1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 40 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设二次型 f(x1，x 2，x 3)在正交变换 x=Py 下的标准形为 2y12+y22 一 y32，其中P=(e1，e 3，e 3)。若 Q 一(e 1，-e 3，e 3)，则 f(x1，x 2，x 3)在正交变换 x=Qy 下的标准形为（A）2y 12 一 y22+y32（B） 2y12+y22 一 y32（C） 2y12 一 y22 一 y32（D）2y 12+y22+y322 二次型 f(x1，x 2，x 3)一 2x12+x22 一 4x32 一 4x1x22x2x3
2、的标准形是（A）2y 12 一 y22 一 3y32（B）一 2y12 一 y22 一 3y32（C） 2y12+y22（D）2y 12+y22+3y323 则 A 与 B（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同且不相似二、填空题4 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12 一 x22+2ax1，x 3+4x2， x3 的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围是_。5 曲线 2x2 一 xy+4y2=1 的名称是 _。6 曲面 x12+x22+x32+41x3+4x1x3+4x2x3=1 的标准方程是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 已知二次型
3、 f(x1，x 2，x 3)一 5x12+5x22+cx32 一 212+613623 的秩为 27 求参数 c 及 f 所对应矩阵的特征值；8 指出方程 f(x1，x 2，x 3)=1 表示何种二次曲面。9 已知二次曲面方程 x2+ay2+x2+2bxy+2xz+2yz=4 可以经过正交变换 化为椭圆柱面方程 2+42=4求 a，b 的值和正交矩阵 P。10 设 1， n 分别为 n 阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X 1，X n 分别为对应于1， n 的特征向量，记 求二元函数的最大值及最大值点。11 证明：二次型 f(X)=XTAX 在 XTX=1 条件下的最大(小)值等于实对称矩阵 A
4、 的最大(小)特征值。 求三元函数 f(x1，x 2，x 3)=3x12+2x22+3x32+2x1x3 在 x12+x22+x32=1 条件下的最大及最小值，并求最大值点及最小值点。12 设 A、B 为同阶实对称矩阵，A 的特征值全大于 a，B 的特征值全大于 b，a 、b为常数，证明：A+B 的特征值全大于 a+b。12 设 A 是 n 阶实对称矩阵，证明：13 存在实数 c，使对一切 xRn，有|x TAx|cxTx。14 必可找到一个数 a，使 A+aE 为对称正定矩阵。15 设 n 阶矩阵 A 正定，X=(x 1，x 2，x n)T。证明：二次型为正定二次型。15 已知矩阵 相似于对
5、角矩阵16 求常数 a 的值；17 用正交变换化二次型 f(x)=XTBX 为标准形，其中 X=(x1，x 2，x 3)T 为 3 维向量。17 已知线性方程组是正定矩阵18 求常数 a 的值；19 求当 XTX=2 时，X TAX 的最大值，其中 X=(x1，x 2，x 3)T 为 3 维实向量。20 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+ax32+2bx1x22x1x3+2x2x3(b0)通过正交变换化成了标准形 f=6y12+3y22 一 2y12。求 a、b 的值及所用正交变换的矩阵 P。21 设二次型 f(x1，x 2，x 3)经正交变换 化成了标准形f=4y12+y
6、22 一 2y32，求二次型 f(x1，x 2，x 3)。21 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1 一 a)x12+(1 一 a)x22+2x32+2(1+a)x1x2 的秩为 222 求 a 的值；23 求正交变换 x=Qy，把 f(x1，x 2，x 3)化成标准形；24 求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解。24 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y12+y22，且 Q的第 3 列为25 求矩阵 A；26 证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵。考研数学三（线性代数）模拟试卷 40 答案与解析一、选择题下
7、列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查用正交变换化二次型成标准形的问题，这本质上是实对称矩阵的正交相似对角化问题，计算上主要是求 n 阶实对称矩阵的 n 个两两正交的单位特征向量。设二次型的矩阵为 A，则由题意知矩阵 P 的列向量 e1，e 2，e 3 是矩阵 A 的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是 2，1，一 1即有Ae1=2e1，Ae 2=2e2，Ae 3=2e3 从而有 AQ=A(e1，一 e3，e 2)=(Ae1，一 Ae3，Ae 2)=(2e1，一(一 e3)，e 2) 矩阵 Q 的列向量 e1，一 e3，e 2 仍是 A
8、的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是 2，一 1，1矩阵 Q 是正交矩阵，有 Q-1=QT，上式两端左乘 Q-1，得 从而知，在正交变换 x=Py 下的标准形为 f=2y12 一 y22+y32。于是选(A)。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 f 即不正定(因 f(0，0，1)=一 40)，也不负定(因 f(1，0，0)=20)，故(B)、 (D)都不对；又 f 的秩= 矩阵 的秩=3 ，故(C) 不对，只有(A)正确。或用配方法：f=2( 1-a2)2 一 x22 一 4x32 一 22a2=2(1-a2)2 一( 1+a2)2 一 3x32 一 2y12一 y22
9、 一 3y32，其中所作满秩线性变换为【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 A 的特征值为 4，0，0，0，A 为实对称矩阵，故存在正交矩阵 P，使 P-1AP=PTAP=B，即 A 与 B 既合同又相似。【知识模块】 线性代数二、填空题4 【正确答案】 一 2，2【试题解析】 对 f 配方，可得 f=(x1+ax3)2 一(x 22x3)2+(4 一 a2)x32 于是 f 可经可逆线性变换 化成标准形 f=z12 一 z22+(4 一 a2)z32 若 4 一 a20，则f 的负惯性指数为 2，不合题意；若 4 一 a20，则 f 的负惯性指数为 1因此，当且仅当 4 一
