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    [考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷38及答案与解析.doc

    • 资源ID:853096       资源大小:609KB        全文页数:13页
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    [考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷38及答案与解析.doc

    1、考研数学三(线性代数)模拟试卷 38 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 设 ,问当 k 为何值时,存在可逆矩阵 P,使得 P-1AP 为对角矩阵?并求出 P 和相应的对角矩阵。2 设矩阵 ,已知 A 有 3 个线性无关的特征向量, =2 是 A 的 2重特征值。试求可逆矩阵 P,使得 P-1AP 为对角形矩阵。2 已知矩阵3 求 x 与 y 的值;4 求一个满足 P-1AP=B 的可逆矩阵 P。5 设 为可逆方阵 A 的一个特征值,证明: (1) 为 A-1 的特征值;(2) 为 A 的伴随矩阵 A*的特征值。5 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1=1, 2=2

    2、, 3=3,对应的特征向量依次为 1=(1,1,1) T, 2=(1,2,4) T, 3=(1,3,9) T,又 =(1,1,3) T6 将向量 用 1, 2, 3 线性表出;7 求 An(n 为正整数 )。8 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=一 1, 2=3 一 1,对应于 2 的特征向量为1=(0,1,1) T,求矩阵 A。8 已知 的一个特征向量。9 试求 a,b 的值及 所对应的特征值;10 问 A 能否相似于对角矩阵?说明理由。11 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将 熟练工支援其它生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐,新、老非熟练工经过培训及

    3、实践至年终考核有 成为熟练工。设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟工所占百分比分别为 xn 和 yn,记成向量12 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1,一 1,0,对应的特征向量分别为 1, 2, 3,若B=A2 一 2A+3E,试求 B-1 的特征值和特征向量。13 设 3 阶矩阵 A 与对角矩阵 相似,证明:矩阵 C=(A1E)(A2E)(A3E)=014 设 A 为 n 阶非零方阵,且存在某正整数 m,使 Am=0求 A 的特征值并证明 A不与对角矩阵相似。15 下列矩阵是否相似于对角矩阵?为什么?16 已知矩阵 A=(aij)胁的秩为 n 一 1,求 A 的伴随矩阵 A*的特征值和特征

    4、向量。17 设 n 阶矩阵 A,B 可交换、即 AB=BA,且 A 有 n 个互不相同的特征值。证明:(1)A 的特征向量都是 B 的特征向量;(2)B 相似于对角矩阵。18 设矩阵 ,B=P -1A*P,求 B+2E 的特征值和特征向量,其中 A*为 A 的伴随矩阵,E 为 3 阶单位矩阵。19 若矩阵 相似于对角矩阵 A,试求常数 a 的值;并求可逆矩阵 P,使 P-1AP=A。20 设矩阵 是矩阵 A*的一个特征向量, 是 对应的特征值,其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵。试求 a、 b 和 的值。21 设 A 为 n 阶方阵,秩(A)=rn,且满足 A2=2A,证明:A 必相似于对角矩阵

    5、。22 设 n 维实向量 =(a1,a 2,a n)T0,方阵 A=T(1)证明:对于正整数 m,存在常数 t,使 Am=tm-1A,并求出 t;(2) 求可逆矩阵 P-1 使 P-1AP 成对角矩阵。23 设矩阵 的特征方程有一个二重根,求 a 的值,并讨论 A 是否可相似对角化。23 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2, 1=2=6 是 A 的二重特征值,若 1=(1,1,0)T, 2=(2,1,1) T, 3=(一 1,2,一 3)T,都是 A 的属于特征值 6 的特征向量。24 求 A 的另一特征值和对应的特征向量;25 求矩阵 A。26 设 A 为 m 阶实对称阵且正定,B 为 m

    6、n 实矩阵,试证: BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n。考研数学三(线性代数)模拟试卷 38 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 由=(+1)2(A 一 1)=0,得 A 的全部特征值为 1=2=一 1, 3=1故 A 可对角化 A 的属于 2 重特征值 1=2=一 1 的线性无关特征向量有 2 个 方程蛆(一 E 一 A)x=0 的基础解系含 2 个向量 3 一 r(一 EA)=2 r(一 E 一 A)= =1 k=0当 k=0 时,可求出 A 的对应于特征值一 1,一 1;1的线性无关特征向量分别可取为 1=(一 1,2,

