1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X 和 Y 分别表示扔 n 次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为( )（A）一 1（B） 0（C）（D）12 设随机变量 XU一 1，1，则随机变量 U=arcsinX，V=arccosX 的相关系数为( )（A）一 1（B） 0（C）（D）13 对于随机变量 X1，X 2，X n，下列说法不正确的是( )（A）若 X1，X 2，X n 两两不相关，则 D(X1+X2+Xn)=（B）若 X1，X 2，X n 相互独立，则 D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(
2、X2)+D(Xn)（C）若 X1，X 2，X n 相互独立同分布，服从 N(0，02)，则（D）若 D(X1+X2+Xn)一 D(x1)+D(X2)+D(X)，则 X1，X 2，X n 两两不相关4 设(X，Y) 服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1 ，1)，Y N(2 ，4) ，X，Y的相关系数为 XY=一 05，且 P(aX+bY1)=05 ，则( ) 二、填空题5 设随机变量 x 与 y 的相关系数为 ，且 E(X)=0， E(Y)=1，E(X 2)=4，E(Y 2)=10，则 E(X+Y)2=_6 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ，则 PX E(X)2D(X)= _7 设
3、 X 的分布函数为 F(x)= ，且 Y=X2 一 1，则 E(XY)=_8 设随机变量 X 的密度函数为 f(c)= ，则 E(X)=_，D(X)=_。9 设随机变量 XP()，且 E(X 一 1)(X 一 2)=1，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设每次试验成功的概率为 02，失败的概率为 08，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则 E(X)=_11 n 把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，针对下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：(1)试开过的钥匙除去； (2)试开过的钥匙重新放回12 设一部机器一天内发生故障
4、的概率为 ，机器发生故障时全天停止工作若一周 5 个工作日无故障，则可获利 10 万元；发生一次故障获利 5 万元；发生两次故障获利 0 元；发生三次及以上的故障亏损 2 万元，求一周内利润的期望值13 设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(单位：毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 为不合格品，其余为合格产品，销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X 有如下关系：问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大 ?14 某商店经销某种商品，每周进货数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 之间是相互独立的，且都服从10，20
5、上的均匀分布商店每出售一单位商品可获利 1 000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利500 元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值15 设随机变量 X，Y 相互独立，且 X ，Z= X-Y，求 E(Z)，D(Z)16 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，令 U=，求：(1)(U ，V)的分布； (2)U，V 的相关系数17 设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望18 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= e-x (一 x+) (1)求 E(
6、X)，D(X)； (2)求 Cov(X， X)，问 X，X是否不相关? (3)问 X，X是否相互独立?19 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1 ，3 2)，Y N(0 ，4 2)，且X，Y 的相关系数为 (1)求 E(Z)，D(Z) ；(2)求 XY；(3)X，Z 是否相互独立? 为什么 ?20 设随机变量(X，Y) 在区域 D=(x，y)0x2，0y1)上服从均匀分布，令(1)求(U，V) 的联合分布； (2)求 UV21 设随机变量 X1，X 2，X m+n(mn)独立同分布，其方差为 2，令 Y=。求：(1)D(Y) ，D(Z)；(2) XY22 设 X1，X 2，X
7、 n(n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i=Xi(i=1，2，n)求： (1)D(Y i)(i=1，2，n)； (2)Cov(Y 1，Y n)； (3)P(Y1+Yn0)23 设随机变量 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2)分布，令 Z=max(X，Y) ，求E(Z)24 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立且在0， a上服从均匀分布，令U=maxX1， X2，X n，求 U 的数学期望与方差25 电信公司将 n 个人的电话资费单寄给 n 个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X 表示收到自己电话资费单的人的个数，求 E(X)及 D(X)考研数学三（概率统计）模拟试
8、卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 设正面出现的概率为 P，则 XB(n，p) ，Y=n 一 XB(n，1 一 p)，E(X)=np，D(X)=np(1 一 p)，E(Y)=n(1 一 p)，D(Y)=np(1 一 p)，Cov(X，Y)=Cov(X，n-X)=Cov(X，n)一 Cov(X，X)，因为 Cov(X，n)=E(nX)一 E(n)E(X)=nE(X)一 nE(X)=0，Cov(X，X)=D(x)=np(1 一 p)，所以 XY= =一 1，选 A【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 A【试题解析】 当
