1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 113 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）若 A，B 可逆，则 AB 可逆（B）若 A，B 可逆，则 AB 可逆（C）若 AB 可逆，则 AB 可逆（D）若 AB 可逆，则 A，B 都可逆2 设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 ABO，则( )（A）r(B) n（B） r(B)n（C） A2B 2(A B)(AB)（D）A03 设向量组 1， 2， m 线性无关， 1 可由 1， 2， m 线性表示，但 2 不可由 1， 1， ， m 线性表
2、示，则( )（A） 1， 1， m1 ， 1 线性相关（B） 1， 2， m1 ， 1， 2 线性相关（C） 1， 2， m， 1 2 线性相关（D） 1， 1， m， 1 2 线性无关4 设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( ) （A）若方程组 AX0 只有零解，则方程组 AX b 有唯一解（B）若方程组 AX0 有非零解，则方程组 AXb 有无穷多个解（C）若方程组 AXb 无解，则方程组 AX0 一定有非零解（D）若方程组 AXb 有无穷多个解，则方程组 AX0 一定有非零解5 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（A）A 无负特征值（B） A 是满秩矩阵（C） A
3、的每个特征值都是单值（D）A 1 是正定矩阵6 设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为2，1，1 ，以下命题：(1)AB ；(2)A，B 合同；(3)A ，B 等价；(4)A B中正确的命题个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题7 设三阶方阵 AA 1，A 2，A 3，其中 Ai(i1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式A2，则行列式A 12A 2，2A 23A 3，3A 32A 1_8 设 A 是三阶矩阵，且A4，则 _9 设 A ，则(A2E) 1 _10 ，则 P12009P21 _ 11 设 A 为 n 阶矩阵，且A0，A ki0，则 AX0 的通解为_12 设
4、A 为 n 阶可逆矩阵，若 A 有特征值 0，则(A *)23A *2E 有特征值_13 二次型 f(x1，x 2，x 3)(x 12x 2)24x 2x3 的矩阵为 _14 设三阶矩阵 A 的特征值为 11， 20， 31，则下列结论不正确的是( )三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 AXA2X，其中 A 求 X16 设 A 为 n 阶矩阵，且 AkO，求(EA) 1 17 设 1， m 为 m1 个 n 维向量， 1 m(m1)证明：若1， ， m 线性无关，则 1， m 线性无关 18 设 1， 1， ， m， 1， 2， m， 线性无关，而向量组1， 2， m，
5、 线性相关证明：向量 可由向量组1， 2， m， 1， 2， n 线性表示19 ，求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出20 设 n 阶矩阵 A( 1， 2， n)的前 n1 个列向量线性相关，后 n1 个列向量线性无关，且 12 2(n1) n1 0，b 1 2 n (1)证明方程组AXb 有无穷多个解； (2)求方程组 AXb 的通解21 设 A ，求 A 的特征值，并证明 A 不可以对角化22 设 ，A T，求6EA n23 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 18， 2 32，矩阵 A 的属于特征值18 的特征向量为 1 属于特征值 2 3 2 的特征向量为 2 ，求属于
6、 2 32 的另一个特征向量24 设 的逆矩阵 A1 的特征向量求 x，y，并求 A1 对应的特征值 25 用配方法化二次型 f(x1，x 2，x 3)x 122 122 134 32 为标准形26 设 A 是三阶实对称矩阵，且 A22AO，r(A)2 (1)求 A 的全部特征值； (2)当 k 为何值时，AkE 为正定矩阵?考研数学三（线性代数）模拟试卷 113 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 若 A，B 可逆，则A0，B0，又ABA B，所以AB0，于是 AB 可逆，选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D
7、【试题解析】 因为 AB0，所以 r(A)r(B)n ，又因为 B 是非零矩阵，所以r(B)1，从而 r(A)n ，于是 A0，选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，因为 1 可由向量组 1， 2， m 线性表示，但不一定能被 1， 2， m1 线性表示，所以 1， 2， m， m1 不一定线性相关； (B)不对，因为 1， 2， m1 ， 1 不一定线性相关， 2 不一定可由1， 2， m1 ， 1 线性表示，所以 1， 2， m1 ， 1， 2 不一定线性相关；(C)不对，因为 2 不可由 1， 2， m 线性表示，而 1 可由 1， 2， m 线性
8、表示，所以 1 2 不可由 1， 2， m 线性表示，于是1， 2， m， 1 2 线性无关，选(D)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 若 AXb 有无穷多个解，则 r(A)r(A)n，从而 r(A)n，故方程组 AX0 一定有非零解，选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 A 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数，(A)不对；若 A 为正定矩阵，则 A 一定是满秩矩阵，但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件义是必要条件【知识模块】 线性代
