，得 2=(一 2， 1，1) T；由(2EA)X=0 ，得 3=(一 2，1，0) T，令 P1=由(一 E 一 B)X=0，得 1=(一1，0，1) T；由 (E 一 B)X=0，得 2=(1，0，0) T；由(2E 一 B)X=0，得 3=(8，3，4)T，
13、令 P2= ，则 P2 一 1BP2= 由 P1 一 1AP1=P2 一 1BP2，得(P1P2 一 1)一 1AP1P2 一 1=B，令 P=P1P2 一 1=，则 P1AP=B【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 因为(B TAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，所以 BTAB 为对称矩阵，设BTAB 是正定矩阵，则对任意的 X0，X TBTABX=(BX)TA(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有 BX0，或方程组 BX=0 只有零解，所以 r(B)=n反之，设 r(B)=n，则对任意的 X0，有 BX0，因为 A 为正定矩阵，所以 XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)0，所以 BTAB 为正定矩阵【知识模块】 线性代数