    7、0) T, 2=(1,0,2) T; 3=(1,0,1)T,故得 P-1AP=【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 由于 =2 是 A 的 2 重特征值,故 3 一 r(2EA)=2,或 r(2EA)=2,y= 一 2;由 2+2+3=1+4+5,得 A 的另一特征值为3=6由 2EA ,得属于 1=2=2 的线性无关特征向量 1=(1,一 1,0) T, 2=(1,0,1) T。由 6EA=,得属于 3=6 的线性无关特征向量 3=(1,一 2,3) T,【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 x=0,y=1;【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 P=【知识模块】

    8、线性代数5 【正确答案】 由 为 A 的特征值,知存在非零列向量 x,使 Ax=x,由此知0,否则 =0,则有 Ax=0, |A|=0,这与 A 可逆矛盾,故 0用 A-1 左乘Ax=x 两端,再用 为 A-1 的一个特征值且 x 为对应的特征向量。因 A-1=为 A*的一个特征值且 x 为对应的特征向量。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 =2 122+3;【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A i=ii, ini=ini(i=1,2,3)。A n=An(2122+3)=2An12An2+An3=21n1 一 22n2+3n3【知识模块】 线性代数8 【正确答案

    9、】 设 A 的属于特征值 2=3=1 的特征向量为 =(x1,x 2,x 3)T,则1T=x2+x3=0解得其基础解系为 2=(1,0,0) T, 3=(0,1,一 1)T,于是得 A 的标准正交的特征向量 ,e 2=2,e 3=【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 由(E A)=0解之得 a=一3,b=0 ,= 一 1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 A 的特征值为 1=2=3=3=一 1,对应的线性无关特征向量却只有 1 个,故 A 不能相似于对角矩阵。【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 B=(A 2 一 2A

    10、+3E)1=A21 一 2A1+31=121211+31=(12 一21+3)1=21,类似可得 B2=62,B 3=33,故 B 的特征值为 2,6,3,对应的线性无关特征向量分别为 1, 2, 3,得 B-1 的特征值为 ,对应的特征向量分别为 k11,k 22,k 33(ki 为任意非零常数,i=1,2,3)。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 A=PDP -1,C=(PDP -1 一 1PP-1)(PDP-1 一 2PP-1)(PDP-1 一 3PP-1)=P(D1E)P-1P(D2E)P-1P(D3E)P-1=P(D1E)(D1E)(D3E)P-1【知识模块】 线性代数14 【

    11、正确答案】 1=2= n=0,(0E 一 A)x=0 的基础解系最多含 n 一 1 向量。即n 阶方阵 A 最多有 n 一 1 个线性无关特征向量,故 A 不相似于对角阵。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (1)是,因该方阵只有单特征值; (2)否。因 A 的特征值为1=2=2=3=4=1,而对应的线性无关特征向量却只有 2 个。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由 A*A=|A|E=0,知 A 的 n 一 1 个线性无关的列向量都是方程组A*x=0 的解向量,即 =0 至少是 A*的 n 一 1 重特征值,而上述 n 一 1 个列向量即为对应的线性无关特征向量,又由全部特征值

    12、之和等于 A*的主对角线上元素之和A11+A22+An,故 A*的第 n 个特征值为 由于 r(A*)=1,故 A*的列成比例,不妨设(A 11A12,A 1n)T0,则存在常数 k2,k n,使【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由于 A 有 n 个互不相同特征值,故 A 有 n 个线性无关的特征向量,因此,如果(1)成立,则(2) 成立,故只需证明(1) 。下证(1):设 为 A 的特征向量,则有数 使 A=,两端左乘 B,并利用AB=BA,得 A(B)=(B),若 B0,则 B 亦为 A 的属于特征值 的特征向量,因方程组(E 一 A)x=0 的解空间为 1 维的,故有数 ,使 B