9、数6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A，B 的特征值为2，1，1，所以 AB2，又因为 r(A)r(B)3，所以 A，B 等价，但 A，B 不一定相似或合同，选(B)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 12【试题解析】 由(A 12A 2，2A 23A 3，3A 32A 1)(A 1，A 2，A 1)得A 12A 2，2A 23A 3，3A 32A 1【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 2【试题解析】 2A 1 2 3A 1 2【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 P 1 E 23，因为 Eij1
10、，所以 Eij2E，于是 P12009P21 P 1P21 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 C(A k1，A k2，A ki，A kn)T(C 为任意常数 )【试题解析】 因为A0，所以 r(A)n 又因为 Aki0所以 r(A*)1从而r(A)n1 AX0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，又AA*AEO所以 A*的列向量为方程组 AX0 的解向量，故 AX0 的通解为 C(Ak1，A k2，A ki，A kn)T(C 为任意常数)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 因为 A 可逆，所以 00，A *对应的特征值为 ，于是(A *)23A *2E 对应的特征值
11、为 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x1，x 2，x 3)x 124x 224x 1x24x 2x3，所以 A 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 C【试题解析】 由 11 ， 20， 31 得A0，则 r(A)3，即 A 不可逆，(A)正确；又 1 2 3tr(A)0，所以(B)正确；因为 A 的三个特征值都为单值，所以 A 的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等，即 r(A)2，从而 AX0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的； (C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C)【知识模
12、块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 AXA2X 得(A2E)X A，其中 A2E 因为A2E 10，所以 X(A2E) 1 A，【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 E kA k(EA)(E AA 2+A k1 )，又 EkA kE ， 所以(EA) 1 EAA 2A k1 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 令 k1( 1)k m( m)0，即 k1(2 3 m)k m(1 2 m1 )0 或(k 2k 3k m)1(k 1k 3k m)2 (k 1 k2k m1 )m0，因为 1， m 线性无关，所以 因为(1) m1 (m1)
13、0，所以 k1k m0，故 1， m 线性无关【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 因为向量组 1， 2， m， 1， 2， n 线性无关， 所以向量组 1， 2， ， m 也线性 无关，又向量组 1， 2， m， 线性相关，所以向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示， 从而 可由向量组1， 2， m， 1， 2， n 线性表示【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 1， 2， 4 为一个极大线性无关组，3 31 2， 52 1 2【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)因为 r(A)n1，又 b 1 2 n，所以 r n1，即 r(A)r n1n，所以方程组 AXb 有无穷
14、多个解(2)因为1 22 (n1) n1 0，所以 12 2(n1) n1 0 n0，即齐次线性方程组 AX0 有基础解系 (1 ，2，n1， 0)T，又因为 b 1 2 n，所以方程组 AXb 有特解 (1，1，1) T，故方程组 AXb 的通解为kk(1 ，2，n1，0) T(1，1，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由E A ( 2) 30 得 2(三重)，因为 r(2EA)1，所以 2 只有两个线性无关的特征向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由 An( T)( T)2 n1 得 6EA n6 2(62 n)【知识模块】
15、 线性代数23 【正确答案】 因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有121k0 18 对应的特征向量为 1 令 2 32 对应的另一个特征向量为 3 ，由不同特征值对应的特征向量正交，得 x1x 2x 30【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 令 A 0，即 解得 04，x10，y9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)x 122x 1x22x 1x34x 3x3(x 1x 2x 3)2(x 2x 3)24x 32，【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)由 A22AO 得 r(A)r(2E)3，从而 A 的特征值为 0 或2，因为 A 是实对称矩阵且 r(A)2，所以 10， 2 32 (2)A kE 的特征值为 k，k2，k2，当 k2 时，AkE 为正定矩阵【知识模块】 线性代数
