1、考研数学三（无穷级数）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当x1 时，级数 的和函数是 ( )（A）ln(1 x)（B）（C） ln(x1)（D）ln(x 1)2 设 un=(1) nln(1+ )，则级数 ( )3 函数项级 的收敛域为 ( )（A）(1，1)（B） (1，0)（C） 1，0（D）1，0)4 函数 f(x)= 展开为(x1)的幂级数，则其收敛半径 R 等于 ( )（A）（B） 2（C） 4（D）15 已知级数(1) ，则 ( )（A）级数(1)收敛，级数 (2)发散（B）级数 (1)发散，级数(2)收敛（C）两级数都收敛
2、（D）两级数都发散6 当级数 都收敛时，级数 ( )（A）一定条件收敛（B）一定绝对收敛（C）一定发散（D）可能收敛，也可能发散7 级数 (a 为常数) ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 a 有关8 若正项级数 收敛，级数 发散，则 ( )9 设数列a n单调减少， (n=1，2，)无界，则幂级数an(x1) n 的收敛域为 ( )（A）(1，1（B） 1，1)（C） 0，2)（D）(0 ，210 设 un0(n=1，2，)，且 ( )（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）敛散性由所给条件无法确定二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求 (a
3、为常数， 0a e)12 求13 判别下列级数的敛性(k1，a1) ：14 判别级数 的敛散性15 判别级数 的敛散性16 判别级数 的敛散性17 判别级数 的敛散性18 已知 fn(x)满足 fn(x)=fn(x)+xn1 ex(n 为正整数)，且 fn(1)= ，求函数项级数之和19 设有两条抛物线 y=nx2+ 和 y=(n+1)x2+ ，记它们交点的横坐标的绝对值为an求：(1)这两条抛物线所围成的平面图形的面积 Sn(2)级数 的和20 将函数 f(x)= 展开成 x 的幂级数，并指出其收敛区间21 求幂级数 的收敛域与和函数，并求 的和22 设 an=0nxsinx dx， n=1
4、，2，试求 的值23 求级数 的和函数24 求幂级数 的和函数 S(x)25 判断下列正项级数的敛散性：26 设 都是正项级数试证：27 证明：级数 条件收敛28 设 u1=2， un+1= (n=1，2，)证明：级数 收敛29 试判断级数 的敛散性30 设 是正项级数，并设 =b(1) 求证：若 b1，则 收敛；若b1，则 发散；(2)当 b=1 时，试举出可能收敛也可能发散的例子31 根据阿贝尔定理，已知 (xx 0)n 在某点 x1(x1x0)的敛散性，证明该幂级数的收敛半径可分为以下三种情况： (1)若在 x1 处收敛，则收敛半径Rx 1x 0；(2) 若在 x1 处发散，则收敛半径
5、Rx 1x 0；(3)若在 x1 处条件收敛，则收敛半径 R=x 1x 032 设幂级数 在 x=0 处收敛，在 x=2b 处发散，求幂级数 的收敛半径 R 与收敛域，并分别求幂级数 的收敛半径33 将 y=sinx 展开为(x )的幂级数34 将 f(x)= 展开为(x+1) 的幂级数35 设 f(x)= (1)将 f(x)展开为 x 的幂级数；(2)分别判断级数的敛散性36 设 an= ，n=1，2证明：级数 收敛，并求其和37 (1)证明 (2)求38 求级数39 (1)求函数项级数 ex2xnx ln2ln3S(x)dx40 设数列a n满足 a1=a2=1，且 an+1=an+an1
6、 ，n=2 ，3，证明：在x时幂级数 收敛，并求其和函数与系数 an41 设 (1)求 y(0)，y(0) ，并证明：(1x 2)yxy=4；(2)求 的和函数及级数的值考研数学三（无穷级数）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 设 S(x)= (x1)，则 S(0)=0因故 S(x)=0xS(x)dx+S(0)=0x dx+0=ln(1x)=1n 【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 C【试题解析】 为交错级数， 为正项级数因u n=u n+1，且 =0，则由莱布尼茨定理， 收敛因 发散【知识模块】 无穷级数
7、3 【正确答案】 D【试题解析】 因 令 y=x+ ，原级数为 ，而= =2，故 R= 又因 y= 发散而 y= 时，收敛，从而 的收敛域为 又因 y=x+，所以1，0)为原级数 的收敛域【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 B【试题解析】 因 (1+x)m=1+mx+ xn+，其中1x1，故1 1，有2x12，所以 R=2【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 D【试题解析】 设 un=1 ，则u 2n为单调增数列，故0，从而级数(1) 发散，由级数 发散的定义可知，级数(2)一般项极限不为零，故发散【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 B【试题解析】 因级数 都为正项级数，且收敛，又a
8、 nbn=由比较审敛法， a nbn收敛，即 anbn 绝对收敛【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 D【试题解析】 当 a=0 时， 为交错级数，当 n3 时满足莱布尼茨定理，所以收敛当 a=1 时， 不趋于零，发散，所以，敛散性与 a 有关【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 C【试题解析】 级数 =0=存在 N，当 nN 时，an2an，由比较审敛法， an2 必收敛【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查交错级数的莱布尼茨判别法和幂级数的收敛区间、收敛域的概念，是一道综合了多个知识点的考题因数列a n单调减少，且=0，故根据莱布尼茨判别法知，交错级数 (
