1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 75 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知随机变量(X 1，X 2)的概率密度为 f1(x1，x 2)，设 Y1=2X1， 则随机变量(Y 1，Y 2)的概率密度 f2(y1，y 2)= ( )2 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，则 ( )（A）(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量（B） Z=X+Y 是服从均匀分布的随机变量（C） Z=XY 是服从均匀分布的随机变量（D）Z=X 2 是服从均匀分布的随机变量3 现有 10 张奖券，其中 8 张为 2 元的，2 张为 5 元的今从
2、中任取 3 张，则奖金的数学期望为 ( )（A）6（B） 78（C） 9（D）1124 设 X1，X 2，X 3 相互独立，且均服从参数为 的泊松分布，令 (X1+X2+X3)，则 Y2 的数学期望为 ( )5 设 X1，X 2，X n(n1)是来自总体 N(0，1)的简单随机样本，记则 ( )（A） N(0，1) ，Q 2 2(n)（B） N(0，n)，Q 2 2(n 一 1)（C） ，Q 2 2(n)（D） ，Q 2 2(n 一 1)6 设 X1，X 2，X 8 是来自总体 N(2，1)的简单随机样本，则统计量服从 ( )（A） 2(2)（B） 2(3)（C） t(2)（D）t(3)7 已
3、知随机变量 Xn(n=1，2，)相互独立且都在(一 1，1)上服从均匀分布，根据独立同分布中心极限定理有 = ( ) (结果用标准正态分布函数 (x)表示)（A）(0)（B） (1)（C）（D）(2)8 设 X1，X 2，X n 是来自总体 XN(0，1)的简单随机样本，则统计量服从 ( )（A）Y 2(N 一 1)（B） Yt(n1)（C） YF(n，1)（D）YF(1，n 一 1)9 设随机变量 XF(n，n)，记 p1=PX1)，p 2=PX1，则 ( )（A）p 1p 2（B） p1p 2（C） p1=p2（D）p 1，p 2 大小无法比较10 设总体 XN(a， 2)，YN(b， 2
4、)，且相互独立分别从 X 和 Y 中各抽取容量为 9 和 10 的简单随机样本，记它们的方差为 SX2 和 SY2，并记 S122= (SX2+SY2)和SXY2= (8SX2+10SY2)，则这四个统计量 SX2，S Y2，S 122，S XY2 中，方差最小的是 ( )（A）S X2（B） SY2（C） S122（D）S XY211 设 X1，X 2，X n 是来自总体 XN( ， 2)(， 2 都未知)的简单随机样本的观察值，则 2 的最大似然估计值为 ( )二、填空题12 设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|1xe 2,0y 上服从均匀分布，则(X， Y)的关于 X 的边缘
5、概率密度 fX(x)在点 x=e 处的值为_13 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= 则当x0 时，f Y|X(y|x)=_14 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)=15 设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布，记 则E(X1+X2)=_16 已知离散型随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，即 PX=k= ，k=0，1，2，则随机变量 Z=3X 一 2 的数学期望 EZ=_17 设随机变量 X1，X 2，X 100 独立同分布，且EXi=0，DX i=10，i=1 ，2，100，令18 设随机变量 X 和 Y 均服从 且 D(X+Y)=1，则 X 与 Y 的相关系
6、数=_19 已知随机变量 XN(一 3，1)，YN(2 ，1)，且 X，Y 相互独立，设随机变量Z=X 一 2Y+7，则 Z_20 设相互独立的两个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为则随机变量 Z=maxX， Y的分布律为_21 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则随机变量 U=X+2Y，V= 一 X 的协方差Cov(U，V)=_22 设 X1，X 2，X n 是相互独立的随机变量序列，且都服从参数为 的泊松分布则23 设随机变量 X 的数学期望 EX=75，方差 DX=5，由切比雪夫不等式估计得 P|X一 75|k005，则 k=_24 设总体 XP()，X 1， X2，
7、X n 是来自总体 X 的简单随机样本，它的均值和方差分别为 和 S2，则 和 E(S2)分别为_ 25 设总体 X 的概率密度为 X1，X 2，X n是来自总体 X 的样本，x 1，x 2，x n 是其观察值，则未知参数 的最大似然估计值为_26 设 X1，X 2，X 3，X 4 是来自正态总体 XN(， 2)的简单随机样本，则统计量服从的分布是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 设 X，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n，p 的二项分布，证明：Z=X+Y 服从参数为 2n， p 的二项分布28 设 ， 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 的分布
