1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 110 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且A2，B6，则 为( )（A）24（B） 24（C） 48（D）482 设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，BAC，且 r(A)r，r(B)r 1，则( )（A）rr 1（B） rr 1（C） rr1（D）r 与 r1 的关系依矩阵 C 的情况而定3 若 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性无关，则( )（A） 1 可由 2， 3 线性表示（B） 4 可由 1， 2， 3 线性表示（C） 4 可由 1， 3 线性表示（
2、D） 4 可由 1， 2 线性表示4 设向量组() ： 1， 2， ， 5 的秩为 r1，向量组()： 1， 2， s 的秩为r2，且向量组( )可由向量组( )线性表示，则( )（A） 1 1， 2 2， S S 的秩为 r1r 2（B）向量组 1 1， 2 2， S S 的秩为 r1r 2（C）向量组 1， 2， S， 1， 2， S 的秩为 r1r 2（D）向量组 1， 2， ， S， 1， 2， S 的秩为 r15 设 1， 2 为齐次线性方程组 AX0 的基础解系， 1， 2 为非齐次线性方程组AXb 的两个不同解，则方程组 AXb 的通解为( )（A）k 11k 2(1 2)（B）
3、 k11k 2(1 2)（C） k11k 2(1 2)（D）k 11k 2(1 2)6 设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 APB，则( )（A）A，B 合同（B） A，N 相似（C）方程组 AX0 与 BX=0 同解（D）r(A)r(B)二、填空题7 设 f(x) ，则 x2 项的系数为_8 A ，且 n2，则 An2A n1 9 设 A ，则 A1 _10 设三阶矩阵 A，B 满足关系 A1 BA6ABA，且 A ，则 B_11 设 A( 1， 2， 3， 4)为 4 阶方阵，且 AX0 的通解为 Xk(1，1，2，3)T，则 2 由 1， 3， 4 表示的表达式为_1
4、2 设方程组 无解，则 a_13 设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 13， 235，且 13 对应的线性无关的特征向量为 1 ，则 235 对应的线性无关的特征向量为_14 设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A T，则 A 的线性无关特征向量个数为( )三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 D (1)计算 D；(2) 求 M31M 33M 3416 设 B 求 B1 17 证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一18 20n 维列向量组 1， n1 线性无关，且与非零向量 正交证明：1， ， n 1， 线性无关19 求方程组 的通解20 四元非齐次线性方程组 AX
5、b 有三个解向量 1， 1， 1 且 r(A)3，设1 2 ， 2 3 ，求方程组 AXb 的通解21 设向量组 1， 2， 5 为齐次线性方程组 AX0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY0 只有零解，其中 B(， 1， 5)22 设 X1，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1， 2 的特征向量证明：X 1X 2 不是A 的特征向量23 设 为 n 维非零列向量，AE (1)证明：A 可逆并求 A1 ；(2)证明： 为矩阵 A 的特征向量24 设 A 有三个线性无关的特征向量，求 x， y 满足的条件25 设 A 有三个线性无关的特征向量(1)求 a； (2)求 A 的特征向
6、量； (3)求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角阵26 设二次型 f(x1，x 2，x 3)(a 1)x 12(a1)x 222x 322x 1x2。(a 0) 的秩为 2 (1)求 a； (2)用正交变换法化二次型为标准形考研数学三（线性代数）模拟试卷 110 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r1r(B)r(AC)r(A) r，所以选(C)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 2， 2， 4 线性无关，所以 2， 3 线性无关，又
7、因为 1， 2， 3 线性相关，所以 1 可由 2， 3 线性表示，选(A) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 因为向量组 1， 2， s 可由向量组 1， 2， s 线性表示，所以向量组 1， 2， s 与向量组 1， 2， s， 1， 2， s 等价，选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 选(D) ，因为 1， 1 2 为方程组 AX0 的两个线性无关解，也是基础解系，而 为方程组 AXB 的一个特解，根据非齐次线性方程组通解结构，选(D)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 P 可逆，所以 r(A)r(B)，选(D)
