1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 123 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（A）rm（B） r=m（C） rm（D）rm2 设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A*)=1，则( )（A）r(A)=1（B） r(A)=2 （C） r(A)=3 （D）r(A)=43 设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=O，则( )（A）r(B)=n（B） r(B)n（C） A2 一 B2=(A+B)(AB)（D）|A|=04 设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可
2、逆矩阵，则 的逆矩阵为( ) 5 设则 A，B 的关系为( )（A）B=P 1P2A（B） B=P2P1A（C） B=P2AP1（D）B=AP 2P16 设则( )（A）B=P 1AP2（B） B=P2AP1（C） B=P2-1AP1（D）B=P 1-1AP2-1二、填空题7 设 A 为四阶矩阵，|A *|=8，则8 若矩阵 B 是三阶非零矩阵，满足 AB=O，则t=_9 设 则 A-1=_10 设 则 A-1=_11 设 则(A *)-1=_12 设 则(A 一 2E)-1=_13 设 n 阶矩阵 A 满足 A2+A 一 3E，则(A 一 3E)-1=_14 15 设 n 维列向量 a=(a
3、，0，0，a) T，其中 aT， 且 B 为 A 的逆矩阵，则 a=_16 设三阶矩阵 A，B 满足关系 A-1BA=6A+BA，且 则B=_17 设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)=2， 则 r(AB)=_.18 设 B 为三阶非零矩阵，且 AB=O，则 r(A)=_.19 则 P12009P2-1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设 A，B 满足 A*BA=2BA 一 8E，且 求 B21 设 求 B-122 设 求 A-122 设 n 阶矩阵 A 满足 A2+2A3E=O求：23 (A+2E)-1；24 (A+4E)-125 设 A 为 n 阶矩阵，且 Ak=
4、O，求(E A)-125 设 A，B 为 n 阶矩阵，26 求 PQ；27 证明：当 P 可逆时，Q 也可逆28 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2=|A|E证明：A=A *29 设 A 为 n 阶矩阵，且 A2 一 2A 一 8E=O证明：r(4E A)+r(2E+A)=n30 证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一31 设 A 是 mn 阶矩阵，若 ATA=O，证明：A=O 考研数学三（线性代数）模拟试卷 123 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 AB 为 m 阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而 r(AB)m
5、inr(A)，r(B)nm，所以选(C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r(A*)=1，所以 r(A)=41=3，选(C) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AB=0，所以 r(A)+r(B)n，又因为 B 是非零矩阵，所以 r(B)1，从而 r(A)n，于是|A|=0，选(D) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 A，B 都是可逆矩阵，因为 所以选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 P 1=E12，P 2=E23(2)，显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 及第 2
6、列对调，所以 B=AE23(2)E12=AP2P1，选(D)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 显然 因为 P1-1=P1，所以选(D) 【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 因为 A 为四阶矩阵，且|A *|=8，所以|A *|=|A|3=8，于是|A|=2 又AA*=|A|E=2E，所以 A*=2A-1，故 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 由 AB=0 得 r(A)+r(B)3， 因为 r(B)1，所以 r(A)2， 又因为矩阵A 有两行不成比例，所以 r(A)2，于是 r(A)=2 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【知识模块】 线性代数10
7、 【正确答案】 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 |A|=10，因为 A*=|A|A-1，所以 A*=10A-1，故【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 由 A2+A=3E，得 A2+A 一 3E=0， (A 一 3E)(A+4E)=一 9E， 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 令 A=(1， 2， 3)，因为|A|=2 ，所以 A*A=|A|E=2E， 而A*A=(A*1， A*2，A *3)，所以 于是【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由 且TO，得 解得 a=一 1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由 A-1B
8、A=6A+BA，得 A-1B=6E+B，于是(A -1 一 E)B=6E， 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为|B|=100，所以 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，又因为 BO，所以 r(B)1，从而有 r(A)2，显然 A 有两行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)=2【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为 Eij-1=Eij，所以 Eij2=E，于是 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 由 A*BA=2BA 一 8E 得 AA*BA=
9、2ABA 一 8A， 即一 2BA=2ABA一 8A，整理得(A+E)B=4E，所以 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 A2+2A 一 3E=O 得 A(A+2E)=3E， A(A+2E)=E，根据逆矩阵的定义，有(A+2E) -1= A.【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由 A2+2A 一 3E=O 得(A+4E)(A 一 2E)+5E=O，则(A+4E) -1= (A一 2E)【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 E k 一 Ak=(EA)(E+A+A2+Ak-
10、1)，又 Ek 一 Ak=E， 所以(E A) -1=E+A+A2+Ak-1【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因为|P|=|A|B|，所以当 P 可逆时，|A|B|0，而 PQ=|A|B|E，即于是 Q 可逆且【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 因为 AA*=|A|E，又已知 A2=|A|E，所以 AA*=A2，而 A 可逆，故A=A*【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 由 A2 一 2A 一 8E=O 得(4E-A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质得r(4E-A)+r(2E+A)n又 r(4E-A)+r(2E+A)r(4E-A)+(2E+A)=r(6E)=n，所以有 r(4E一 A)+r(2E+A)=n【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 设存在可逆阵 B，C，使得 AB=AC=E，于是 A(BC)=O，故r(A)+r(BC)n，因为 A 可逆，所以 r(A)=n，从而 r(BC)=0 ，BC=O ，于是B=C，即 A 的逆矩阵是唯一的【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 因为 r(A)=r(ATA)，而 ATA=O，所以 r(A)=0，于是 A=O【知识模块】 线性代数
