1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 29 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 A，B 是 n 阶方阵，则下列公式正确的是 ( )（A）(A 2)-1=(A-1)2（B） (A+B)-1=A-1+B-1（C） (A+B)(AB)=A2 一 B2（D）(kA) -1=kA-1(k0)2 已知 ，P 为 3 阶非零矩阵，且满足 PQ=O，则 ( )（A）t=6 时 P 的秩必为 1（B） t=6 时 P 的秩必为 2（C） t6时 P 的秩必为 1（D）t6 时 P 的秩必为 23 设有两个 n 维向量组() 1， 2， s，() 1， 2， s，若存在两组不全
2、为零的数 k1，k 2， ，k s， 1， 2， s，使(k 1+1)1+(k2+2)2+(ks+s)s+(k1-1)1+(ks-s)s=0， 则 ( )（A） 1+1， ， s+s， 1 一 1， s 一 s 线性相关（B） 1， s 及 1， s 均线性无关（C） 1， s 及 1， s 均线性相关（D） 1+1， ， s+s， 1 一 1， s 一 s 线性无关4 齐次线性方程组 的系数矩阵为 A，若存在 3 阶矩阵 BO，使得 AB=O，则 ( )（A）=一 2 且|B|=0（B） =一 2 且|B|0（C） =1且|B|=0（D）=1 且|B|05 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A
3、 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（A）AE-A=E-B（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似6 设 A 是 n 阶实矩阵，将 A 的第 i 列与第 j 列对换，然后再将第 i 行和第 j 行对换，得到 B，则 A，B 有 ( )二、填空题7 设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A-1BA=6A+BA，且 A= ，则B=_8 已知 ABC=D，其中 ，则B*=_ 9 方程组 有解的充要条件是 _ 10 与 1=1， 2，3，一 1T， 2=0，1，1，2 T， 3=2，1，3，0 T
4、 都正交的单位向量是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 计算行列式12 假设 ，求 A 的所有代数余子式之和13 设 A 是 n 阶实矩阵，证明：tr(AA T)=0 的充分必要条件是 A=O13 设 =a1，a 2，a nT0，=b 1，b 2，b nT0，且 T=0，A=E+ T，试计算：14 |A|；15 An；16 A-117 设 A=(aij)nn，且 =0，i=1 ，2，n，求 r(A*)及 A*18 求齐次线性方程组 的基础解系18 已知矩阵 相似19 求 x 与 y；20 求一个满足 P-1AP=B 的可逆矩阵 P21 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 有
5、 n 个互不相同的特征值，且 AB=BA证明：B 相似于对角阵22 已知 f(x， y)=x2+4xy+y2，求正交变换 P， 使得23 已知三元二次型 XTAX 经正交变换化为 2y12 一 y22 一 y32，又知矩阵 B 满足矩阵方程 其中 =1，1，一 1T，A *为 A 的伴随矩阵，求此二次型 XTBX 的表达式考研数学三（线性代数）模拟试卷 29 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 (A 2)-1=(AA)-1=A-1A-1=(A-1)2(B)不成立，例：B=-A，A+B 不可逆(C)中， ABBA，BA 一 A
6、B0(D)中， 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 “AB=O” 是考研出题频率极高的考点，其基本结论为：【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 存在不全为 0 的 k1，k 2，k s， 1， 2， s 使得 (k 1+1)1+(k2+2)2+(ks+s)s+(k1 一 1)1+(k2-2)1+(ks-s)2=0，整理得 k 1(1+1)+k2(2+2)+ks(s+s)+1(1 一 1)+2(2 一 2)+ s(s 一 s)=0，从而得1+1， s+s， 1 一 1， s 一 s 线性相关【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 BO ，AB
7、=O，故 AX=0 有非零解，|A|=0，又 AO，故 B 不可逆，故=1，且 |B|=0【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 A 与 B 相似，存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，则 tB 一 B=tE 一 P-1AP=P-1(tE)PP-1AP-1(tE 一 A)P，即 tE 一 A 与 tE 一 B 相似，选(D)对于(A) ：E 一 A=E 一 B A=B；对于(B)；A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C)：A 与 B 不一定能够相似对角化【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 由题意，E ijAEij=
8、B其中因 Eij 是可逆阵，EijAEij=B，故 AB； E ij 可逆，且 Eij=Eij-1，则 EijAEij=Eij-1AEij=B，故 AB； E ij是对称阵，E ij=EijT，则 EijAEij=EijTAEij=B，故 AB 故 AB，AB ，AB【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 diag(3，2，1)【试题解析】 由 A-1BA=6A+BA 得 B=6A(E-A)-1=diag(3，2，1)，【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 设
9、 =x1，x 2，x 3，x 4T，那么故 n一 r(A)=43=1，则 Ax=0 有一个基础解向量。则 Ax=0 的基础解系为一 1，一1，1，0 T，将其单位化，得 即为所求【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 =(a2+b2+c2+d2)4故原式=(a 2+b2+c2+d2)2【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 先计算出 A 的所有代数余子式之和即为 A*所有元素之和为 0【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 充分性 A=O，显然 tr(AAT)=0必要性 tr(AAT)=0，设【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数1
10、4 【正确答案】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 A n=(E+T)n=En+nEn-1T En-2(T)2+ 当 k2时， (T)k(T)(T)( T)=(T)(T) T=O故 An=E+nT【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 A 2=(E+T)(E+T)=E+2T+TT=E+2T 一 2E+2T-E=2A-E 2A-A 2=E，A(2E-A)=E， A -1=2E-A=E-T【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 =0，i=1 ，2，n，可知|A|=O，r(A)n 一 1，当 r(A)=n一 1 时，有 r(A*)=1， r(A) n 一 1，r(A *)=0，故有 r(
11、A*)1r(A *)=1 时，A *=T，其中 ， 为非零向量；r(A *)=0 时，A *=O【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 B 的特征值为 2，y，一 1由 A 与 B 相似，则 A 的特征值为2，y，一 1故【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 分别求出 A 的对应于特征值 1=2， 2=1， 3=一 1 的线性无关的特征向量为【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 A 有 n 个互不相同的特征值，故存在可逆阵 P，使得 P-1AP=diag(1， 2， n)=A1，其中 i，i=1，2， ，n 是 A 的特
12、征值，且ij(ij) 又 AB=BA，故 P-1APP-1BP=P-1BPP-1AP，即 A1P-1BP=P-1BPA1 设 P-1BP=(cij)nn，则【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由条件知 A 的特征值为 2，一 1，一 1，则|A|=2，因为 A*的特征值为 ，所以 A*的特征值为 1，一 2，一 2，由已知， 是 A*关于 =1的特征向量，也就是 是 A 关于 =2的特征向量则 B的特征值为一 2，1，1，且 B=一 2设 B 关于 =1的特征向量为 =x1，x 2，x 3T，又 B 是实对称阵， 与 正交，故 x1+x2 一 x3=0，解出 1=1，一 1，0T， 2=1，O，1 T，令故 XTBX=一 2x1x2+2x1x3+2x2x3【知识模块】 线性代数
