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    [考研类试卷]考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷67及答案与解析.doc

    • 资源ID:852967       资源大小:514KB        全文页数:20页
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    [考研类试卷]考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷67及答案与解析.doc

    1、考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 67 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀分布,则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是(A)X 2(B) XY(C) X+Y(D)(X,Y)2 设随机变量 X 与 Y 相互独立,其分布函数分别为 FX(x)与 FY(y),则Z=maxX,Y的分布函数 FZ(z)是(A)maxF X(x),F Y(z)(B) FX(z)+FY(z)一 FX(z)FY(z)(C) FX(z) FY(z)(D) FX(z)+FY(z)3 设随机变量 X1 与 X2 相互独

    2、立,其分布函数分别为则 X1+X2的分布函数 F(x)=(A)F 1(x)+F2(x)(B) F2(x)(C) F2(x 一 1)(D) F2(x 一 1)4 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布,则(A)X+Y 一定服从正态分布(B) X 和 Y 不相关与独立等价(C) (X,Y)一定服从正态分布(D)(X,一 y)未必服从正态分布5 已知随机变量 X1 与 X2 相互独立且有相同的分布:PX i=一 1=PXi=1= (i=1,2),则(A)X 1 与 X1X2 独立且有相同的分布(B) X1 与 X1X2 独立且有不同的分布(C) X1 与 X1X2 不独立且有相同的分布(D)X 1

    3、与 X1X2 不独立且有不同的分布6 已知随机变量(X,Y) 在区域 D=(x,y)一 1x1,一 1y1上服从均匀分布,则(A)PX+Y0= (B) PXY0= (C) Pmax(X,Y)0= (D)Pmin(X,Y)0= 7 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布服从 G=(x,y)x 2+y2r2上的均匀分布,则下列服从相应区域上均匀分布的是(A)随机变量 X(B)随机变量 X+Y(C)随机变量 Y(D)Y 关于 X=1 的条件分布二、填空题8 设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布,且都服从 p= 的 01 分布,则随机变量Z=maxX,Y的分布律为_9 假设随机变量 X 与 Y 相互

    4、独立,且 PX=k= (k=1,2,3),则 a=_,b=_,Z=X+Y 的分布律为 _10 从数 1,2,3,4 中任取一个数,记为 X,再从 1,X 中任取一个数,记为Y,则 PY=2=_11 设随机变量 X 和 Y 的联合分布函数为则随机变量 X 的分布函数 F(x)为_12 设(X,Y)N(,; 2, 2;0) ,则 PXY=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 袋中有大小相同的 10 个球,其中 6 个红球,4 个白球,现随机地抽取两次,每次取一个,定义两个随机变量 X,Y 如下:试就放回与不放回两种情形,求出(X,Y)的联合分布律13 设二维随机变量(X,Y)的

    5、联合分布为 其中a,b,c 为常数,且 EXY=一 01,PX0Y2= ,记 Z=X+Y求:14 a,b,c 之值;15 Z 的概率分布;16 PZ=X与 PZ=Y16 假设二维随机变量(X,Y)在矩形区域 G=(x,y)0x2,0y1上服从均匀分布记17 求 U 和 V 的联合分布;18 求 U 和 V 的相关系数 19 设二维随机变量(X,Y)在区域 D=(x,y)0y1,yxy+1内服从均匀分布,求边缘密度函数,并判断 X,Y 的独立性19 设随机变量 X 和 Y 的联合密度为20 试求 X 的概率密度 f(x);21 试求事件“X 大于 Y”的概率 PXY;22 求条件概率 PY1X0

    6、523 设二维连续型随机变量(X,Y)在区域 D 上服从均匀分布,其中D=(x,y) x+y 1,x 一 y1 ,求 X 的边缘密度 fX(x)与在 X=0 条件下,关于 Y 的条件密度 fYX (y0) 24 已知(X,Y)的概率分布为 ()求 Z=XY 的概率分布;() 记 U1=XY,V 1= ,求(U 1,V 1)的概率分布;()记U2=max(X,Y),V 2=min(X,Y) ,求(U 2,V 2)的概率分布及 U2V2 的概率分布25 随机变量 X 与 Y 相互独立,且都在0,1上服从均匀分布,试求: ()U=XY的概率密度 fU(u); ()V= XY的概率密度 fV(v)25

