1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 67 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是（A）X 2（B） XY（C） X+Y（D）(X，Y)2 设随机变量 X 与 Y 相互独立，其分布函数分别为 FX(x)与 FY(y)，则Z=maxX，Y的分布函数 FZ(z)是（A）maxF X(x)，F Y(z)（B） FX(z)+FY(z)一 FX(z)FY(z)（C） FX(z) FY(z)（D） FX(z)+FY(z)3 设随机变量 X1 与 X2 相互独
2、立，其分布函数分别为则 X1+X2的分布函数 F(x)=（A）F 1(x)+F2(x)（B） F2(x)（C） F2(x 一 1)（D） F2(x 一 1)4 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则（A）X+Y 一定服从正态分布（B） X 和 Y 不相关与独立等价（C） (X，Y)一定服从正态分布（D）(X，一 y)未必服从正态分布5 已知随机变量 X1 与 X2 相互独立且有相同的分布：PX i=一 1=PXi=1= (i=1，2)，则（A）X 1 与 X1X2 独立且有相同的分布（B） X1 与 X1X2 独立且有不同的分布（C） X1 与 X1X2 不独立且有相同的分布（D）X 1
3、与 X1X2 不独立且有不同的分布6 已知随机变量(X，Y) 在区域 D=(x，y)一 1x1，一 1y1上服从均匀分布，则（A）PX+Y0= （B） PXY0= （C） Pmax(X，Y)0= （D）Pmin(X，Y)0= 7 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布服从 G=(x，y)x 2+y2r2上的均匀分布，则下列服从相应区域上均匀分布的是（A）随机变量 X（B）随机变量 X+Y（C）随机变量 Y（D）Y 关于 X=1 的条件分布二、填空题8 设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，且都服从 p= 的 01 分布，则随机变量Z=maxX，Y的分布律为_9 假设随机变量 X 与 Y 相互
4、独立，且 PX=k= (k=1，2，3)，则 a=_，b=_，Z=X+Y 的分布律为 _10 从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为Y，则 PY=2=_11 设随机变量 X 和 Y 的联合分布函数为则随机变量 X 的分布函数 F(x)为_12 设(X，Y)N(，； 2， 2；0) ，则 PXY=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 袋中有大小相同的 10 个球，其中 6 个红球，4 个白球，现随机地抽取两次，每次取一个，定义两个随机变量 X，Y 如下：试就放回与不放回两种情形，求出(X，Y)的联合分布律13 设二维随机变量(X，Y)的
5、联合分布为 其中a，b，c 为常数，且 EXY=一 01，PX0Y2= ，记 Z=X+Y求：14 a，b，c 之值；15 Z 的概率分布；16 PZ=X与 PZ=Y16 假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 G=(x，y)0x2，0y1上服从均匀分布记17 求 U 和 V 的联合分布；18 求 U 和 V 的相关系数 19 设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0y1，yxy+1内服从均匀分布，求边缘密度函数，并判断 X，Y 的独立性19 设随机变量 X 和 Y 的联合密度为20 试求 X 的概率密度 f(x)；21 试求事件“X 大于 Y”的概率 PXY；22 求条件概率 PY1X0
6、523 设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D 上服从均匀分布，其中D=(x，y) x+y 1，x 一 y1 ，求 X 的边缘密度 fX(x)与在 X=0 条件下，关于 Y 的条件密度 fYX (y0) 24 已知(X，Y)的概率分布为 ()求 Z=XY 的概率分布；() 记 U1=XY，V 1= ，求(U 1，V 1)的概率分布；()记U2=max(X，Y)，V 2=min(X，Y) ，求(U 2，V 2)的概率分布及 U2V2 的概率分布25 随机变量 X 与 Y 相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，试求： ()U=XY的概率密度 fU(u)； ()V= XY的概率密度 fV(v)25
7、 设二维随机变量(X 1，Y 1)与(X 2，Y 2)的联合概率密度分别为求：26 常数 k1，k 2 的值；27 Xi，Y i(i=1，2)的边缘概率密度；28 PXi2Y i (i=1，2)考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 67 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 从前面题的 Y4=X2 知，X 2 不服从均匀分布；应用独立和卷积公式可知，X+Y 与 XY 都不服从均匀分布；由 X，Y 的独立性知， (X，Y)的联合密度F(x，y)= 因此(X， Y)服从区域D=(x，y)0x1，0y1 上二维均匀分布，应选 D【