8、律为 P=i= ，i=1，2， 3，又设 X=max，Y=min，试写出二维随机变量(X，Y)的分布律及边缘分布律，并求 P=.29 设(X，Y)的概率密度为 判断 X，Y 是否独立，并说明理由30 设 X 关于 Y 的条件概率密度为 且 Y 的概率密度为31 设(X，Y)服从 G=(x，y)|x 2+y21上的均匀分布，试求给定 Y=y 的条件下 X 的条件概率密度 fX|Y(x|y)32 乘有 20 位旅客的民航送客车自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车的次数，求 EX(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车是相互独
9、立的)33 设随机变量 X 的概率密度为 已知EX=2，P1 X3= 求 (1)a，b，c 的值； (2) 随机变量 Y=eX 的数学期望和方差34 袋中有 n 张卡片，分别记有号码 1，2，n，从中有放回地抽取 k 张，以 X表示所得号码之和，求 EX，DX35 设随机变量 U 在一 2，2上服从均匀分布，记随机变量求：(1)Cov(X，Y) ，并判定 X 与 Y 的独立性； (2)DX(1+Y)36 设随机变量 X 在(0，3)内随机取值，而随机变量 Y 在(X，3)内随机取值，求协方差 Cov(X，Y)37 若 DX=0004，利用切比雪夫不等式估计概率 P|XEX|0238 用切比雪夫
10、不等式确定，掷一均质硬币时，至少需掷多少次，才能保证正面出现的频率在 04 至 06 之间的概率不小于 09考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 75 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 设(X 1，X 2)的分布函数为 F1(x1，x 2)，(Y 1，Y 2)的分布函数为F2(y1，y 2)，则【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 当 X 与 Y 相互独立，且都在0，1上服从均匀分布时，(X,Y)的概率密度为 所以，(X，Y) 是服从均匀分布的二维随机变量因此本题选(A) 【知识模块】 概率论与
11、数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 记奖金为 X，则 X 全部可能取值为 6，9，12，且【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 X1,X2，X 3 相互独立且均服从 P()，所以 X1+X2+X2P(3) ， E(X1+X2+X3)=D(X1+X2+X3)=3，【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 由于 Q 2 2(n)因此本题选(C)【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 又，且它们相互独立，所以所以由 T 与 X 相互独立得，因此本题选(C)【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题
12、解析】 由题设知 EXn=0，DX n= 由中心极限定理，对任意 x 有【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 由总体 XN(0，1)知 X1N(0 ，1)， (n 一 1)，且它们相互独立，所以 因此本题选(B)【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 由 XF(n，n)知 F(n，n)，所以 p1=PX1= =PY1=PX1=p2因此本题选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 所以，方差最小的为 SXY2因此本题选(D) 【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 B【试题解析】 在 未知时， 2 的最
13、大似然估计值为 因此本题选(B)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 区域 D 如图 32 阴影部分所示，它的面积所以(X，Y)的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x，y)的表达式知 X 与 Y 相互独立，且关于 X，Y 的边缘概率密度分别为 由此可知，当 x0 时，由fX(x)0 知 fY|X(y|x)=fY(y)=【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 EX 1=PY1= 1+e-ydy=e-1，EX 2=PY2= 2-
