1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 对事件 A，B，已知 0P(A)1，P(B)0，P(B|A)=P(B| )。则：（A）P(A|B)=P( |B)（B） P(AIB)P( |B)（C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(AB)P(A)P(B)2 设随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是：（A）X=Y（B） PX=Y=0（C）（D）PX=Y=1二、填空题3 对事件 A，B，已知 则 P(A)=_， P(B)=_。4 对事件 A、B，已知 =08，P(B)=0 3，则 P(A)=_， P(
2、AB)=_，5 设两两独立的三事件 A，B，C 满足条件：则 P(A)=_。6 设在 3 次独立试验中，事件 A 出现的概率均相等且 A 至少出现一次的概率为 ，则在 1 次试验中，A 出现的概率为_。7 设甲、乙两人独立地射击同一目标，其命中率分别为 06 和 05则已命中的目标是被甲射中的概率为_。8 设 ，则 A，B ，C都不发生的概率为_。9 连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于_。10 设随机变最 X 的分希函数为则 X 的概率分布为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 从 6 双不同的手套中任取 4 只，求(1)恰有一双配对的概率；(2)至少有 2 只可
3、配成一双的概率。12 某城市共有 N 辆汽车，车牌号码从 1 到 N。有一人将他所遇到的该城市的 n 辆汽车的车牌号码(可能有重复的号码)全部抄下来，假设每辆汽车被遇到的机会相同，求抄到的最大号码正好是 k(1kN)的概率。13 一袋中装有 N 一 1 只黑球及 1 只白球，每次从袋中随机地取出一球，并换人一只黑球，这样继续下去、问第 k 次取出的是黑球的概率是多少?14 将 n 个同样的盒子和 n 只同样的小球分别编号为 1，2，n。把这 n 只小球随机地投入 n 个盒子中，每个盒子中投入一只小球。问至少有一只小球的编号与盒子的编号相同的概率是多少?15 在线段 AB 上，有一点 C 介于
4、A，B 之间，线段 AC 长为 a，线段 CB 长为 b，且 ab。在线段 AC 上任取一点 X，在线段 CB 上任取一点 Y，求长度为AX，XY，YB 线段可构成三角形的概率。16 对目标进行三次独立炮击。第一次命中率为 04，第二次命中率为 05，第三次命中率为 07目标中一弹而被击毁的概率为 02，中两弹被击毁的概率为06，中三弹被击毁的概率为 08(1)求目标被击毁的概率；(2)已知目标被击毁，求目标中两弹的概率。17 在随机地抛掷两枚均匀骰子的独立重复试验中，求两枚骰子点数和为 5 的结果出现在它们的点数和为 7 的结果之前的概率。18 乒乓球比赛采用 5 局 3 胜制，甲、乙两人在
5、比赛中，各局甲胜的概率为 06，且前 2 局皆为甲胜。求甲最终赢得比赛胜利的概率。19 设袋中有 7 红 6 白 13 个球，现从中随机取 5 个球，分(1)不放回；(2)放回两种情形下，写出这 5 个球为 3 红 2 白的概率(写出计算式即可)。20 乒乓球盒中有 15 个球，其中有 9 只新球和 6 只旧球。第一次比赛时任取 3 只使用，用后放回(新球使用一次就成旧球)。第二次比赛时也任取 3 只球，求此 3 只球均为新球的概率(写出计算式即可)。21 3 架飞机(其中有 1 架长机和 2 槊僚机)去执行轰炸任务，途中要过一个敌方的高炮阵地。各机通过高炮阵地的概率均为 08，通过后轰炸成功
6、的概率均为 03，各机间相互独立，但只有长机通过高炮阵地才有可能轰炸成功。求最终轰炸成功的概率。22 已知随机变是 X 的概率分布为 PX=1=02，P(X 一 2)=03，PX=3)=05试写出其分布函数 F(x)。23 设随机变量 X 在区闻(1，2)上服从均匀分布，试求随机变量 y=e2X 的概率密度f(y)。24 设随机变量 X 的分布函数为25 设随机变量 X 在2，5上服从均匀分布，现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率。25 一电子仪器由两个部件构成，以 X 和 Y 分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)，已知 X 和 Y 的联合分布函数为：26 问
7、X 和 Y 是否独立?27 求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率。28 对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为 72 分，96 分以上的占考生总数的 23，试求考生的外语成绩在 60 分至84 分之间的概率。表中 (x)是标准正态分布函数。29 一辆汽车沿一街道行驶，要过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红、绿两种信号显示的时间相等。以 X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率分布。30 设测量误差 XN(0，10 2)。试求在 100 次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于
8、 196 的概率 a，并用泊松分布求出口的近似值(要求小数点后取两位有效数字)。30 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为31 求 X 的概率密度 fx(x)；32 求 PX+Y1。考研数学三（概率统计）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 P(B|A)= ，化简知应选(C)。【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计二、填空题3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 045；02；045；025；01；09【试题解析】 【
9、知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 x【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 【试题解析】 设 1 次试验中 A 出现的概率为 p，则 =PA 至少出现 1 次=1 一PA 出现 0 次)=1 一 C30p 0(1 一 P)3-0=1 一(1 一 p3)，故 p=【知识模块】 概率与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 记 A=甲击中目标，B=乙击中目标，C=目标被击中，则 P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)=06+050605=08，所求概率为 P(A|C)=，P(AC)=P(A)=06，故 P(A|C)=【知识模块】 概率与数理统计8 【正
