1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 34 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机事件 A 与 B 互不相容，且 0P(A)1，0P(B) 1，令( )X 与 Y 的相关系数为 ，则( )（A）=0（B） =1（C） 0（D）02 设随机变量 X，Y，Z 两两不相关，方差相等且不为零，则 X+Y 与 X+Z 的相关系数为( ) （A）（B） 0（C）一 1（D）13 已知(X，Y)服从二维正态分布 N(Z1， 1， 2， 2， 2，) ，则下列四对随机变量中相互独立的是( ) （A）X 与 X+Y（B） X+Y 与 XY（C） X 与 XY（D）
2、2X+Y 与 XY4 设(X，Y) 为二维随机变量，则 X 与 Y 相互独立的充要条件为( )（A）X 3 与 Y3 相互独立（B） X与Y相互独立（C） X2 与 Y2 相互独立（D）X 2 与 Y4 相互独立5 设随机变量 X 与 Y 相互独立，则( )（A）D(XY)=D(X)D(Y)（B）（C）（D）D(XY) D(X)D(Y)6 设连续型随机变量 X1 与 X2 相互独立且方差均存在，X 1 与 X2 的概率密度分别为f1(x)与 f2(x)，随机变 Y1 的概率密度为 f1(y)+f2(y)，随机变量 Y2= (X1+X2)，则( )（A）E(Y 1)E(Y 2)，D(Y 1)D(
3、Y 2)（B） E(Y1)=E(Y2)，D(Y 1)=D(Y2)（C） E(Y1)=E(Y2)，D(Y 1)D(Y 2)（D）E(Y 1)=E(Y2)，D(Y 1)D(Y 2)7 设随机变量 X 与 Y 服从正态分布 N(一 1，2)与 N(1，2)，并且 X 与 y 不相关，aX+Y 与 X+bY 亦不相关，则( )（A）a 一 b=1（B） ab=0（C） a+b=1（D）a+b=08 对于任意二个随机变量 X 和 Y，与命题“X 和 Y 不相关” 不等价的是( )（A）E(XY)=E(X)E(Y)（B） Coy(X，Y)W=0（C） D(XY)=D(X)D(Y)（D）D(X+Y)=D(X
4、)+D(Y)9 假设随机变量 X 在区间一 1，1上均匀分布，则 arcsinX 和 arccosX 的相关系数等于( )（A）一 1（B） 0（C） 05（D）1二、填空题10 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)=，则 R 的取值范围是_11 在 n 重贝努利试验中，若每次试验成功的概率为 p，则成功次数是奇数的概率为_12 设 X 服从参数为 的泊松分布，且 E(X2+2X 一 4)=0，则 P(X1)= _13 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1， 2 的泊松分布若E(X+Y)2 一 2E(X+Y)=0，则概率 P(X+Y2)= _三、解答题解答应写
5、出文字说明、证明过程或演算步骤。14 考虑随机试验 E：接连不断地重复掷一枚骰子直到出现小于 5 的点为止，以 X表示最后掷出的点数，以 Y 表示掷骰子的次数，试求随机变量 X 和 Y 的联合概率分布15 假设 5 只晶体管中有两只次品，现在一只一只地检验直到查出两只次品为止试求：(1)查出一只次品晶体管所需检查的次数 X 的概率分布；(2)查出两只次品晶体管所需检查的次数 Y 的概率分布(3)X 和 Y 的联合概率分布16 掷两枚均匀的骰子，以 X 和 Y 分别表示掷出的最大点数和最小点数，试求随机变量 Y 关于X=i)(i=1，6)的条件概率分布问随机变量 X 和 Y 是否独立? 为什么?