8、知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(z)=Pmax(X，Y)z=PXz ，Yz =PXzPyz=FX(z)F Y(z)， 应选 C【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 由题意知 X1 为离散型随机变量，其分布律为F(x)=PX1+X2x =PX1=0PX1+X2xX 1=0+PX1=1PX1+X2xX 1=1 = F2(x1)故选 D【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不成立，例如，若 Y=一 X，则 X+Y0 不服从正态分布(C)不成立，(X，Y)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分
9、布(B)也不成立，因为只有当 X 和 Y 的联合分布是二维正态分布时“X 和 Y 独立”与“X 和Y 不相关”二者等价故应选 D虽然随机变量 X 和一 Y 都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，一 Y)未必服从正态分布【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 X1X2 可取一 1，1，且 PX 1X2=一 1=PX1=一 1，X 2=1+PX1=1，X 2=一 1 =PX1=一 1PX2=1+PX1=1PX2=一 1 = 又 PX1=一 1，X 1X2=一 1：PX 1=一 1，X 2=1= 。所以 X1 与 X1X2 的概率分布为从而
10、X1 与 X1X2 有相同的分布且相互独立，故应选 A【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知(X，Y)的概率密度函数为 由于 Pmin(X，Y)0=PX0，Y0= f(x，y)dxdy， = 01dx01 ，故选 D因 Pmax(X，Y)0=1 一Pmax(X，Y)0=1 一 P；X0，Y0所以选项 A、(B) 、(C) 都不正确【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 排除法依题设，由于 X，Y 对称，A 和 C 会同时成立，故应排除或利用计算，随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为当xr 时，显然 fX(x)=0；当xr 时，有因此，
11、X 和Y 都不服从均匀分布，即可排除(A)和(C) 而由熟知的事实知二均匀分布随机变量之和也不服从均匀分布，可见(B)也不成立，故应选 D【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 显然 Z 也是离散型随机变量，只取 0，1 两个值，且 PZ=0=Pmax(X，Y)=0=PX=0 ，Y=0=PX=0PY=0= ， PZ=1=1 一 PZ=0= 于是 Z 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 Z=X+Y 的可能取值为一 2，一 1，0，1，2由于 PZ=一 2=PX+Y=一 2=PX=1，Y=一 3=PX=1PY=一 3= 类似地，P
12、Z=一 1=PX+Y=一 1=PX=1，Y=一 2+PX=2，Y= 一 3 = ， PZ=0=PX+Y=0 =PX=1，Y=一 1+PX=2，Y=一 2+PX=3，Y=一 3 =， PZ=1=PX=2PY=一 1+PX=3PY=一2 = ， PZ=2=PX=3PY=1= ，于是Z 的分布律为 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 由于事件X=1，X=2，X=3，X=4是一个完备事件组，且PX=i= ，i=1 ，2，3， 4条件概率 PY=2X=1=0，PY=2X=i= ，i=2 ，3 ，4根据全概率公式 【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】
13、分布函数 F(x)是 F(x，y)的边缘分布函数： F(x)=F(x，+)=F(x，1) ，因此【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 (X，Y) 是二维离散型随机变量，其全部可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) () 有放回抽取，由于 X 与 Y 相互独立，则 PX=i，Y=j=PX=iPY=j，i，j=0，1， PX=0，Y=0=PX=0PY=0=04 2=016， PX=0，Y=1=PX=0PY=1=0406=024， PX=1，Y=0=PX=1
14、PY=0=0 604=0 24， PX=1，Y=1=PX=1PY=1=06 2=036()不放回抽取， PX=i，Y=j=PX=iPY=jX=i，i，j=0 ，1， PX=0，Y=0=PX=0PY=0X=0= ， P(X=0，Y=1=P(X=0PY=1X=0= ， PX=1 ，Y=0=PX=1PY=0X=1= ， PX=1，Y=1=PX=1PY=1 X=1=， 由此可见，无论是有放回还是不放回抽取其边缘分布律 X，Y 都相同且都服从参数为 06 的 01 分布，且当有放回抽取时 X 与 Y 独立；无放回抽取时 X 与 Y 不独立【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计14
