1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 109 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题中 如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A1=B； 如果 n 阶矩阵 A，B 满足（AB） 2=E，则（BA ） 2=E； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A+B必不可逆； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆。 正确的是（ ）（A）（B） （C） （D）2 设 那么（P 1）2010A（Q 2011） 1=（ ）3 向量组 1=（1，3，5，一 1） T， 2=（2，一 1，一 3，4） T， 3=（6，4，4，6）T， 4=（7
2、，7，9，1） T， 5=（3，2，2，3） T 的极大线性无关组是（ ）（A） 1， 2， 5（B） 1， 3， 5（C） 2， 3， 4（D） 3， 4， 54 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组（AB）x=0（ ）（A）当 nm 时，仅有零解（B）当 nm 时，必有非零解（C）当 mn 时，仅有零解（D）当 mn 时，必有非零解5 设 1， 2， 3， 4 是四维非零列向量组， A=（ 1， 2， 3， 4），A *为 A 的伴随矩阵。已知方程组 Ax=0 的基础解系为 k（1，0， 2，0） T，则 A*x=0 的基础解系为（ ）（A） 1， 2， 3（B） 1+
3、2， 2+3， 1+3（C） 2， 3， 4（D） 1+2， 2+3， 3+4， 4+16 三阶矩阵 A 的特征值全为零，则必有（ ）（A）秩 r（A）=0（B）秩 r（A）=1（C）秩 r（A）=2（D）条件不足，不能确定7 设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则（ ）（A）E 一 A=EB（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 和 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tE 一 A 与 tE 一 B 相似8 下列矩阵中 A 与 B 合同的是（ ）二、填空题9 设 n 阶矩阵 ，则|A|=_。10 设 =（1，2，3） T，=（1， ，0） T，
4、A= T，则 A3=_。11 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= ，则 A=_。12 已知 且 AXA*=B，r（X ）=2，则a=_。13 如果 =（1，2，t） T 可以由 1=（2，1，1） T， 2=（一 1，2，7） T， 3=（1，一 1，一 4） T 线性表示，则 t 的值是_。14 已知线性方程组 无解，则 a=_。15 设 A 是秩为 3 的 54 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，如果 1+2+23=（ 2，0，0，0） T，3 1+2=（2，4，6，8） T，则方程组Ax=b 的通解是_。16 已知矩阵 的特征值的和为 3，特征值的乘积是一
5、 24，则b=_。17 若三维列向量 ， 满足 T=2，其中 T 为 的转置，则矩阵 T 的非零特征值为_。18 二次型 f（x 1，x 2，x 3）=（a 1x1+a2x2+a3x3）（b 1x1+b2x2+b3x3）的矩阵为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 n 阶矩阵 证明：行列式|A|=（n+1）a n。20 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= 且 ABA1=BA1+3E，其中 E 为四阶单位矩阵，求矩阵 B。21 设 A 为 n 阶矩阵（n2），A *为 A 的伴随矩阵，证明22 设向量组（）：b 1，b r，能由向量组（）： 1， s 线性表示为（b 1，b
6、 r）=（ 1， s）K，其中 K 为 sr 矩阵，且向量组（）线性无关。证明向量组（）线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 r（K）=r。23 设线性方程组 已知（1，一 1，1，一 1） T 是该方程组的一个解，求方程组所有的解。24 设四元齐次线性方程组 求：（）方程组（1）与（2）的基础解系；（）（1）与（2）的公共解。25 已知 是 n 阶矩阵，求 A 的特征值、特征向量，并求可逆矩阵 P 使 P1AP=。26 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的三维列向量，且满足A1=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+33。 （ ）求矩阵 A 的特征值； （）求可逆矩阵
7、P 使得 P1AP=。27 已知矩阵 有特征值 =5，求 a 的值；当 a0 时，求正交矩阵 Q，使 Q1AQ=。28 设二次型 f=x12+x22+x32 一 4x1x24x1x3+2ax2x3 经正交变换化为 3y12+3y22+6y32，求 a，b 的值及所用正交变换。29 设二次型 f（x 1，x 2，x 3）=ax 12+ax22+（a1）x 32+2x1x32x2x3。 （）求二次型 f 的矩阵的所有特征值； （）若二次型 f 的规范形为 yx12+y22，求 a 的值。考研数学三（线性代数）模拟试卷 109 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
