1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 24 及答案与解析一、填空题1 设随机变量 X 服从标准正态分布 N(0，1)，则 E(Xe2X)=_。2 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(1，0；1，1；0)，则 P(XYY0=_。3 设随机变量 X 服从(一 a，s)上的均匀分布(a 0)，且已知 P(X1)= ，则a=_，D(X)=_。4 随机变量 X 的密度为： 且知 EX=6，则常数A=_，B=_。5 设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(4，5)，Y N(一 2，9)，Z N(2，2)，则 P0X+YZ3=_。6 对随机变量 X，Y，Z，已知 EX=EY=1，EZ= 一 1，DX=D
2、Y=1，DZ=4 ， (X,Y)=0， (X,Y)= ， (Y,Z)= ( 为相关系数) 则 E(X+Y+Z)=_，D(X+Y+Z)=_， cov(2x+Y，3Z+X)=_。二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为且 PX2=Y2)=17 求二维随机变量(X，Y)的概率分布；8 求 Z=XY 的概率分布；9 求 X 与 Y 的相关系数 XY。9 设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为10 求 PX=2Y；11 求 cov(X-Y，Y)11 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布。记U=maxX，Y，V=minX
3、 ，Y。12 求 V 的概率密度 fY()；13 求 E(U+V)。13 设随机变量 X 的概率分布为 PX=1=PX=2= 。在给定 X=i 的条件下，随机变量 Y 服从均匀分布 U(0，i)(i，2) 。14 求 Y 的分布函数 FY(y)；15 求 EY。16 设随机变量 X，y 的概率分布相同，X 的概率分布为且 X 与 Y 的相关系数 ()求(X，Y) 的概率分布；() 求 PX+Y1。17 设随机变量 X 的概率密度为 对 X 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 Y 为观测次数。 ()求 Y 的概率分布；()求 EY。18 设随机变量 X 的密度为
4、求 Emin(1，|X|) 。19 已知随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从2，4上的均匀分布 YN(2，16)。求cov(2X+XY，(Y 一 1)2)。20 随机变量 X 可能取的值为一 1，0，1且知 EX=01，EX 2=09，求 X 的分布列。21 在ABC 中任取一点 P，而ABC 与ABP 的面积分别记为 S 与 S1。若已知S1=12，求 ES1。22 袋中装有黑白两种颜色的球，黑球与白球个数之比为 3：2现从此袋中有放回地摸球，每次摸 1 个。记 X 为直至摸到黑、白两种颜色都出现为止所需要摸的次数，求 E(X)。23 已知线段 AB=4，CD=1，现分别独立地在 AB
5、上任取点 A1，在 CD 上任取点C1，作一个以 AA1 为底、OC 1 为高的三角形，设此三角形的面积为 S，求 P(S1)和 D(S)。24 设随机变量 X 在区间(一 1，1)上服从均匀分布， Y=X2，求(X ，Y)的协方差矩阵和相关系数。25 现有 K 个人在某大楼的一层进入电梯，该楼共 n+1 层。电梯在任一层时若无人下电梯则电梯不停(以后均无人再入电梯)。现已知每个人在任何一层(当然不包括第一层)下电梯是等可能的且相互独立，求电梯停止次数的平均值。26 设某种元件的寿命为随机变量且服从指数分布。这种元件可用两种方法制得，所得元件的平均寿命分别为 100 和 150(小时)，而成本
6、分别为 C 和 2C 元。如果制造的元件寿命不超过 200 小时，则须进行加工，费用为 100 元。为使平均费用较低，问 C 取何值时，用第 2 种方法较好?考研数学三（概率统计）模拟试卷 24 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 2e 2【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知 XN(1，1)，yN(0 ，1)，且 X 与 Y 独立。可得 X 一1N(0 ，1) ，于是 P(y0)= P(XYY0)=PY(X 一 1)0=PY 0，X 一10)+Py 0，X 一 10)【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 3；3【试题解析】 X 的概率密
7、度为：【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 【试题解析】 这是指数分布，可知 =A=一 B，而 6=EX=【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 02734【试题解析】 E(X+YZ)=EX+EY 一 EZ=422=0，D(X+YZ)=DX+DY+DZ=5+9+2=16X+YZN(0，16)，故 P0X+YZ3)=P0一 (0)=0773405=02734【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 1； ；3【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 由 P(X2=Y2)=1，可得：P
8、(X=0，Y=一 1)=P(X=1，Y=0)=P(X=0，Y=1)=0 由联合分布律、边缘分布律之间的关系，可得(X ，Y)的联合(含边缘)分布列如表所示。【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 由(X，Y)的联合分布列易知 Z=XY 可能取的值为一 1，0，1，易得：【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 由(X，Y)的分布(及 X，Y 的分布 )，易知：【知识模块】 概率与数理统计【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 PX=2Y)=PX=0，Y=0)+PX=2，Y=1=【知识模块】 概率与数理统计11 【正确答案】 由(X，Y)的分布可得 X，Y 及 XY 的分布分别
9、为：【知识模块】 概率与数理统计【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 由题意，可得 X，Y 的概率密度为【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】 设 U 的分布函数为 FU(u)，U 的概率密度为 FU(u)则【知识模块】 概率与数理统计【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 F Y(y)=P(Yy)=P(Yy|X=1)P(X=1)+P(Yy|X=2)P(X=2)由题意可得：【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 由() 得 Y 的概率密度为【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统
10、计18 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 cov(2X+XY，(y 一 1)2)=cov(2X+XY，Y 2 一 2Y+1)=cov(XY，Y 2一 2Y)=cov(XY，Y 2)一 2coy(XY，Y)=E(XY 2)一 E(XY)E(Y2)一 2E(XY2)一 E(XY)EY3=EXEY2 一 EXEYEY2 一 2EEXE(Y2)一 EX(EY)2，本题中 EX=3，EY=2，E(Y 2)=DY+(EY)2=16+22=20， 所以 Y=4+2，注意 E=0，E( 2)一D+(E)2 一 1，E( 3)=-+x3 =0，E(Y 3)=E(4+2)3=64E()
11、+96E(2)+48E+8=640+961+480+8=104，代回得 cov(2X+XY，(Y 1)2)=96。【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 由题意，X 的分布列可设为： 且知：a+b+c=1，01=EX=a+c ，09=E(X 2)=(一 1)2a+12c=a+c。可解得a=04，b=01，c=05，代回分布列表达式即可。【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 如图建立坐标系，设 AB 长为 r， ABC 高为 h，C 点坐标为(u，h)。设ABC 所围区域为 G，则 G 的面积 S= =12又设 P 点坐标为(X， Y)，则随机变量 (X，Y)在 G 上服从均匀
12、分布，其概率密度为【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计23 【正确答案】 记 AA1 长度为 X，CC 1 长度为 Y，则知 X 与 Y 为二相互独立的随机变量，分别服从区间0，4和0，1 上的均匀分布，(X，Y) 的概率密度为【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 X 的概率密度为：【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 记用第一、第二种方法制得的元件的寿命分别为 X,Y，费用分别为 、，则知 X、Y 的概率密度分别为：E=(C+100)P(X200)+CP(X200)=C+100P(X200)，E =(2C+100)P(Y200)+2CP(Y200)=2C+100P(Y200)，于是 E 一 E=C+100P(Y200)一 P(X200)=C+【知识模块】 概率与数理统计