    7、 设二维随机变量(X 1,Y 1)与(X 2,Y 2)的联合概率密度分别为求:26 常数 k1,k 2 的值;27 Xi,Y i(i=1,2)的边缘概率密度;28 PXi2Y i (i=1,2)考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 67 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 从前面题的 Y4=X2 知,X 2 不服从均匀分布;应用独立和卷积公式可知,X+Y 与 XY 都不服从均匀分布;由 X,Y 的独立性知, (X,Y)的联合密度F(x,y)= 因此(X, Y)服从区域D=(x,y)0x1,0y1 上二维均匀分布,应选 D【

    8、知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(z)=Pmax(X,Y)z=PXz ,Yz =PXzPyz=FX(z)F Y(z), 应选 C【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 由题意知 X1 为离散型随机变量,其分布律为F(x)=PX1+X2x =PX1=0PX1+X2xX 1=0+PX1=1PX1+X2xX 1=1 = F2(x1)故选 D【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不成立,例如,若 Y=一 X,则 X+Y0 不服从正态分布(C)不成立,(X,Y)不一定服从正态分布,因为边缘分布一般不能决定联合分

    9、布(B)也不成立,因为只有当 X 和 Y 的联合分布是二维正态分布时“X 和 Y 独立”与“X 和Y 不相关”二者等价故应选 D虽然随机变量 X 和一 Y 都服从正态分布,但是因为边缘分布一般不能决定联合分布,故(X,一 Y)未必服从正态分布【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 X1X2 可取一 1,1,且 PX 1X2=一 1=PX1=一 1,X 2=1+PX1=1,X 2=一 1 =PX1=一 1PX2=1+PX1=1PX2=一 1 = 又 PX1=一 1,X 1X2=一 1:PX 1=一 1,X 2=1= 。所以 X1 与 X1X2 的概率分布为从而

    10、X1 与 X1X2 有相同的分布且相互独立,故应选 A【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知(X,Y)的概率密度函数为 由于 Pmin(X,Y)0=PX0,Y0= f(x,y)dxdy, = 01dx01 ,故选 D因 Pmax(X,Y)0=1 一Pmax(X,Y)0=1 一 P;X0,Y0所以选项 A、(B) 、(C) 都不正确【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解析】 排除法依题设,由于 X,Y 对称,A 和 C 会同时成立,故应排除或利用计算,随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为当xr 时,显然 fX(x)=0;当xr 时,有因此,

    11、X 和Y 都不服从均匀分布,即可排除(A)和(C) 而由熟知的事实知二均匀分布随机变量之和也不服从均匀分布,可见(B)也不成立,故应选 D【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 显然 Z 也是离散型随机变量,只取 0,1 两个值,且 PZ=0=Pmax(X,Y)=0=PX=0 ,Y=0=PX=0PY=0= , PZ=1=1 一 PZ=0= 于是 Z 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 Z=X+Y 的可能取值为一 2,一 1,0,1,2由于 PZ=一 2=PX+Y=一 2=PX=1,Y=一 3=PX=1PY=一 3= 类似地,P

    12、Z=一 1=PX+Y=一 1=PX=1,Y=一 2+PX=2,Y= 一 3 = , PZ=0=PX+Y=0 =PX=1,Y=一 1+PX=2,Y=一 2+PX=3,Y=一 3 =, PZ=1=PX=2PY=一 1+PX=3PY=一2 = , PZ=2=PX=3PY=1= ,于是Z 的分布律为 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 由于事件X=1,X=2,X=3,X=4是一个完备事件组,且PX=i= ,i=1 ,2,3, 4条件概率 PY=2X=1=0,PY=2X=i= ,i=2 ,3 ,4根据全概率公式 【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】

    13、分布函数 F(x)是 F(x,y)的边缘分布函数: F(x)=F(x,+)=F(x,1) ,因此【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 (X,Y) 是二维离散型随机变量,其全部可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1) () 有放回抽取,由于 X 与 Y 相互独立,则 PX=i,Y=j=PX=iPY=j,i,j=0,1, PX=0,Y=0=PX=0PY=0=04 2=016, PX=0,Y=1=PX=0PY=1=0406=024, PX=1,Y=0=PX=1

