1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 37 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X 和 Y 分别表示扔 n 次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为( )（A）一 1（B） 0（C）（D）12 设随机变量 XU一 1，1，则随机变量 U=arcsinX，V=arccosX 的相关系数为( )（A）一 1（B） 0（C）（D）13 对于随机变量 X1，X 2，X n，下列说法不正确的是( )（A）若 X1，X 2，X n 两两不相关，则 D(X1+X2+Xn) D(Xi)（B）若 X1，X 2，X n 相互独立，则 D(X1+X2+Xn)=D(
2、X1)+D(X2)+D(Xn)（C）若 X1，X 2，X n 相互独立同分布，服从 N(0， 2)，则（D）若 D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn)，则 X1，X 2，X n 两两不相关4 设(X，Y) 服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1 ，1)，yN(2，4)，X，Y 的相关系数为 XY=一 05，且 P(aX+bY1)=05，则 ( )二、填空题5 设 X 的分布函数为 F(x)= 且 Y=X2 一 1，则 E(XY)=_6 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ,则 E(X)=_，D(X)=_7 设随机变量 XP()，且 E(X 一 1)(X 一 2)=1
3、，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设每次试验成功的概率为 02，失败的概率为 08，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则 E(X)=_8 n 把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：9 试开过的钥匙除去；10 试开过的钥匙重新放回11 设一部机器一天内发生故障的概率为 ，机器发生故障时全天停止工作若一周 5 个工作日无故障，则可获利 10 万元；发生一次故障获利 5 万元；发生两次故障获利 0 元；发生三次及以上的故障亏损 2 万元，求一周内利润的期望值12 设由自动生产线加工的某种零
4、件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 为不合格品，其余为合格产品，销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润 T(单位：元 )与销售零件的内径 X 有如下关系：问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大？13 某商店经销某种商品，每周进货数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 之间是相互独立的，且都服从10，20上的均匀分布，商店每出售一单位商品可获利 1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利500 元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值14 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0， )，Y N
5、(0 ， )，Z=|X 一 Y|，求E(Z)，D(Z)14 设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，令 U=求：15 (U， V)的分布；16 U，V 的相关系数17 设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望17 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= e 一|x| (一 x+)18 求 E(X)；19 求 Cov(X，|X|) ，问 X，|X| 是否不相关？20 问 X，|X|是否相互独立？21 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1 ，3 2)，Y N(0 ，4 2)，且
6、X，Y 的相关系数为 (1)求 E(Z)，D(Z) ；(2)求 XZ；(3)X，Z 是否相互独立？为什么？22 设随机变量(X，Y) 在区域 D=(x，y)|0x2 ，0y1) 上服从均匀分布，令(1)求(U，V) 的联合分布； (2)求 UV22 设随机变量 X1，X 2，X m+n(mn)独立同分布，其方差为 2，令Y= Xi，Z= 求：23 D(y)，D(Z)；24 XZ25 设 X1，X 2，X n(n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i=Xi 一(i=1，2，n)求：(1)D(Y i)(i=1，2，n)；(2)Cov(Y 1，Y n)；(3)P(Y1+Yn0)26 设随机变量
7、X，Y 相互独立且都服从 N(， 2)分布，令 Z=max(X，Y) ，求E(Z)考研数学三（概率统计）模拟试卷 37 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 设正面出现的概率为 p，则 XB(n，p) ，Y=n 一 XB(n ，1 一 p)，E(X)=np，D(X)=np(1 一 p)，E(Y)=n(1 一 p)，D(Y)=np(1 一 p)，Cov(X，Y)=Cov(X，n 一 X)=Cov(X，n)一 Cov(X，X)，因为 Cov(X，n)=E(nX)一 E(n)E(X)=nE(X)一 nE(X)=0，Cov(X，X)=
8、D(X)=np(1 一 p)，所以 XY= =一 1，选(A)【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 A【试题解析】 当 PY=aX+b=1(a0)时， XY=1；当 PY=aX+b=1(a0)时， XY=一 1因为 arcsinx+arccosx= (一 1x1)，即 U+V= 或 U=一 V+ ，所以 XY=一 1，选(A)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 D【试题解析】 若 X1，X 2，X n 相互独立，则(B)，(C) 是正确的，若X1，X 2，X n 两两不相关，则 (A)是正确的，选 (D)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 D【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分