    13、=,故 亦为 B 的特征向量;若 B=0,则 B=0,即 为 B 的属于特征值 0 的特征向量,总之, 必为 B 的特征向量,由于 的任意性,知 A 的特征向量都是 B 的特征向量。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 的特征值为 1=2=9, 3=3对应于特征值 9 的全部特征向量为 k1(一 1,1,0) T+k2(一 2,0,1) T;对应于特征值 3 的全部特征向量为 k3(0,1,1) T。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 A 的特征值为 1=2=6, 3=一 2,由 r(6E 一 A)=1 得 a=0【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由 A 可逆知 A*可逆,

    14、0,|A|0由 A*= 两端左乘 A 并利用 AA*=|A|E,得|A|=A, ,比较两端对应分量,得关于 a、 b 和 的方程组 ,解之得a=2,b=1,=1;或 a=2, b=一 2,=4【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由秩(A)=rn,知方程组 Ax 一 0 的基础解系含 n 一 r 个向量:1, 2, n-r。因此, 1, 2, n-r,就是 A 的对应于特征值 0 的 n 一 r 个线性无关的特征向量。设 A 按列分块为 A=12 n,则题设条件 AA=2A 就是A1A2A n=21222 n,由 Aj=2j,知 A 的列向量组的极大无关组j1, j2, jr,就是 A 的

    15、对应于特征值 2 的 r 个线性无关特征向量。再由特征值的性质,知 1, n-r, j1, j2, jr,就是 n 阶方阵 A 的 n 个线性无关特征向量,所以,A 必相似于对角矩阵。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (1)A m=(T)(T)( T)=(T)m-1T=(T)m-1(T)= A=tm-1A,其中 t= 因为实对称矩阵 A 的非零特征值的个数就等于A 的秩,故 A 只有一个非零特征值,而有 n 一 1 重特征值 1 一 2= n-1=0,计算可得属于特征值 0 的线性无关特征向量可取为(设 10): 1=。由于A 的全部特征值之和等于 A 的主对角线元素之和 ,故得 A

    16、的唯一的非零特征值为 n= =T,且由 A=(T)=(T)=n=n 可得 为对应于 n 的一个特征向量。令矩阵 P=1 n-1,则有 P-1AP=diag(0,0,0, )为对角矩阵。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 A 的特征多项式为(1)若 =2 是f()的二重根,则有( 2 一 8+18+3a)|=2=22 一 16+18+3a=3a+6=0,解得 a=一 2当a=一 2 时,A 的特征值为 2,2,6,矩阵 2EA= 的秩为 1,故对应于二重特征值 2 的线性无关特征向量有两个,从而 A 可相似对角化。(2)若 =2不是 f()的二重根,则 2 一 8+18+3 为完全平方,从

    17、而 18+3a=16,解得 a=当 时,A 的特征值为 2,4,4,矩阵 的秩为 2,故 A 的对应于特征值 4 的线性无关特征向量只有一个,故 A 不能相似于对角矩阵。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为 1=2=6 是 A 的二重特征值,故 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量有 2 个,有题设可得 1, 2, 3 的一个极大无关组为 1, 2,故1, 2 为 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量。由 r(A)=2 知|A|=0,所以 A 的另一特征值为 3=0设 3=0 对应的特征向量为 =(x1,x 2,x 3)T,则有iT=0(i=1, 2

    18、),即 ,解得此方程组的基础解系为 =(一1,1,1) T,即 A 的属于特征值 3=0 的特征向量为 k=k(一 1,1,1) T(k 为任意非零常数)。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 令矩阵 P=123,则有【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 必要性 设 BTAB 正定,则对任意 n 维非零列向量 x,有 xT(BTAB)x0,即(Bx) TA(Bx)0,于是 Bx0因此,Bx=0 只有零解,从而有 r(B)=n。 充分性 因(B TAB)T=BTATB=BTAB,故 BTAB 为实对称矩阵,若 r(B)=n,则齐次线性方程组 Bx=0 只有零解,从而对任意 n 维非零列向量 x,有 Bx0,又 A 为正定矩阵,所以对于 Bx0,有(Bx) TA(Bx)0,于是当 X0 时,x T(BTAB)x=(Bx)TA(Bx)0,故 BTAB 为正定矩阵。【知识模块】 线性代数


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