8、1 【正确答案】 D【试题解析】 如果 A、B 均为 n 阶矩阵，命题 当然正确，但是题中没有 n 阶矩阵这一条件，故不正确。例如 显然 A 不可逆。若 A、B 为 n 阶矩阵，（AB ） 2=E，即（AB）（AB）=E ，则可知 A、B 均可逆，于是 ABA=B1，从而 BABA=E，即（BA） 2=E。因此正确。若设显然 A、B 都不可逆，但 A+B= 可逆，可知不正确。由于 A、B 为均 n 阶不可逆矩阵，知|A|=|B|=0，且结合行列式乘法公式，有|AB|=|A|B|=0，故 AB 必不可逆。因此正确。所以应选 D。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 P、Q 均为
9、初等矩阵，因为 p1=P，且 P 左乘 A 相当于互换矩阵 A的第一、三两行，所以 P2010。A 表示把 A 的第一、三行互换 2010 次，从而（P 1） 2010A=P2010A=A。又（Q 2011） 1=（Q 1） 2011，且 Q1= 而 Q1 右乘A 相当于把矩阵 A 的第二列上各元素加到第一列相应元素上去，所以 A（Q 1）2011 表示把矩阵 A 第二列的各元素 2011 倍加到第一列相应元素上去，所以应选B。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 对向量组构成的矩阵作初等行变换，有（ 1， 2， 3， 4， 5）可见秩r（ 1， 2， 3， 4， 5）=3。
10、又因为三阶子式 所以 2， 3， 4是极大线性无关组，所以应选 C。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AB 是 m 阶矩阵，且 r（AB）minr （A ），r （B）minm，n，所以当 mn 时，必有 r（AB） m，根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，选项 D 正确。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 方程组 Ax=0 的基础解系只含一个解向量，所以四阶方阵 A 的秩r（A）=41=3，则其伴随矩阵 A*的秩 r（A *）=1，于是方程组 A*x=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量。 又 A*（ 1， 2， 3， 4）=A *A
11、=|A|E=O，所以向量 1， 2， 3， 4 都是方程组 A*x=0 的解。将（1，0，2，0） T 代入方程组 Ax=0可得 1+23=0，这说明 1 可由向量组 2， 3， 4 线性表出，而向量组1， 2， 3， 4 的秩等于 3，所以向量组 2， 3， 4 必线性无关。所以选 C。 事实上，由 1+23=0 可知向量组 1， 2， 3 线性相关，选项 A 不正确；显然，选项 B中的向量都能被 1， 2， 3 线性表出，说明向量组 1+2， 2+3， 1+3 线性相关，选项 B 不正确；而选项 D 中的向量组含有四个向量，不是基础解系，所以选型 D也不正确。【知识模块】 线性代数6 【正
12、确答案】 D【试题解析】 考查下列矩阵 它们的特征值全是零，而秩分别为 0，1，2。所以仅由特征值全是零是不能确定矩阵的秩的。所以应选 D。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 因为由 A 与 B 相似不能推得 A=B，所以选项 A 不正确。相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选项 B 也不正确。对于选项 C，因为根据题设不能推知 A，B 是否相似于对角阵，故选项 C 也不正确。综上可知选项 D 正确。事实上，因 A 与 B 相似，故存在可逆矩阵 P，使 P 1AP=B， 于是 P 1（tEA）P=tE 一 P1AP=tE 一 B，
13、 可见对任意常数 f，矩阵 tE 一 A 与 tE 一 B 相似。所以应选 D。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 合同的定义：C TAC=B，矩阵 C 可逆。合同的必要条件是： r（A ）=r（B）且行列式|A|与|B|同号。A，B 合同的充要条件是：A 与 B 的正、负惯性指数相同；A 与 B 的正、负特征值的个数相同。A 选项的矩阵秩不相等。B 选项中行列式正、负号不同，故排除。C 选项中矩阵 A 的特征值为 1， 2，0，而矩阵 B的特征值为 1，3，0，所以二次型 xTAx 与 xTBx 有相同的正、负惯性指数，因此A 和 B 合同。而 D 选项中，A 的特征值为
14、 1，2，B 的特征值为一 1，一 2，一2，因此 xTAx 与 xTBx 正、负惯性指数不同，故不合同。所以选 C。【知识模块】 线性代数二、填空题9 【正确答案】 一 2（n 一 2）!【试题解析】 把第二行所有元素乘以一 1 加到其他各行所对应的元素上，再将第一行所有元素乘以 2 加到第二行相应的元素上，可得【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 A= T= 又因为T= =2，且矩阵的乘法满足结合律，所以 A3=（ T）（ T）（ T） =（ T）（ T） T=4T=4A=【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 由 AA*=|A|E 可得 A=|A|（A