9、布，所以 aX+bY 服从正态分布， E(aX+bY)=a+2b，D(aX+bY)=a 2+4b2+2ab Cov(X， Y)=a2+4b22ab，即aX+bYN(a+2b ，a 2+4b22ab)，由 P(aX+bY1)=05 得 a+2b=1，所以选(D)【知识模块】 概率统计二、填空题5 【正确答案】 一 06【试题解析】 随机变量 X 的分布律为 X E(XY)=EX(X2 一1)=E(X3 一 X)=E(X3)一 E(X)，因为 F(X3)=一 803+105+802=一03，E(X)=一 203+10 5+202=03，所以 E(XY)=一 06【知识模块】 概率统计6 【正确答案
10、】 1；【试题解析】 【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 1【试题解析】 因为 XP()，所以 E(X)=，D(X)=，故 E(X2)=D(X)+E(X)2=2+由 E(X 一 1)(X 一 2)=E(X23X+2)=E(X2)一 3E(X)+2=2 一 2+2=1 得=1【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 X 的分布律为 P(X=k)=020 8 k 一 1，k=1，2，【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 设 X 为第一种情况开门次数，X 的可能取值为 1，2，n且P(X=k)= ，k=1，2， n【知识模块
11、】 概率统计10 【正确答案】 设 Y 为开门次数，Y 的可能取值为 1，2，n，【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 用 X 表示 5 天中发生故障的天数，则 以 Y 表示获利，则 则 E(Y)=10P(X=0)+5P(X=1)一 2P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=100328+50410 一 20057=5 216(万元)【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 E(T)=一 1P(X10)+20P(10X12) 一 5P(X12)=一 (10 一 )+20(12 一 )一 (10 一 )一 51 一 (12 一 )=25(12 一 )一 21(10 一 )一 5解得 =11
12、 一 109，所以当 109 时，销售一个零件的平均利润最大【知识模块】 概率统计13 【正确答案】 设 R 为商店每周的利润，则有因为 X，Y 相互独立且都服从10，20上的均匀分布，所以(X，Y) 的联合密度函数为【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 令 U=X 一 Y，因为 X，Y 相互独立，且所以 UN(0，1) 一u+E(Z2)=E(U2)=D(U)+E(U)2=1 D(Z)=E(Z2)一E(Z) 2=1 一【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以 X 的分布函数为(U，V)的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1
13、 ，0)，(1，1)P(U=0，V=0)=P(X1，X2)=P(X1)=F(1)=1 一 e 一 2；P(U=0，V=1)=P(X1，X 2)=0；P(U=1，V=1)=P(X 1，X2)=P(X2)=1 一 F(2)=e 一4；P(U=1，V=0)=P(X1，X2)=e 一 2 一 e 一 4(U ，V)的联合分布律为【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 由 U 得 E(U)=e 一2，E(V)=e 一 4，E(UV)=e 一 4，E(U 2)=e 一 2，E(V 2)=e 一 4，则 D(U)=E(U2)=E(U)2=e一 2 一 e 一 4， D(V)=E(V2)一E(V) 2=e
14、一 4 一 e8，Cov(U，V)=E(UV) 一 E(U)E(V)=e 一 4一 e 一 6，于是 UV=【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 利用随机变量分解法设随机变量 X 表示停靠的总的次数，令Xi= 则 X=X2+X3+X11，E(X)=【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 E(X)= 一 +xf(x)dx=0【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 因为 Cov(X，|X|)=EX|X| 一 EX E|X|=EX|X| =一 +x|x|f(x)dx=0， 所以 X，|X|不相关【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 对任意的 a0，PXa ，|X|a
15、)=P|X|a，而 0P(Xa)1，所以 PXa，|X|a)P|X|aP(Xa)，故|X|，X 不相互独立【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 (3)因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 Z 服从正态分布，同时 X 也服从正态分布，又 X，Z 不相关，所以 XZ 相互独立【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 因为 X1，X 2，X m+n 相互独立，所以【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 Cov(Y，Z)=Cov(X 1+Xm)+(Xm+1+Xn)，X m 一 1+Xm+n=Cov(X1+Xm，X m+1+Xm+n)
16、+Cov(Xm+1+Xn，X m 一 1+Xm+n)=D(Xm+1+Xn)+Cov(Xm+1+Xn，X n+1+Xm+n)=(n 一 m)2 则 YZ=【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 因为 X1，X 2，X n 独立且都服从正态分布，所以 Y1+Yn 服从正态分布，【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 因为 X，Y 都服从 N(， 2)分布，所以且 U，V 相互独立，则X=U+，Y=aV+，故 Z=max(X，y)=max(U ，V)+，由 U，V 相互独立得(U， V)的联合密度函数为 (一u， +) 于是 E(Z)=Emax(U，V)+ 而 Emax(U，V)= 一 +du一+max(u，)f(u，)d【知识模块】 概率统计