15、【正确答案】 由联合分布性质，有 01+a+02+b+02+01+c=1，即 a+b+c=04 由 EXY=一 012a 一 06+0 2+3c=一 013c 一 2a=04 由 PX0Y2= ，得 3a 一 5c=一07 联立 ，解方程组 ，得a=01，b=01，c=02【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 由(X，Y)的联合分布及 Z=X+Y，可知 Z 的取值为0，1，2，3，4由于 PZ=0=PX=一 1，Y=1=01， PZ=1=PX=0，Y=1+PX=一 1， Y=2=01+01=02 PZ=2=PX=0，Y=2+Px=一 1，Y=3+PX=1，Y=1=0 2+02=04
16、 PZ=3=PX=0，Y=3+PX=1 ，Y=2=01， PZ=4=PX=1，Y=3=02，从而得 Z 的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 由 X，Y 的边缘分布可知 PZ=Y=PX+Y=Y=PX=0=03 PZ=X=PX+Y=X=PY=0=P( )=0【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 (U，V) 是二维离散型随机变量，只取(0，0)，(1，0)(1 ，1)各值，且 PU=0，V=0=PXY，X2Y=PXY= ， PU=1，V=0=PXY，X2Y=PYX2Y= ， PU=1，V=PXY，X2Y=PX2Y=于是(X，Y) 的
17、联合分布为【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 从() 中分布表看出【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 依题意，由于f(x，y)f X(x)fY(y)，所以 X 与 Y 不独立【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 易见，当 x (0，1)时 f(x)=0；对于 0x1，有 f(x)= -+f(x)=(2x2+x)【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 事件“X 大于 Y”的概率【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 条件概率【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 从图 32 可知，区域 D 是以(
18、一 1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，一1)为顶点的正方形区域，其边长为 ，面积 SD=2，因此(X ，Y)的联合密度是根据公式 f YX (yx)=(f(x)0)，当 x=0 时，有 f YX (yx)=f YX (y0)=【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 () 应用矩阵法求解，由题设得由此即得：()Z=X Y 的概率分布()(U 1，V 1)的概率分布为()(U 2，V 2)的概率分布为U2V2 的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 由于 X 与 Y 相互独立且密度函数已知，因此我们可以用两种方法：分布函数法与公式法求出 U、V 的概率密度 (
19、)分布函数法由题设知(X，Y) 联合概率密度 f(x，y)=f X(x)fY(y)= 所以 U=XY 的分布函数为(如图 33) FU(u)=PXYu= f(x，y)dxdy 当 u0 时，F U(u)=0；当 u1时，F U(u)=1；当 0u1 时， F U(u)=0udx01dy+u1dx dx=uulnu综上得 ()分布函数法由题设知所以 V=X Y的分布函数FV(v)=PXYv当 v0 时，F V(v)=0；当 v0 时， F V(v)=PX Yv=P一 vXYv = f(x，y)dxdy 由图 34 知，当 v1 时，F V(v)=1；当0v1 时， F V(v)= f(x，y)d
20、xdy=D 的面积 =12 (1v)2=1 一(1 v)2，其中 D=(x，y) 0x1 ，0y1，x 一 yv综上得【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 由 1=-+-+f1(x，y)dxdy = 0+dy0+k1e(x+y)dx=k1，得 k1=1；又由 1= -+-+f2(x，y)dxdy= 0+dyy+k2e-(x+y)dx =0+k2edy= ，得 k2=2因此(X 1，Y 1)与(X 2，Y 2)的概率密度分别为【试题解析】 (X i，Y i)是二维连续型随机变量，在确定其联合概率密度中的未知参数时，应首先考虑用概率密度的性质 -+-+f(x，y)dxdy=1【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 PX 12Y 1= f(x，y)dxdy= 0+dy2y+e-(x+y)dx=0+e-3ydy= ； PX22Y 2= f2(x，y)dxdy= 0+dy2y+2e-(x+y)dx=20+e-3ydy= 【知识模块】 概率论与数理统计