15、*） 1，对等式两端去行列式并结合已知条件，可得| A*|=8=|A|3，因此|A|=2，又【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 0【试题解析】 根据 A 可逆可知，其伴随矩阵 A*也是可逆的，因此 r（AXA *）=r（X）=2=r（B），因此可得|B|=0，则【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 5【试题解析】 可以由向量组 1， 2， 3 线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组 x11+x22+x33=有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得而方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，因此 t 一 5=0，即 t=5。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 一
16、1【试题解析】 对线性方程组的增广矩阵作初等行变换得因为线性方程组无解，所以系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，所以 a=一 1。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 （ ，0，0，0） T+k（0，2，3，4） T，k 为任意常数【试题解析】 由于 r（A）=3，所以齐次方程组 Ax=0 的基础解系只含有 4 一r（A）=1 个解向量。又因为（ 1+2+23）一（3 1+2）=2 （ 3 一 1）= （0，一4，一 6，一 8） T 是 Ax=0 的解，所以其基础解系为（0，2，3，4） T，由A（ 1+2+23）=A 1+A2+2A3=4b，可知 （ 1+2+3）是方程组 Ax=b 的一个解
17、，根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通解是（ ，0，0，0）T+k（0，2，3，4） T，k 为任意常数。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 一 3【试题解析】 矩阵的所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，即 a+3+（一1）=3 ，所以 a=1。又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有 所以 b=一 3。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 2【试题解析】 因为 T=2，所以（ T）= （ T）=2，故 T 的非零特征值为2。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 f（x 1，x 2，x 3）=（a 3x1+a2x2+a3x3）（b 3x1+b
18、2x2+b3x3）所以原二次型矩阵为【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 数学归纳法。记 以下用数学归纳法证明 Dn=（n+1 ）a n。当 n=1 时，D 1=2a，结论成立。当 n=2 时，D2= =3a2，结论成立。假设结论对小于 n 的情况成立，将 Dn 按第一行展开，则有=2anan1 一a2（n 一 1）a n2=（n+1 ）a n，故|A|= （n+1）a n。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由 AA*=A*A=|A|E，知|A *|=|A|n1，因此有 8=|A*|=|A|3，于是|A|=2。在等式 ABA1=BA
19、1+3E 两边先右乘 A，再左乘 A*，得 2B=A*B+3A*A，即（2EA *）B=6E。于是【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 （1）当 r（A）=n 时，|A|0，则有|A *|=|A|n10，从而 A*可逆，即 r（A *）=n。 （2）当 r（A）=n 一 1 时，由矩阵秩的定义知，A 中至少有一个n 一 1 阶子式不为零，即 A*中至少有一个元素不为零，故 r（A *）1。 又因r（A） =n 一 1 时，有|A|=0，且由 AA*=|A|E 知 AA*=0。根据矩阵秩的性质得r（A） +r（A *）n， 把 r（A）=n 一 1 代入上式，得 r（A *）1。综上所述，有
20、r（A *） =1。 （3）当 r（A）n 一 2 时，A 的所有 n 一 1 阶子式都为零，也就是A*的任一元素均为零，即 A*=O，从而 r（A *）=0 。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 必要性：令 B=（b 1，b r），A=（a 1，a s），则有B=AK，由定理 r（B）=r（AK）minr （A），r （K ），结合向量组（）：b1，b 2，b r 线性无关知 r（B）=r ，故 r（K）r。又因为 K 为 rs 阶矩阵，则有r（K） minr，s。且由向量组（ ）：b 1，b 2，b r 能由向量组（）：1， 2， s 线性表示，则有 rs，即 minr，s=r。综上
