1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 77 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量(X，Y) 的概率密度 f(x，y)满足 f(x， y)=f(一 x，y)，且 XY 存在，则XY=( )（A）1（B） 0（C）一 1（D）一 1 或 12 设随机变量(X，Y) 服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1 ，1)，Y N(2 ，4) ，X 与 Y 的相关系数为 且概率 PaX+bY1= 则 ( )3 设 X 是随机变量，EX0 且 E(X2)=07，DX=02，则以下各式成立的是 ( )4 设 X1，X 2，X n 是取自总体 N(， 2)的样
2、本， 是样本均值，记则服从自由度为 n 一 1 的 t 分布的随机变量是 ( )5 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2， Xn 是取自总体的简单随机样本，样本均值为 ，样本方差为 S2，则服从 2(n)分布的随机变量为 ( )6 设总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0， 2)，已知 X1，X 2，X m 与Y1，Y 2，Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的两个相互独立的简单随机样本，统计量服从 t(n)分布，则 = ( )7 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2， Xn(n1)是取自总体的简单随机样本，样本均值为 如果 P|X 一 |a=（A）与 及
3、 n 都有关（B）与及 n 都无关（C）与 无关，与 n 有关（D）与 有关，与 n 无关8 设 X1，X 2，X 8 和 Y1，Y 2，Y 10 是分别来自正态总体 N(-1，4)和 N(2，5)的简单随机样本，且相互独立，S 12，S 22 分别为这两个样本的方差，则服从F(7，9)分布的统计量是 ( )9 设总体 XP()( 为未知参数)，X 1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值与方差分别为 与 S2，则为使 +(23a)S2 的期望为 ，常数 a 应为 ( )（A）一 1（B） 0（C）（D）1二、填空题10 一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概
4、率分别为010，020，030，设备部件状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，则 X 的方差 DX 为_11 设(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= 则 Cov(X，Y)=_12 若 X1，X 2，X 3 两两不相关，且 DXi=1(i=1，2，3)，则 D(X1+X2+X3)=_13 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立，且则 EX1(X1+X2 一 X3)为_14 设随机变量 X 与 Y 的分布律为 且相关系数 则(X，Y)的分布律为_15 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(0 ，3)，Y N(0 ，4) ，相关系数 则(X，Y)的概率密度 f(x，y)
5、=_16 设二维随机变量(X，Y)的分布律为 则 X 与 Y的协方差 Cov(X，Y)=_ 17 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 则随机变量 Z=XY 的方差 DZ=_18 设总体 X 和 Y 相互独立，且分别服从正态分布 N(0，4)和 N(0，7)，X1，X 2，X 8 和 Y1，Y 2，Y 14 是分别来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则统计量 的数学期望和方差分别为_19 设 X1，X 2 是来自总体 N(0， 2)的简单随机样本，则查表得概率约等于_20 设总体 XN(a，2)，Y N(b，2)，且独立，由分别来自总体 X 和 Y 容量分别为 m 和 n 的简单随机样本得样
6、本方差 SX2 和 SY2,则统计量 (m 一 1)Sx2+(n 一1)SY2服从的分布是_21 设总体 X 的概率密度为 f(x；)= 其中 0 为未知参数，又设x1，x 2，x n 是 X 的一组样本值，则参数 的最大似然估计值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 向半径为 r 的圆内随机抛一点，求此点到圆心的距离 X 的分布函数 F(x)，并求23 设随机变量 X 的概率密度为 求 X 的分布函数24 设随机变量 X 的概率密度为 求 Y=eX 的概率密度 fY(y)25 假设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，求随机变量 Y=1 一 e-X的概率密度fY(y)2
7、6 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= F(x)是 X 的分布函数，求随机变量 Y=F(X)的分布函数27 设某地区一年内发生有感地震的次数 X 和无感地震次数 Y 分别服从泊松分布P(1)和 P(2)， 1， 20，且 X 与 Y 相互独立 (1)求一年内共发生 n(n0)次地震的概率； (2)求在一年内发生了 n 次地震的条件下，有感次数 X 的条件概率分布28 设随机变量 X 与 Y 相互独立，概率密度分别为求随机变量 Z=2X+Y 的概率密度fZ(z)29 设随机变量(X，Y) 的概率密度为 求随机变量 Z=XY 的概率密度 fZ(z)30 设二次方程 x2Xx+Y=0 的两个根