14、e-ydy=e-2，所以E(X1+X2)=EX1+EX2=e-1+e-2=【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 4【试题解析】 EZ=3EXX 一 2=4【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 990【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 1【试题解析】 由题设 DX=DY= D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X，Y)= +2Coy(X，Y)=1，于是有【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 N(0，5)【试题解析】 由题意，知 Z 服从正态分布，且 X，Y 相互独立，则 EZ=E(X 一2Y+7)=EX 一 2ey+7=一 34+7=
15、0， DZ=D(X 一 2y+7)=DX+22Dy=1+4=5 故ZN(0，5) 【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 PZ=0=PX=0 ，Y=0=PX=0PY=0= PZ=1=1 一PZ=0= 所以 Z 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 Cov(U，V)=Cov(X+2Y，一 X)=一 DX 一 2Cov(X，Y) =一 DX 一2E(XY)+2EXEY， 其中关于X 与 Y 的边缘概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 (x)【试题解析】 由列维一林德伯格中心极限定理即得【知识模块】 概率论与数理统计2
16、3 【正确答案】 10【试题解析】 P|X 一 75|k=P|XEX|k) 于是由题设得 =005即k=10【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 【试题解析】 E(S2)=DX=【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 【试题解析】 似然函数为解得 的最大似然估计值为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 t(2)【试题解析】 因为 XN(， 2)，所以 X3 一 X4N(0 ，2 2) N(0 ，1)，又【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 【正确答案】 故 Z=X+Y 服从参数为 2n，p 的二项分布【知识模块】
17、 概率论与数理统计28 【正确答案】 X 的可能取值为 1，2，3，Y 的可能取值为1，2，3PX=1 ，Y=1=Pmax，=1，min，=1=P=1，=1= 以此类推可求出(X，Y) 的分布律及边缘分布律如下：则【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 由题得 X 的边缘概率密度为同理易知因为 f(x，y)=f X(x).fY(y)，所以 X，Y 独立【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 由题得(X，Y)的概率密度为 f(x， y)=fX|Y(x|y).fY(y)=其非零区域如图 34 所示，则【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 因为(X，Y)服从 G=(x
18、，y)|x 2+y21上的均匀分布，所以所以，当一 1y1 时，有【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 引入随机变量 Xi= 则X=X1+X2+X10，由【知识模块】 概率论与数理统计33 【正确答案】 解方程组【知识模块】 概率论与数理统计34 【正确答案】 设 Xi 表示“ 第 i 张的号码”，i=1，2，k，则 Xi 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计35 【正确答案】 (1)X ，Y 的全部可能取值都为一 1，1，且 PX=一 1，Y=一 1=PU一 1，U1=PU一 1= PX=一 1，Y=1=PU一 1，U 1=0，PX=1 ， Y=一 1=PU一 1，U1=P-
19、1U1= PX=1，Y=1=PU一1，U1=PU1= 所以(X ，Y)的分布律及边缘分布律为(2)DX(1+Y)=D(X+XY)=DX+D(XY)+2Cov(X，XY) =DX+D(XY)+2E(X2Y)一 2EXE(XY) 其中 此外，由于 XY 及 X2Y 的分布律分别为 所以 E(XY)=0，E(X 2Y2)= D(XY)=E(X2Y2)一E(XY) 2=10=1，将以上式子代入得【知识模块】 概率论与数理统计36 【正确答案】 X 的概率密度 fX(x)= 在 X=x(0，3)的条件下，f Y|X(y|x)= 于是(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)=由此可得其中 D 如图 35 阴影部分所示【知识模块】 概率论与数理统计37 【正确答案】 由切比雪夫不等式，得 P|XEX|02【知识模块】 概率论与数理统计38 【正确答案】 设掷 n 次，“正面” 出现的次数为 Yn，则 YnB(n，05)，依题意应有 所以 n250，即至少需掷250 次【知识模块】 概率论与数理统计