6、17 设随机变量 U 和 V 的可能取值均为 1 和一 1，且 P(U=1)= (1)求 U 和 V 的联合分布律； (2)求协方差 Cov(U+1，V 一 1)； (3)求关于 x 的方程 x2+Ux+V=0 至少有一个实根的概率18 假设随机变量 X 和 Y 独立同分布 PX=0=PY=0=1 一 p， PX=1=PY=1=p随机变量 Z= 问 p 取何值时，X 和 Z 独立?这时X，Y，Z 是否相互独立?19 假设随机变量 X 的概率密度为 fX(x)= 而随机变量 Y 在区间(0，X)上服从均匀分布试求： (1) 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度 f(x，y)； (2)随机变量 Y
7、 的概率密度 fY(y)20 假设随机变量 x 和 y 的联合概率密度 f(x，y)= 试求 f(x，y)的两个边缘概率密度 fX(x)和 fY(y)21 假设随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为 f(x，y)=(1)求未知常数 c； (2)求概率 PXy； (3) 求 X和 Y 的联合分布函数 F(x，y)； (4)求 X 和 Y 的分布函数 F1(x)和 F2(y)22 假设随机变量 X 和 Y 的联合密度为 f(x，y)= (1)试确定常数 c； (2)试求随机变量 X 和 Y 的概率密度 f1(x)和 f2(y)； (3)试求随机变量 Y 关于 X 和 X 关于 Y 的条件概率密度
8、f21 (yx) 和 f12 (xy)23 设随机变量 X 服从区间(0，2)上的均匀分布， Y 服从区间(X，2)上的均匀分布试求：(1)X 和 Y 的联合密度；(2)Y 的概率密度；(3)概率 P(X+Y2)24 设随机变量(U，V) 在以点(一 2，0) ，(2，0)，(0，1)，(0，一 1)为顶点的四边形上服从均匀分布，随机变量 (1)求 X 和 Y 的联合分布律； (2) 求 X 和 Y 的相关系数； (3)求 U 和 V 的边缘密度25 设随机变量 X 的绝对值不大于 1，PX=一 1)= 在事件一1X1 出现的条件下，X 在(1，1)内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度
9、成正比试求： (1)X 的分布函数 F(x)=PXx； (2)X 取负值的概率 p26 假设测量的随机误差 XN(0，10 2)试求在 100 次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 196 的概率 并用泊松分布求出 的近似值(要求小数点后取两位有效数字，泊松分布数值表见表 31)27 假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作的时间(E(X)为 5 小时设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2 小时便关机试求该设备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数 F(y)28 设随机变量 X 的概率密度为 F(x)是 X 的分布函数求随机变量 Y=
10、F(X)的分布函数29 设随机变量 X1，X 2，X 3 相互独立且都服从参数为 p 的 0 一 1 分布，已知矩阵试求： (1)参数 p 的值， (2)随机变量 Y=的分布律30 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从参数为 1 的泊松分布，y 服从参数为 2 的泊松分布，令 Z=max(X，Y)，计算 P(1Z3)考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 34 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因此 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=一 P(A)P(B)， D(X)=P(A)(1 一 P(A)， D(
11、Y)=P(B)(1 一 P(B)所以 =0故选 C【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 Cov(X+Y，X+Z)=Cov(X，X)+Cov(Y，X)+Cov(X，Z)+Coy(Y ，Z) =D(X)+0+0+0=D(X)， D(X+y)=D(X)+D(y)=2D(X) ， D(X+Z)=D(X)+D(Z)=2D(X)，于是 X+Y 与 X+Z 的相关系数为故选 A【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 Cov(X+Y，XY)=Cov(X，X)+Cov(Y，X) 一 Cov(X，Y)一Cov(Y，Y) =D(X)一 D(y)=2 一 2=0， 从