8、相互独立，且都在(0，2)上服从均匀分布，分别求 X 与 Y 的概率密度31 设随机变量 X 与 Y 相互独立，都服从均匀分布 U(0，1)求 Z=|XY|的概率密度及32 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，且 Xi 服从参数为 i 的指数分布，其概率密度为 求 PX1=minX1，X 2，X n33 设随机变量(X，Y) 的概率密度为 求Z=X2+Y2 的概率密度 fZ(z)34 设随机变量(X，Y) 的概率密度为 求 Z=X+2Y 的分布函数 FZ(z)35 设随机变量 X 服从几何分布，其分布律为 PX=k=(1 一 p)k-1，0p1，k=1，2， 求 EX 与 DX36 在
9、独立的伯努利试验中，若 p 为一次试验中成功的概率以 X 记为第 r 次成功出现时的试验次数，则 X 是随机变量，取值为 r，r+1，称为负二项分布，记为 Nb(r，p)，其概率分布为： PX=k=Ck-1r-1pr(1-p)k-r，k=r，r+1， (1)记 Y1 表示首次成功的试验次数，Y 2 表示第 1 次成功后到第 2 次成功为止共进行的试验次数，证明 X=Y1+Y2Nb(2，p)； (2)设试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，独立重复试验直到成功两次为止，求试验次数的数学期望、方差37 设(X，Y)的概率密度为 求的数学期望38 对三台仪器进行检验，每台仪器产生故障的概率分别为 p1
10、，p 2，p 3，各台仪器是否产生故障相互独立，求产生故障的仪器台数 X 的数学期望和方差39 设连续型随机变量 X 的所有可能取值在区间a，b之内，证明：(1)aEXb；(2)40 一商店经销某种商品，每周进货量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间10，20上的均匀分布商店每售出一单位商品可得利润 1000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润 500 元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值41 设 X，Y，Z 是三个两两不相关的随机变量，数学期望全为零，方差都是 1，求Xy 和 yZ 的相关系数42 设二维随机
11、变量(X，y)的概率密度为 求：(1)方差 D(XY)； (2)协方差 Cov(3X+Y，X 一 2Y)43 若随机变量序列 X1，X 2，X n 满足条件 证明：X n服从大数定律考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 77 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 E(XY)= -+ydy-+xf(x，y)dx -+ydy-+(一 t)f(-t,y)dt =-+ydy-+(一 t)f(t，y)dt=一 -+ydy-+xf(x，y)dx= 一 E(XY)，所以 E(XY)=0 同理，EX= -+x-+(x，y)dydx=0 ，所
12、以 XY=0【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，则 aX+bY 服从一维正态分布，又EX=1，EY=2，则 E(aX+bY)=a+2b，于是显然，只有当 1 一(a+2b)=0 时， PaX+bY1= 才成立，只有选项(D)满足此条件【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 于是由切比雪夫不等式知因此本题选(C)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 由于总体 XN(， 2)，所以 2(2(n-1)，又 与 S2 独立，由 2
13、 分布的可加性，现只需确定服从 2(1)的随机变量因为 2(1)，选择 D.【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 应用 t 分布的典型模式由于 N(0，1)，而 N(0 ，1) ，且相互独立，所以 2(n)，U 与 V 相互独立，由 t 分布的典型模式知 由题意知【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 由题设有，XN(， 2)， 因此所以与 无关，与 n 有关【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 由 因此本题选 D.【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 由于=EX=， E(S2)=DX=，将它
14、们代入得 a+(23a)=，即 因此本题选(C)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题10 【正确答案】 046【试题解析】 X 的全部可能取值为 0，1，2，3，且 PX=0=(1010)(1 020)(1030)=0504， PX=1=(1010)(1 020)030+(1010)(1030)020+ (1020)(1030)010=0398， PX=2=(1010)0 20030+(1 020)0100 30+(1030)0 100 20 =0092 PX=3=010020030=0 006 所以 EX=00504+10398+20092+30006=0 6， E(X 2)=020 5