    14、PY=0=0 604=0 24, PX=1,Y=1=PX=1PY=1=06 2=036()不放回抽取, PX=i,Y=j=PX=iPY=jX=i,i,j=0 ,1, PX=0,Y=0=PX=0PY=0X=0= , P(X=0,Y=1=P(X=0PY=1X=0= , PX=1 ,Y=0=PX=1PY=0X=1= , PX=1,Y=1=PX=1PY=1 X=1=, 由此可见,无论是有放回还是不放回抽取其边缘分布律 X,Y 都相同且都服从参数为 06 的 01 分布,且当有放回抽取时 X 与 Y 独立;无放回抽取时 X 与 Y 不独立【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计14

    15、【正确答案】 由联合分布性质,有 01+a+02+b+02+01+c=1,即 a+b+c=04 由 EXY=一 012a 一 06+0 2+3c=一 013c 一 2a=04 由 PX0Y2= ,得 3a 一 5c=一07 联立 ,解方程组 ,得a=01,b=01,c=02【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 由(X,Y)的联合分布及 Z=X+Y,可知 Z 的取值为0,1,2,3,4由于 PZ=0=PX=一 1,Y=1=01, PZ=1=PX=0,Y=1+PX=一 1, Y=2=01+01=02 PZ=2=PX=0,Y=2+Px=一 1,Y=3+PX=1,Y=1=0 2+02=04

    16、 PZ=3=PX=0,Y=3+PX=1 ,Y=2=01, PZ=4=PX=1,Y=3=02,从而得 Z 的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 由 X,Y 的边缘分布可知 PZ=Y=PX+Y=Y=PX=0=03 PZ=X=PX+Y=X=PY=0=P( )=0【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 (U,V) 是二维离散型随机变量,只取(0,0),(1,0)(1 ,1)各值,且 PU=0,V=0=PXY,X2Y=PXY= , PU=1,V=0=PXY,X2Y=PYX2Y= , PU=1,V=PXY,X2Y=PX2Y=于是(X,Y) 的

    17、联合分布为【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 从() 中分布表看出【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 依题意,由于f(x,y)f X(x)fY(y),所以 X 与 Y 不独立【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 易见,当 x (0,1)时 f(x)=0;对于 0x1,有 f(x)= -+f(x)=(2x2+x)【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 事件“X 大于 Y”的概率【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 条件概率【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 从图 32 可知,区域 D 是以(

    18、一 1,0),(0,1),(1,0),(0,一1)为顶点的正方形区域,其边长为 ,面积 SD=2,因此(X ,Y)的联合密度是根据公式 f YX (yx)=(f(x)0),当 x=0 时,有 f YX (yx)=f YX (y0)=【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 () 应用矩阵法求解,由题设得由此即得:()Z=X Y 的概率分布()(U 1,V 1)的概率分布为()(U 2,V 2)的概率分布为U2V2 的概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 由于 X 与 Y 相互独立且密度函数已知,因此我们可以用两种方法:分布函数法与公式法求出 U、V 的概率密度 (

    19、)分布函数法由题设知(X,Y) 联合概率密度 f(x,y)=f X(x)fY(y)= 所以 U=XY 的分布函数为(如图 33) FU(u)=PXYu= f(x,y)dxdy 当 u0 时,F U(u)=0;当 u1时,F U(u)=1;当 0u1 时, F U(u)=0udx01dy+u1dx dx=uulnu综上得 ()分布函数法由题设知所以 V=X Y的分布函数FV(v)=PXYv当 v0 时,F V(v)=0;当 v0 时, F V(v)=PX Yv=P一 vXYv = f(x,y)dxdy 由图 34 知,当 v1 时,F V(v)=1;当0v1 时, F V(v)= f(x,y)d

    20、xdy=D 的面积 =12 (1v)2=1 一(1 v)2,其中 D=(x,y) 0x1 ,0y1,x 一 yv综上得【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 由 1=-+-+f1(x,y)dxdy = 0+dy0+k1e(x+y)dx=k1,得 k1=1;又由 1= -+-+f2(x,y)dxdy= 0+dyy+k2e-(x+y)dx =0+k2edy= ,得 k2=2因此(X 1,Y 1)与(X 2,Y 2)的概率密度分别为【试题解析】 (X i,Y i)是二维连续型随机变量,在确定其联合概率密度中的未知参数时,应首先考虑用概率密度的性质 -+-+f(x,y)dxdy=1【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 PX 12Y 1= f(x,y)dxdy= 0+dy2y+e-(x+y)dx=0+e-3ydy= ; PX22Y 2= f2(x,y)dxdy= 0+dy2y+2e-(x+y)dx=20+e-3ydy= 【知识模块】 概率论与数理统计


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