12、而 X+Y 与 XY 的相关系数为零，即不相关 又因为(X+Y，XY)服从二维正态分布，故 X+Y 与 XY 相互独立故选B【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 根据独立的性质易知(B)、(C)、(D)均为必要条件，只有(A)为充要条件故选 A【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 由 X 与 Y 独立可知 X 与 也独立，从而数学期望的性质知(C) 正确故选 C【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 所以 E(Y1)=E(Y2)，D(Y 1)D(Y 2)选(D)【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 D【试题解
13、析】 XN(一 1，2)，YN(1 ，2)，于是 D(X)=2，D(Y)=2又 Cov(X，Y)=0， Cov(X+Y，X+bY)=0 由协方差的性质有Coy(aX+Y，X+bY)=aCov(X，X)+Cov(Y，X)+abCov(X，Y)+bCov(Y ，Y)=aD(X)+bD(Y)=2a+2b=0，故 a+b=0故选 D【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 由不相关的定义易得(A)、(B)、(D)均是 X 与 Y 不相关的充要条件另外，即使已知 X 与 Y 独立，也推不出 D(XY)=D(X)D(Y)故选 C【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题
14、解析】 注意到 arcsinX+arccosX= ，从而 arcsinX 与 arccosX 的相关系数为一 1故选 A【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题10 【正确答案】 ，+)【试题解析】 如图 32，因为【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 1 一(12p) n【试题解析】 设 X 表示 n 次试验中成功的次数，则 X 服从二项分布 B(n，p)由于 P(X=k)=Cnkpk(1p)nk，k=0，1，n【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 1 一 e1【试题解析】 由 X 服从参数为 0 的泊松分布，故 E(X)=，D(X)=于是，由 E(X2+2X 一 4
15、)=E(X2)+2E(X)一 4 =D(X)+E2(X)+2E(X)一 4 =+2+2 一 4=2+3 一 4 得 =1 或 =一 4(舍去)，所以 P(X1)=1 一 P(X=0)=1 一 e1【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 12e 1【试题解析】 由泊松分布的可加性有，X+Y 服从参数为 1+2 的泊松分布于是 E(X+Y)=1+2， D(X+Y)= 1+2， 从而由 E(X+Y) 2=2E(X+Y)=0 得 1+2+(1+2)2一 2(1+2)=0， 即 ( 1+2)2 一( 1+2)=0，从而 1+2=1 或 0(舍去) 故 P(X+Y2)=1一 P(X+Y=0)一
16、P(X+Y=1) =1 一 e1 一 e1 一 1=2e1【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 X 的可能取值为 1，2，3，4Y 的可能取值为 1，2，且(X=m，Y=n)表示第 n 次首次出现小于 5 的点数，即 m 点，而前 n 一 1 次均出现不小于 5 的点，即 5 点或 6 点 故 X 与 Y 的联合分布律为 P(X=m，Y=n)=， m=1，2， 3，4；n=1 ，2，【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 (1)X 的可能取值为 1，2，3，4，记 A 表示第 i 次检查到次品，于是【知识模块】 概率论与数
17、理统计16 【正确答案】 设 X1 表示甲骰子出现的点数，X 2 表示乙骰子出现的点数，则 X=maxX1， X2， Y=minX 1，X 2，且 X1 与 X2 独立 P(X=i)=P(maxX1，X 2=i)当 ij 时，有 P(X=i，Y=j)=P(maxX1， X2=i，rainX 1，X 2=j) =P(X1=i，X 2=j)+P(X1=j，X 2=i) =P(X1=i)P(X2=j)+P(X1=j)P(X2=i) 当 i=j 时，有 P(X=i，Y=i)=P(maxX1， X2=i，rainX 1，X 2=i) =P(X1=i，X 2=i)= ，故 y 关于 X=i 的条件概率分布
18、为 P(Y=jX=i)= 另外，由于P(Y=jX=i)P(Y=j)，因此 X 与 Y 不相互独立【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 (3)方程x2+Ux+V=0 至少有一个实根，即有 U 2 一 4V0故所求概率为 P(U2 一 4V0)=P(U=一 1，V=一 1)+P(U=1，V=一 1)=【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 易得 X+Y 服从二项分布 B(2，p)，于是 P(Z=0)=P(X+Y=1)=2p(1一 p)， P(Z=1)=P(X+Y=0)+P(X+Y=2) =(1 一 p)2+p2=12p+2p2若 X 与 Z 独立，则 P(X=0，Z=0)=P