10、确答案】 【试题解析】 =1 一P(A)+P(B)+P(C) 一 P(AB)一 P(AC)一 P(BC)+P(ABC)0P(ABC)P(AB)=0，可得P(ABC)=0)故应填【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 0【试题解析】 这是连续型随机变量的一个结论。【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 F(x)为一阶梯状函数，则 X 可能取的值为 F(x)的跳跃点：一1，1，3P(X=一 1)=F(一 1)一 F(一 10)=04P(X=1)=F(1)一 F(1 一 0)=0804=04P(X=3)=F(3)一 F(3 一 0)=108=02【知识模块】 概率与数理统
11、计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 分子的思路：从 6 双手套中任取一双(即题目要求的配对的一双)有 C61 种取法；剩下的 2 只必取自于 2 双中，从剩下的 5 双中取 2 双，有 C52 种取法；设这两双是 A 一 a 与 B 一 b，然后从 A 一 a 中任取 1(有C21 种取法 )，从 B 一 b 中任取 1(也有 C21 种取法)，根据乘法原则相乘即可。分子也可是 C51(C 102 一 5)，关于 C61 解释同上，然后从剩下的 10 只手套中任取 2 只(有 C102 种取法)，再减去这 2 只为同一双的 5 种可能(因题目为“恰一双配对”
12、) 。，分子无非是加上“取的 4 只恰为 2 双” 这一情形，即加上 C62。【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 这相当于一个有放回的袋中摸球模型。第 1 个号有N 种可能，第 2 个号也有 N 种可能(可以与第 1 个号重复)，余类推，共有 Nn 种取法，此即分母。若问的是：“最大号码不超过 k 的概率” ，那么分子应为：第 1 个号有 k 种取法，第 2 个号也有 k 种取法，余类推，有 kn 种取法。同理，“最大号码不超过 k 一 1 的概率” 的分子应为 (k 一 1)n，二者相减，即为“ 最大号码正好是 k 的概率”的分子(注意这时 k 必须要取到 )。【知识模块】 概率
13、与数理统计13 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 如图 1 建立坐标系(提示：定长为 a+b 的线段 AB 分成 3 段时，3段长能构成三角形等价于各段长小于总长的一半即 ，请思考)3 段长为 x、yx 及 a+b 一 y(x、y 分别为点 X、Y 的坐标)，而(x，y)可能取的值为图 2 中的矩形，现要求 ，与矩形相交为图 2 中阴影部分 G，矩形面积(即 的测度) 为 ab，而 G 的面积( 测度)为【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 (1)记 Ai=第 i 次射击时击中目标)(i=1，2，3)，B=目
14、标被击毁 ，则【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 记 Ai=第 i 局甲胜，i=3，4，5所求概率为 P(A3A4A5)=1 一 04 3=0936【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 相当于做了 5 次独立重复试验，每次只有 2 个结果：摸红球 ，而问的是：“摸红球发生 3 次的概率” ，属贝努里概型。【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 记 Ai=第 1 次取的 3 只球中有 i 只新球)，B=第 2 次取的 3 只球均为新球)，则 P(Ai)=(C63C93+C62C91C61+C61C92C73+C93C6
15、3)。【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 设长机为 A，另 2 架僚机分别为 B、C，记 A1=A 通过高炮阵地)，B1=B 通过高炮阵地) ，C 1=C 通过高炮阵地 ，A 2=A 轰炸成功，D=最终轰炸成功，由题意 ，得【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 F(X)=PXx。当 x1 时，F(x)=0 当 1x2 时，F(z)一 PXl一 02 当 2x3 时，F(x)=PX=1)+PX=2)=02+03=0 5 当 x3 时，F(x)=PX=1)+PX=2)+PX=3)=02+0 3+05=1 故【知识模块】 概率与数理统计23 【正确答案】 X 的概率密度为： 而
16、 Y 的分布函数FY(y)=Pyy)=Pe2Xy)。由 X 的取值范围，可见当 Y0 时，F Y(y)=0，f(y)=F Y(y)=0； 故得【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 1；【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 由题意，X 的概率密度为：【知识模块】 概率与数理统计【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 关于 X 的边缘分布函数为同理，关于 Y 的边缘分布函数为 故当x0，y0 时，F X(x)Fy(y)=(1 一 e-05x )(1 一 e-05y )=1 一 e-05x 一 e-05y 一 e-05(x+y)=F(x，y)而当 x0 或
17、y 0 时，F X(x)F y(y)=0=F(x，y)故 (x，y) R2，均有 FX(x)FY(y)=F(x，y)，X 和 Y 独立。【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 X 与 Y 独立，故 P(X100，Y100)=P(X 100)P(Y100)=1一 FX(100)1 一 FY(100) =e-05100 e -05100 e-100【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 设该地考生的外语成绩为 X，由题意，【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 由题意，X 可能取的值为 0，1， 2，3【知识模块】 概率与数理统计30 【正确答案】 设在 100 次测量中，
18、有 Y 次的测量误差的绝对值大于 196，则YB(100，p)。其中=1 一(196)一 (一 196)=22(196)=2 20975=005 故=1 一 C1000005 0095 100 一C1001 005 1095 99 一 C1002005 2095 98用泊松分布逼近时，=1000 05=5【知识模块】 概率与数理统计【知识模块】 概率与数理统计31 【正确答案】 f X(x)=-+f(x，y)dy 当 x0 时，f(x，y)=0，f X(x)=0 当 x0 时，FX(x)=r+e-ydy=e-y 故【知识模块】 概率与数理统计32 【正确答案】 P(X+Y1)【知识模块】 概率与数理统计