10、 a20，即|a|2 时，f 的负惯性指数为 1f 的矩阵为A 的特征多项式为设 A 的特征值为1， 2， 3，则 f 经正交变换可化成标准形 f=1y12+2y22+3y321， 2， 3 中为负的个数即，的负惯性指数，且由特征值的性质知 123=det(A)=4 一 a2。由于 f 既可取到正值、又可取到负值，所以 1， 2， 3 中至少有一个为正的，也至少有一个为负的。 1， 2， 3 的符号只有下列 3 种可能：(1) 123=0，此时有 3=0， 1,2=即 f 的正、负惯性指数都为 1，符号题意。(2) 123=0，此时1， 2， 3 中有一个为负的，2 个为正的(不可能 3 个都
11、为负，否则与 f 可取到正值矛盾)，符号题意。(3) 1， 2， 30，此时 1， 2， 3 中 3 个都为正的，或者 2 个为负的，1 个为正的，都不符号题意。综上可知，当且仅当 123=4 一 a20，即|a|=2 时，符号题意。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 椭圆【试题解析】 二次型 2x2 一 xy+4y2 的矩阵 是正定的。用旋转变换(适当的正交变换) 可化曲线方程为标准方程 1x2+2y2 一 1(其中 1， 2 为 A 的特征值，均为正数)，故曲线为椭圆。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 5y 12 一 y22 一 y32=1【试题解析】 的特征值为 1=5， 2=
12、3=一 1，曲面的标准方程为5y12 一 y22 一 y32=1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 标准方程为 4y22+9y32=1，故曲面为椭圆柱面。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 ，在 x=1，y= 一 1 处取到。【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 证1=f（X 1)：设 s 为 A+B 的最小特征值，对应的特征向量为 X1； 1、 1 分别是A、B 的最小特征值，则有故 A
13、+B 的特征值全大于a+b。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 设 A 的特征值为 1， 2， n。令 c=max|1|，| 2|，| n|，则有正交变换 x=Py，【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 因为(A+aE) T=A+aE，所以 A+aE 对称。又若 A 的特征值为1， n 则 A+aE 的全部特征值为 1+a， n+a，若取a=max|1|，| 2|，| n|+1，则 i+ai+|i|+11，所以 A+aE 正定。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由于 A 正定，有|A|0，且 A-1 正定，故对于任意 x0，XR n，有 XTA-1X0，
14、 f(X)=|A|XTA-1X0，故 f(X)正定。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 B 的特征值为 6，6，一 2，由 B 可相似对角化，有 1=r(6E 一 A)=【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 f 的矩阵为，它使PTAP ，故 f 在正交变换 X=PY 下化成的标准形为 f=6y12+7y22 一3y32。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由方程组的系数行列式=a(a+1)(a 一 3)=0， a 的取值范围为：0，一 1，3，再由矩阵 A 正定，得 a=3。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 A 的最大特征值为
15、 10，设对应的单位特征向量为 (即 A：10 ，且 T=1)。对二次型 XTAX，存在正交变换 X=PY 化其为标准形：XTAX=1y12+222+3y2210(y12+y22+y32)，当 XTX=YTY=y12+y22+y32=2 时，有XTAX102=20，又=2T(A)=2T(10)=20(T=20，综上可知 。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 二次型的矩阵 由 1+2+3=6+3+(一 2)一1+1+a，解得 a=5，由 123=一 36=|A|=一 5b2 一 2b+3，解得 b=一 3所用正交矩阵可取为【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 f=x TAx(A 为实对
16、称矩阵)，所用正交变换的矩阵为，P -1AP=PTAP=diag(4，1，一 2)，f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22 一 412423。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由于二次型 f 的秩为 2，即对应的矩阵一 4a=0，得 a=0【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 当 a=0 时， ，计算可得 A 的特征值为1=2=2， 2=0解齐次线性方程组(2EA)x=0，得 A 的属于 1=2 的线性无关的特征向量为 1=(1，1，0) T， 2=(0，0，1) T 解齐次线性方程组(0E 一 A)x=0，得 A 的属于 3=0 的线性无关的特征向量为
17、 3=(一 1，1，0) T 易见 1， 2， 3 两两正交。将 1， 2， 3 单位化得 A 的标准正交的特征向量为取 Q=(e1，e 2，e 3)，则 Q 为正交矩阵。令 xQ=y，得 f 的标准形为 f(x1，x 2，x 3)=1y+2y22+3y32 一 2y12+2y22。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 在正交变换 x=Qy 下，f(x 1，x 2，x 3)=0 化成 2y12+2y32=0，解之得y1=y2=0，从而【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由条件知，A 的特征值为 1，1， 0，且 =(1，0，1) T 为 A 的属于特征值 0 的一个特征向量。设 A 的属于特征值 1 的特征向量为 x=(x1，x 2，x 3)T，则 x，得 x1+x2=0，取 A 的属于特征值 1 的两个正【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 A+E 的特征值为 2，2，1 都大于零，且 A+E 为实对称矩阵，所以 A+E 为正定矩阵。【知识模块】 线性代数