15、04+120398+2 20092+3 20006=0 82 DX=E(X 2)一(EX) 2=082一(0 6)2=046【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 0【试题解析】 由于 D：0|y|x1 是由 y=一 x，y=x，x=1 三条线围成的，且关于 z轴对称，所以 故 Cov(X，Y)=E(XY)一EXEY=0【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 3【试题解析】 因为 X1，X 2，X 3 两两不相关，所以 Cov(Xi，X j)=0(ij)，于是 D(X1+X2+X3)=D(X1+X2)+X3 =D(X1+X2)+DX3+2Cov(X1+X2，X 3) =DX
16、1+DX2+DX3+2Cov(X1，X 2)+2Cov(X1，X 3)+2CovCX2，X 3) =DX1+DX2+DX3=3【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 EX 1(X1+X2-X3)=E(X12+X1X2 一 X1X3)=E(X12)+EX1EX2 一EX1EX3=DX1+(EX1)2+EX1EX2 一 EX1EX3【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 设(X，Y) 的分布律为 (X，Y) 的边缘分布律也表示于表中)则 E(XY)=p11,从而有由此得所以(X，Y)的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解
17、析】 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 X 与 Y 的边缘分布律分别为【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 DZ=DX+DY 一 2Cov(X，Y) =DX+DY 一 2E(XY)+2EXEY， 其中D=(x，y)|0x1，0yx如图 38 阴影部分所示 关于 X 的边缘概率密度为关于 Y 的边缘概率密度为将， ，式代入式得【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 Z2 2(1)于是【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 09【试题解析】 (X 1，X 2)服从二维正态分布，所以(X 1+X2，X 1 一
18、X2)也服从二维正态分布，并且由 X1+X2N(0，2 2)，X 1 一 X2N(0，2 2)知，Cov(X 1+X2，X 1 一 X2)=DX1 一 DX2=0，即 X1+X2 与 X1 一 X2 相互独立此外，所以，【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 2(m+n 一 2)【试题解析】 因为由题设条件知，T1 和 T2 分别服从自由度为 m-1 和 2 一 1 的 2 分布且相互独立，所以 T 服从自由度为(m1)+(n 一 1)=m+n2 的 2 分布【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 似然函数为 L(x1，x 2，x n；)= (0x i1，0，
19、i=1，2，n)，取对数得【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 如图 39 所示，F(x)=PXx= ，0xr，所以【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 f(x)的图形如图 310 所示，则 X 的分布函数为 F(x)=-xf(u)du【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 用分布函数法设 Y 的分布函数为 FY(y)，则【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 由题设条件知，X 的概率密度与分布函数分别为所以当 y0 时，F Y(y)=PYy=P1一 e-Xy=0，f Y(y)=0； 当 0y1 时，
20、 F Y(y)=PYy=P1 一 e-XyfY(y)=1；当 y1时，F Y(y)=PYy=P1 一 e-Xy=1，f Y(y)=0从而可得 即随机变量 Y=1 一 e-X服从区间(0，1)上的均匀分布【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 对 X 的概率密度积分得 X 的分布函数设 G(y)是 Y=F(X)的分布函数 当 y0 时，G(y)=PYy=PF(X)y=0； 当 y1 时，G(y)=PYy=PF(X)y=1； 当 0y1 时，G(y)=PYy=PF(X)y= =PX(y+1)3=F(y+1)3=y，或 G(y)=PX(y+1)3= 于是，Y=F(X) 的分布函数为即 Y=
21、F(X)服从区间0 ，1上的均匀分布【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 实际上，XP( 1)，YP( 2)，X，Y 相互独立，则 X+YP( 1+2) (2)当 0kn 时，k=0，1 ，2， ，n实际上，如果令 则 Px=k|X+Y=n=Cnkk(1 一 )n-k，即服从 B(n，)分布【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 本题可以按以下公式先算出 Z 的分布函数 FZ(z)：F Z(z)= fX(x)fY(y)dxdy(其中 Dz=(x，y)|2x+yz) ，然后对 FZ(z)求导算出 fZ(z)，但较麻烦 记U=2X，则由随机变量函数的概率密度计算公式得 于是，
