1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且A=2，B=6，则为( ) （A）24（B）一 24（C） 48（D）一 482 设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且E+A=0，则2E+A 2为( )（A）0（B） 54（C）一 2（D）一 24二、填空题3 设 f(x)= ，则 x2 项的系数为 _4 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，A的第二行元素的代数余子式分别为 a+1，a 一 2，a 一 1，则 a=_5 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩
2、阵，且A=a ，B=b，则=_6 设 A=(1， 2， 3)为三阶矩阵，且A=3 ，则 1+22， 2 一33， 3+21=_7 设三阶矩阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ， 1， 2 是三维列向量，且A=3，B =4，则5A 一 2B=_8 设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A *)*1=_(用 A*表示)9 设 =(1，一 1，2) T，=(2，1，1) T，A= T，则 An=_10 A= ，且 n2，则 An 一 2An1=_11 设 A= ，则(A+3E) 1(A2 一 9E)=_12 A2 一 B2=(A+B)(AB)的充分必要条件是_13 设 A 为三阶
3、矩阵，且A=4，则 =_14 设 A 为三阶矩阵，且A=4，则 =_15 设 A 为四阶矩阵，A *=8，则 =_16 设 A 为三阶矩阵，且A=3，则( 一 2A)*=_17 设 A= ，则 A1=_18 设 A= ，则 A1=_19 设 A= ，则 (A*)1=_20 设 A= ，则(A 一 2E)1=_21 设 n 阶矩阵 A 满足 A2+A=3E，则(A 一 3E)1=_22 设23 设 n 维列向量 =(，0，0，) T，其中 a 0，又 A=E 一 T，B=E+ T，且 B 为 A 的逆矩阵，则 a=_24 设三阶矩阵 A，B 满足关系 A1BA=6A+BA，且 A= ，则B=_2
4、5 设 A 是 43 矩阵且 r(A)=2，B= ，则 r(AB)=_26 设 A= ，B 为三阶非零矩阵，且 AB=0，则 r(A)=_27 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。28 计算行列式29 计算 D=30 证明：D=31 设 D= (1) 计算 D；(2)求 M31+M33+M34考研数学三（线性代数）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 ，选 D【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 的每行元素之和为 4，所以 A 有特征值 4，又E+A=0，所以 A
5、有特征值一 1，于是 2E+A2 的特征值为 18，3，于是2E+A 2=54 ，选B【知识模块】 线性代数二、填空题3 【正确答案】 23【试题解析】 按行列式的定义，f(x)的 3 次项和 2 次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以 x2 项的系数为 23【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 1【试题解析】 由(a+1)+2(a 一 2)+3(a 一 1)=0 得 a=1【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 (1) mnab【试题解析】 将 B 的第一行元素分别与 A 的行对调 m 次，然后将 B 的第二行分别与 A 的行对调 m 次，如此下去直到 B 的最
6、后一行与 A 的行对调 m 次，则【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 33【试题解析】 1+22， 2 一 33， 3+21 = 1， 233， 3+21+2 2， 233， 3+21 = 1， 233， 3+2 2，一33， 3+21 = 1， 2， 3一 6 2， 3， 3+21= 1， 2， 3一6 2， 3，2 1 = 1， 2， 36 2， 3， 3+ 21= 1， 2， 36 2， 3，2 1 = 1， 2， 3一 12 2， 3， 1= 1， 2， 3一12 1， 2， 3=一 33【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 63【试题解析】 由 5A 一 2B=(5，5 1，5
7、 2)一(2，2 1，2 2)=(5 一 2，3 1，3 2)，得 5A 一 2B= 5 一 2，3 1，3 2=95 一 2， 1， 2 =9(5， 1， 2一 2 ， 1， 2)=63【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 由 A*=AA 1 得 (A *)*=A *(A *)1=A n1(AA 1)1= A n2A，故(A *)*1=【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 T=3，A 2=T T=3T=3A，则 An=3n1A=3n1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 O【试题解析】 由 A2=2A 得 An=2n1，A n1=2n2A，所以 An 一
8、2An1=0【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 (a+3E) 1(A2 一 9E)=(A+3E)1(A+3E)(A 一 3E)=A 一 3E=【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 AB=BA【试题解析】 A 2 一 B2=(A+B)(AB)一 A2+BAABB2 的充分必要条件是AB=BA【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 2【试题解析】 =2A 1=2 3A=2【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 由 A*=AA 1=4A1 得【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 8【试题解析】 因为 A 为四阶矩阵，且A *=8，所以 A*=A 3=8，
9、于是A=2 又 AA*=AE=2E，所以 A*=2A1，故 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 576【试题解析】 因为(一 2A)*=(一 2)2A*=4A*所以 (2A)*= 4A*=4 3A 2=649=576【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【试题解析】 A=10，因为 A*=AA 1，所以 A*=10A1，故【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 【试题解析】 由 A2+A=3E，得 A2+A 一 3E
10、=0，(A 一 3E)(A+4E)=一 9E， 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 【试题解析】 令 A=(1， 2， 3)，因为A=2，所以 A*A=AE=2E，【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 【试题解析】 由 A1BA=6A+BA，得 A1B=6E+B，于是(A 1 一 E)B=6E，B=6(A 1 一 E)1=【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 2【试题解析】 因为B=100，所以 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 2【试题解析】 因为 AB=0，所以 r(A)+r(B)3，又因为 B0，所以 r(B)1，从而有r(A)2，显然 A 有两行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)=2【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。28 【正确答案】 【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 【知识模块】 线性代数