8、 【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 23【试题解析】 按行列式的定义，f(x)的 3 次项和 2 次项都产生于(x2)(2x3)(3x1)，且该项带正号，所以 x2 项的系数为 23【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 O【试题解析】 由 A22A 得 An2 n1 A，A n1 2 n2 A，所以 An2A n1 O 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 由 A1 BA6ABA，得 A1 B6EB，于是(A 1 E)B6E，B6(A 1 E) T 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 2 12 33
9、 4【试题解析】 因为(1，1，2，3) T 为 AX0 的解， 所以 1 22 33 40，故 2 12 33 4【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1【试题解析】 因为方程组无解，所以 r(A) 3，于是 r(A)3，即A0由A32aa 20，得 a1 或 a3当 a3 时，因为r(A)r 23，所以方程组有无穷多个解；当 a1 时， ，因为r(A)r ，所以方程组无解，于是 a1【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令 2 35 对应的特征向量为 得 2 35 对应的线性无关的特征向量为 【知识模块】 线性代数14 【正
10、确答案】 C【试题解析】 因为 ， 为非零向量，所以 A TO，则 r(A)1， 又因为 r(A)r( T)r()1，所以 r(A)1 令 AXX，由 A2X T TX0 2X 得0， 因为 r(0EA)r(A)1，所以 A 的线性无关的特征向量个数为 3，选(C)【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 设存在可逆阵 B，C，使得 AB ACE ，于是 A(BC)一 0，故r(A)r(BC)n，因为 A 可逆，所以 r(A)n，从而 r(BC)0，BC0，于是
11、BC，即 A 的逆矩阵是唯一的【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 令 k0 k11k n1 n1 0，由 1， n1 与非零向量 正交 及(，k 0，k 11k n1 n1 )0 得 k0(，)0，因为 为非零向量，所以( ， )0，于是 k00，故 k11k n1 n1 0，由 1， n1 线性无关得 k1k n1 0，于是 1， n1 ， 线性无关【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 原方程组的同解方程组为 故原方程组的通解为 (其中x3，x 4，x 5 为任意常数)【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为 r(A)3，所以方程组 AXb 的通解形式为 k，其中 为 AX0
12、 的一个基础解系， 为方程组 AXb 的特解，根据方程组解的结构的性质，( 2 3)( 1 2) 3 1 所以方程组 AXb 的通解为 k (k 为任意常数)【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 1， 2， s 线性无关，因为 A0，所以， 1， s 线性无关， 故方程组 BY0 只有零解【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 反证法 不妨设 X1X 2 是 A 的属于特征值 的特征向量，则有A(X1X 2) (X1X 2)， 因为 AX1 1，AX 2 2X2，所以( 1)X 1( 2)X20， 而 X1，X 2 线性无关，于是 1 2，矛盾，故 X1X 2 不是 A 的特征向量【知识
13、模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)因为 所以 A 可逆且 A1 A(2)因为A 2，所以 是矩阵 A 的特征向量，其对应的特征值为 1【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由E A ( 1)( 1) 2 得 11， 2 31，因为A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，所以 r(EA) 1，由 EA得 xy0【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)由EA (2)(1) 20 得矩阵 A 的特征值为12， 2 31，因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以相似对角化，从而 r(EA)1，由 EA (2)将 2 代入 (EA)X0，即(2EA)X0，由 2EA 2 对应的线性无关的特征向量为 1 将 1 代入(EA)X0，即(E A)X0，由 EA 1 对应的线性无关的特征向量为 2【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)A 因为二次型的秩为 2，所以 r(A)2，从而 a2(2)A 由EA0 得 1 22， 30当 2 时，由(2EA)X0 得2 对应的线性无关的特征向量为 当 0 时，由(0E A)X0 得 0 对应的线性无关的特征向量为 因为 1， 2 两两正交，单位化得 ， 【知识模块】 线性代数