9、 PY=aX+b=1(a0)时， XY=1；当 PY=aX+b)=1(a0)时， XY=一 1 因为 arcsinx+arccosx= ，所以 UV=一 1， 选 A 【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 D【试题解析】 若 X1，X 2，X n 相互独立，则 B，C 是正确的，若X1，X 2，X n 两两不相关， B，C 是正确的，若 X1，X 2，X n 两两不相关， 则 A 是正确的，选 D【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 D【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 aX+bY 服从正态分布， E(aX+bY)=a+2b， D(aX+bY)=a 2+4b2+2abCov
10、(X， Y)=a2+4b2 一 2ab， 即aX+bYN(a+2b ，a 2+4b2 一 2ab)， 由 P(aX+bY1)=05 得 a+2b=1，所以选 D【知识模块】 概率统计二、填空题5 【正确答案】 18【试题解析】 D(X)=E(X 2)一E(X) 2=4，D(Y)=E(Y 2)一E(Y) 2=9，Cov(X，Y)=2，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=4+9+4=17，则E(X+Y)2=D(X+Y)+E(X+Y)2=17+1=18【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 -06【试题解析】 随机变量 X 的分
11、布律为 X E(XY)=EX(X2 一 1)=E(X3 一 X)=E(X3)一 E(X)，因为 E(X3)=一 80 3+105+802= 一03，E(X)=一 203+10 5+202=03，所以 E(XY)=一 06【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 1，【试题解析】 因为【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 1【试题解析】 因为 XP()，所以 E(X)=，D(X)=，故 E(X2)=D(X)+E(X)2=2+ 由 E(X 一 1)(X-2)=E(X23X+2)=E(X2)一 3E(X)+2=2 一 2A+2=1 得=1【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或
12、演算步骤。10 【正确答案】 X 的分布律为 P(X=k)=020 8 k-1，k=1，2， 【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 (1)设 X 为第一种情况开门次数， X 的可能取值为 1，2，n【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 用 X 表示 5 天中发生故障的天数，则 XB ，以 Y 表示获利，则 Y= ， 则 E(Y)=10P(X=0)+5P(X=1)一 2P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) =100328+50410 一 20057=5 216(万元)【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 E(T)=一 1P(X10)+20P(10X12) 一 5P(X12)【知识
13、模块】 概率统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 (1)因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以 X 的分布函数为(U，V)的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1 ，0)，(1，1)P(U=0，V=0)=P(X1，X2)=P(X1)=F(1)=1-e -2；P(U=0，V=1)=P(X1，X 2)=0； P(U=1，V=1)=P(X 1，X2)=P(X2)=1-F(2)=e -4；P(U=1，V=0)=P(X1，X2)=e -2 一 e-4(U，V)的联合分布律为【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 利用随机变量分解
14、法【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 (1)E(X)= -+xf(x)dx=0， D(X)=E(X 2)一E(X) 2=-+x(x)dx=0+x2e-xdx= =2 (2)因为 Cov(X，X)=EXX一 EXE X =EXX =-+xxf(x)dx=0 ， 所以 X，X不相关 (3)对任意的a0，PXa，Xa)=PXa， 而 0P(Xa)1，所以PXa，Xa PXa)P(Xa)， 故X，X 不相互独立【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 (3)因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 Z 服从正态分布，同时 X 也服从正态分布，又 X，Z 不相关，所以 X，Z 相互独立【知识模块】 概
15、率统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 (1)因为 X1，X 2，X m+n 相互独立，所以(2)Cov(Y，Z)=Cove(X1+Xm+n)+(Xm+1+Xn)，X m+1+Xm+n =Cov(X1+Xm，X m+1+Xm+n)+Cov(Xm+1+Xn，X m+1+Xm+n) =D(Xm+1+Xn)+Cov(Xm+1+Xn，X n+1+Xm+n) =(n 一 m)2 则【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 因为 X，Y 都服从 N(， 2)分布，所以 U=N(0，1)， 且 U，V 相互独立，则X=U+，Y=V+，故 Z=max(X，Y)=max(U，V)+， 由 U，V 相互独立得(U， V)的联合密度函数为 f(u，v)= (一 u，v+) 于是 E(Z)=Emax(U， V)+【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 Fu(u)=P(Uu)=Pmax(X 1，X 2， ，X n)u【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率统计