21、所述 rr（K ）r，即r（K） =r。充分性：已知 r（K）=r ，向量组（）线性无关，r（A ）=s，因此 A的行最简矩阵为 ，存在可逆矩阵 P 使 于是有 PB=PAK=由矩阵秩的性质 r（B）=r（PB）= =r（K），即 r（B ）=r（K）=r，因此向量组（）线性无关。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 将（1，一 1，1，一 1） T 代入方程组可得 =。对增广矩阵作初等行变换，可得因为 r（ A）= =24，所以方程组有无穷多解，其通解为（ ，1，0，0）T+k1（1，一 3，1，0） T+k2（一 1，一 2，0，2） T，其中 k1，k 2 为任意常数。因r（A） =
22、r（A ）=34，所以方程组有无穷多解，其通解为（一 0，0，0，1）T+k（2，一 1，1，一 2） T，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 （）求方程组（1）的基础解系：对方程组（1）的系数矩阵作初等行变换 分别取 其基础解系可取为 求方程（2）的基础解系：对方程组（2）的系数矩阵作初等行变换 分别取 其基础解系可取为 （）设 x=（x 1，x 2，x 3，x 4） T 为（1）与（2）的公共解，用两种方法求 x 的一般表达式：x 是（1）与（2）的公共解，因此 z 是方程组（ 3）的解，方程组（ 3）为（1）与（2）合并的方程组，即其系数矩阵取其基础解系为（一
23、 1，1，2，1） T，于是（1）与（2）的公共解为 x=k（一 1，1，2，1）T， kR。将（1）的通解 x=（c 1，一 c1，c 2，一 c1） T 代入（2）得 c2=一 2c1，这表明（1）的解中所有形如（c 1，一 c1，一 2c1，一 c1） T 的解也是（2）的解，从而是（1）与（2）的公共解。因此（1）与（2）的公共解为 x=k（一 1，1，2，1）T， kR。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 A 的特征多项式为=（ 一 2n+1）（ 一 n+1） n1，则 A 的特征值为 1=2n 一 1， 2=n 一 1，其中2=n 一 1 为 n 一 1 重根。当 1=2n
24、一 1 时，解齐次方程组（ 1EA）x=0，对系数矩阵作初等变换，有得到基础解系1=（1，1，1） T。当 2=n 一 1 时，齐次方程组（ 2E 一 A）x=0 等价于x1+x2+xn=0，得到基础解系 2=（一 1，1，0，0） T， 3=（一1，0，1，0） T， n=（一 1，0，0， 1） T，则 A 的特征向量是 k11和 k22+k33+knn，其中 k10，k 2，k 3，k n 不同时为零。【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 （）由已知可得 A（ 1， 2， 3）=（ 1+2+3，2 2+3，2 2+33）=（ 1， 2， 3） 记 P1=（ 1， 2， 3），则有 A
25、P1=P1B。由于 1， 2， 3 线性无关，即矩阵 P1 可逆，所以P11AP1=B，因此矩阵 A 与 B 相似，则 =（一 1） 2（ 一 4），矩阵 B 的特征值是 1，1，4，故矩阵 A 的特征值为1，1，4。（）由（EB）x=0，得矩阵 B 对应于特征值 =1 的特征向量1=（一 1，1，0） T， 2=（一 2，0，1） T；由（4EB）x=0，得对应于特征值=4 的特征向量 3=（0，1，1） T。令 P2=（ 1， 2， 3）=P21P11AP1P2= 即当P=P1P2=（ 1， 2， 3） =（一 1+2，一 21+2+3）时，有【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因
26、A=5 是矩阵 A 的特征值，则由可得 a=2。当 a=2 时，矩阵 A 的特征多项式 矩阵 A 的特征值是 1，2，5。由（E 一 A）x=0 得基础解系 1=（0，1，一 1） T；由（2E A）x=0 得基础解系 2=（1，0，0） T；由（5E 一 A）x=0 得基础解系 3=（0，1，1）T。即矩阵 A 属于特征值 1，2，5 的特征向量分别是 1， 2， 3。由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化，则令 Q=（ 1， 2， 3）=【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 二次型及其标准形的矩阵分别是由于是用正交变换化为标准形，故 A 与 B不仅合同而且相似。由
27、 1+1+1=3+3+b 得 b=一 3。对 =3，则有=一 2（a+2） 2=0，因此 a=一 2（二重根）。由（3EA）x=0，得特征向量 1=（1，一 1，0） T， 2=（1，0，一 1） T。由（一 3E 一A）x=0，得特征向量 3=（1，1，1） T。因为 =3 是二重特征值，对 1， 2 正交化有 1=1=（1，一 1，0 ） T，令 C=（ 1， 2， 3）= 经正交交换 x=Cy，二次型化为 3y12+3y22 一3y32。【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 （）二次型的矩阵为所有特征值是 1=a， 2=a一 2， 3=a+1。（）若规范形为 y12+y22，说明有两个特征值为正，一个为 0。则由于 a2aa+1，所以 a2=0，即 a=2。【知识模块】 线性代数