19、(X=0)P(Z=0)，其中 P(X=0，Z=0)=P(X=0，X+Y=1)=P(X=0 ，Y=1) =P(X=0)P(Y=1)=(1 一 p)p 因此 (1 一 p)p 一(1 一 p)2p(1 一 p)，即 p=时，P(X=i，Z=j)=P(X=i)P(Z=j)，i ，j=0 ，1，故 X 与 Z 独立 又因为 P(X=0，Y=0 ，Z=0)=P(X=0，Y=0 ，X+Y=1)=0， P(X=0)P(Y=0)P(Z=0)0，所以 p= 时， X，Y，Z 并不相互独立【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 Y 在区间(0，X)上服从均匀分布，即有条件密度(x0)【知识模块】 概率论
20、与数理统计20 【正确答案】 X 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 (1)由 +f(x，y)dxdy=1 ，即 0101cxydxdy=1，得 c=4(3)F(x，y)= xyf(u，v)dudv，当 x0 或 y0 时，F(x，y)=0 ；当 0x1 ，0y1 时， F(x，y)=0x0y4uvdudv=x2y2；当 0x1，y1 时， F(x，y)= 01dv0x4uvdu=x2；当0y1，x1 时， F(x ，y)= 01du0y4uvdv=y2；当 x1，y1 时，F(x，y)=1 故 X与 Y 的联合分布函数为【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案
21、】 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 (1)由已知可得 X 的概率密度为 fX(x)= Y 关于X=x 的条件密度为(0x2)【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 (1)如图 36 所示，其中 D 为四边形所在的区域，面积为 4 U 的密度为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 (1)由条件可知， 当 x一 1 时， F(x)=PXx=0； 又 F(1)=PX一 1=PX=一 1= ； 当 x1 时， F(x)=PX1=1；由已知条件得 P一1x1=1 一 PX=一 1一 PX=1)=1 一 ，且在 X 的值属于(一 1，1)的条件下，事件一 1Xx(一
22、 1x1)发生的条件概率为 P一 1xx一1x1= 于是，对一 1x1，有 P1Xx=P1Xx，一 1X1 =P1X1)P1X x一 1X1 =，从而，当一 1x1 时，F(x)=Px一 1)+P一 1xx=【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 设 p 为每次测量误差的绝对值大于 196 的概率，则 p=PX 196=P 196 =21 一 (196)=005 设 Y 为 100 次独立重复测量中事件 X196出现的次数，则 Y 服从参数为 n=100，p=0 05 的二项分布，所求概率 =PY3=1 一 PY3=1 一PY=0一 PY=1一 PY=2 =1 一(095) 100
23、一 100(095) 99005 一(095) 98(005) 2由泊松定理知，Y 近似服从参数为=np=100005=5 的泊松分布，故【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 设 X 的分布参数为 ，则 E(X)= 于是 X 的分布函数为 由题设条件知 Y=minX，2 ， 当 y0 时，F(y)=0； 当 y2 时，F(y)=1； 当 0y2 时，有 F(y)=PYy=PminX，2y=PXy=1 一 所以 Y 的分布函数为 F(y)=【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 先求 F(x)的表达式，再用分布函数法易见，当 x1 时，F(x)=0； 当 x8 时，F(x)
24、=1 ； 当 1x8 时，有 F(x)=PXx=设 G(y)是随机变量 Y=F(X)的分布函数显然， 当 Y0 时，G(y)=0； 当 Y1 时，G(y)=1； 当 01 时，有 G(y)=P(Yy)=PF(X)y)=P( 一 1y =PX(y+1)3=F(y+1)3=y于是，Y=F(X)的分布函数为 G(y)=【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 (1)因为矩阵为正定阵的充要条件为其所有顺序主子式都大于零，所以，有 PX10，X 1X3 一 X220)= ，即 PX1=1，X 2=0，X 3=1=p2(1 一 p)=(2)Y=X 1X3 一 X22 的所有取值为一 1，0，1， PY= 一 1=PX1=1，X 2=1，X 3=0+PX1=0，X 2=1，X 3=1) +PX1=0，X 2=1，X 3=0 = 。 PY=0)=PX1=0，X 2=0，X 3=0)+PX1=1，X 2=1，X 3=1 +PX1=0，X 2=0，X 3=1+P(X1=1，X 2=0，X 3=0【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 P(1Z3)=P(Z3)一 P(Z1) =P(max(X，Y)3) 一 P(max(X，Y)1) =P(X3，Y3)一 P(X1， Y1) =P(X3)P(Y3)一 P(X1)P(Y1)【知识模块】 概率论与数理统计