22、Z=2X+Y=U+Y(其中 U 与 Y 相互独立)的概率密度 f ZZ(z)=-+fU(u)fY(z 一 u)du由于 fU(u)fY(z 一 u)= 即 fU(u)fY(z 一 u)仅在 Dz=(u，z)|0u2，zu0( 如图 3 一 11 的阴影部分)上取值 在 uOz 平面的其他部分都取值为 0，所以当 z 0 时，f Z(z)=-+fU(u)fY(zu)du=-+0du=0;当 0z2 时，fZ(z)=-+fU(u)fY(zu)du= 当 z2 时，fZ(z)=-+fU(u)fY(z-u)du= 由此得到【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 记 V=一 Y，由于 X，Y
23、不是相互独立的，所以(X，V) 的概率密度不易计算应先计算 Z 的分布函数，再计算概率密度 fZ(z) 记 Z 的分布函数为FZ(z)，则 FZ(z)=PZz=PXYz= 其中 Dz=(x，y)|x yz(直线 x一 y=z 的上方部分) ，由 Dz 与 D=(x，y)|0x1， 0yx( 如图 312 的阴影部分)的相对位置可得：当 z0 时，D z 与 D 不相交，所以 当0z1 时，D zD=四边形 OABC，由此得到【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 设二次方程的两个根为 X1，X 2，则它们的概率密度都为 f(x)=记 X 的概率密度为 fX(x)，则由 X=X1+X2
24、 得 fX(x)=-+f(t)f(x-t)dt，其中 f(t)f(x 一 t)= 即 f(t)f(x 一 t)仅在如图 313 所示的带阴影的平行四边形中取值为 在 tOx 平面的其余部分取值为 0因此， 当 x0 或x4 时，f X(x)=0；当 0x2 时，f X(x)= 当 2x4 时，f X(x)=记 Y 的概率密度为 fY(y)，则由 Y=X1X2 得 在如图 314 所示阴影部分中取值为 在 tOy 平面的其余部分取值都为 0因此， 当 y0 或 y4 时，f Y(y)=0； 当 0y4 时，【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 U=XY 的概率密度为 f U(u)=-
25、+fX(u+y)fY(y)dy=01fX(u+y)dy当u一 1 或 u1 时，f U(u)=0；当一 1u0 时，f U(u)=01fX(u+y)dy=-u11dy=1+u；当0u1 时，f U(u)=01fX(u+y)dy=01-u1dy=1 一 u即 所以，Z=|XY|=|U|的概率密度为 fZ(z)=fU(z)+fU(一 z)= 从而【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 PX 1=minX1，X 2，X n)=PX1minX2，X 3，X n，记Y=minX2，X 3，X n，则有(X1，Y) 的概率密度为 f(x，y)=f 1(x)fY(y)【知识模块】 概率论与数理统计
26、33 【正确答案】 设 Z 的分布函数为 FZ(z)，则【知识模块】 概率论与数理统计34 【正确答案】 概率密度非零区域与 x+2yz 的关系如图 315 所示，【知识模块】 概率论与数理统计35 【正确答案】 其中 q=1 一 p所以DX=E(X2)一(EX) 2=【知识模块】 概率论与数理统计36 【正确答案】 (1)Y 1 表示 “首次成功的试验次数”，则 Y1 服从参数为 p 的几何分布，取值 1，2，Y 2 表示“第 1 次成功后到第 2 次成功为止共进行的试验次数”，则 Y2 也服从参数为 p 的几何分布，取值为 1，2， ，即 Y1，Y 2 独立同分布于 PY1=k=(1 一
27、p)p-1.p，k=1，2，则 X=Y1+Y2 为第 2 次成功出现时的试验次数，取值为 2，3，故=(k一 1)p2(1 一 p)k-2=Ck-11p2(1 一 p)k-2，则 X=Y 1+Y2 Nb(2，p)(2)令 ，Yi(i=1，2)服从参数为 的几何分布且相互独立，重复试验直到成功两次为止的试验次数 X=Y1+Y2，所以 EX=E(Y1+Y2)=EY1+EY2= DX=D(Y1+Y2)=DY1+DY2=【知识模块】 概率论与数理统计37 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计38 【正确答案】 设 Xi= i=1，2，3X i 的分布律如下：，i=1，2，3于是 EXi=pi，
28、DX i=pi(1 一 pi)，i=1，2 ，3故 EX= =p1+p2+p3，DX= =p1(1 一 p1)+p2(1 一 p2)+p3(1 一p3)【知识模块】 概率论与数理统计39 【正确答案】 (1)因为 aXb，所以 EaEXEb，即 aEXb(2)因为对于任意的常数 C，有 DXE(X C)2，【知识模块】 概率论与数理统计40 【正确答案】 设 T 为一周内所得利润，则ET=Eg(X，Y)=-+-+g(x，y)f(x，y)dxdy，其中【知识模块】 概率论与数理统计41 【正确答案】 Cov(XY，YZ)=Cov(X，Y)一 Cov(X，Z)一 Cov(Y，Y)+Cov(Y，Z)=一 DY=一 1， D(X Y)=D(YZ)=2所以 XY 与 YZ 的相关系数为【知识模块】 概率论与数理统计42 【正确答案】 (1)D(XY)=E(X 2Y2)一E(XY) 2，(2)Cov(3X+Y，X 一 2Y)=3DX 一 5Cov(X，Y)一 2DY=3DX 一 5E(XY)+5EXEY 一2DY(X，Y)关于 X 的边缘概率密度同理可得，EY=EX ，DY=DX 于是 Cov(3X+Y ，X 一 2Y)=【知识模块】 概率论与数理统计43 【正确答案】 由切比雪夫不等式，对任意的 0 有所以对任意的 0，故X n服从大数定律【知识模块】 概率论与数理统计