9、1) nan 收敛，即幂级数an(x1) n 在 x=0 处条件收敛；又 Sn= ak(n=1，2，)无界，所以幂级数an(x1) n 在 x=2 处发散；综上，幂级数 an(x1) n 的收敛域为0，2) ，故答案应选(C)【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 C【试题解析】 由 =0所考查级数为交错级数，但不能保证 的单调性，不满足莱布尼茨定理的条件，于是按定义考查部分和 故原级数收敛再考查取绝对值后的级数发散，所以 发散【知识模块】 无穷级数二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 利用级数的收敛，求数列极限或证明数列收敛若 收敛，则=0对于级数 ，由【知
10、识模块】 无穷级数12 【正确答案】 由 为正项级数，设 un= ，由【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 (1)因为 1，所以该级数收敛(2)因为 =01，所以该级数收敛(3)因为 1，所以该级数收敛【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 易知当 n充分大时， 单调递减且此数列收敛于 0，由莱布尼茨判别法知，级数 收敛【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 0u n= ，故原级数收敛【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 由泰勒公式， 由于，表明级数 发散；而级数 (条件)收敛，故原级数发散【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 u n= 设f(x)= 0，f(x) 单调减少，因
11、此级数 满足莱布尼茨判别法条件，是条件收敛的但级数发散因为收敛级数与发散级数的代数和是发散级数，故原级数发散【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 由题设条件知，函数 fn(x)满足一阶线性非齐次微分方程 fn(x)f n(x)=xn1 ex，其通解为 fn(x)=ex( +C)由条件 fn(1)= 得 C=0，所以，f n(x)=ex，于是 记 S(x)= ，容易求出其收敛域为 1，1)，且 S(0)=0，当 x(1，1)时，求导得 S(x)= 于是得 S(x)=S(0)+0xS (t)dt=0x dt=ln(1x)由 S(x)=ln(1x)在 x=1 点的连续性知，上述和函数在 x=1
12、点也成立于是，当1x1 时，有 fn(x)=exS(x)=e xln(1x)【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 (1)解方程 nx2+ =(n+1)x2+ ，得两条抛物线交点的横坐标的绝对值为 an= 根据对称性可得(2)因为，n=1，2，所以【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 f(x)= 由已知展开式知【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 =x 3，当x1 时，幂级数收敛；当x1 时，幂级数发散；当 x=1 时，级数为 ，收敛；当x=1 时，级数为 ，发散所以，幂级数的收敛域为(1，1记 S(x)=，(x)=xS(x)= ，一 1 x1，则 (0)=0，S(0)=1 ，且(x
13、)= ，1x1因为于是令 x=1，得【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 令 x=nt，则an= n0(nt)sintdt=n 0nsinxdx 0n sinxdx，所以an= 0nsinx dx= 0sinxdx=n2，n=1 ，2，记 S(x)=， n2xn，1x1 ，因为 ， 1x1，逐项求导，得，1x1整理得 ，1x1再次逐项求导，得 ，1x1整理得 ，1x1从而【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 又 y(0)=1，y(0)=0 于是得到如下微分方程： 特征方程为r21=0，r=1，得通解：y=C 1ex+C2ex 求导，得 y=C1exC 2ex 将初值条件代入，解得 C1
14、=C2= 故 (ex+e x)，x+ 【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 因为 =0，所以该幂级数的收敛域为(，+) 由 S(x)= 逐项求导 4 次，依次得整理得 S(4)(x)S(x)=0 解此四阶常系数齐次线性微分方程得 S(x)=C1ex+C2ex +C3cosx+C4sinx代入初值条件 S(0)=1，S(0)=S(0)=S(0)=0，得 C1=C2= ，C 3= ，C 4=0所以 S(x)=【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 (1)显然，0 收敛，由比较审敛法得 收敛(2)因 收敛，则由比较审敛法得 收敛(3)因又因发散，则由比较审敛法得 发散【知识模块】 无穷级数26
15、 【正确答案】 (1) un 收敛，且有 收敛(2)u n 单调减少 =un+1un=un+12unun+1=un+1 收敛(3)(4)【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 是交错级数，但不满足莱布尼茨判别法的(2)，故莱布尼茨判别法失效因为u= ，所以由正项级数的比较审敛法知，发散，又因为 S2n =由于上式每个括号都小于 0，所以S 2n单调递减，再由 S2n知S 2n单调递减有下界，故S 2n收敛，记 =S，易知 =0，则=S+0=S所以，原级数的部分和数列S n收敛，从而级数收敛，所以，原级数条件收敛【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 由算术平均值不小于其几何平均值得un+1
16、= =1，即数列u n有下界 1，由此又得un+1u n= (1u n2)0，即u n单调减少，则根据单调有界准则知极 必存在，由u n单调减少知所考虑的级数为正项级数，且有0 unu n+1因 Sn= (uku k+1)=u1u n， 存在，故极限存在，则由级数敛散性的定义知级数 收敛于是，由比较审敛法得原正项级数 收敛【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 由于该级数的通项 un= ，且当 n2 时有 0 ，因此 sin 0，则题给的级数是交错级数，它可以改写为因u n= ，且当 n2 时发散，由比较审敛法知 发散，又因=1，则由极限形式的比较审敛法知 发散，即题给的级数不是绝对收敛显然
17、，数列u n满足 =0，设函数f(x)=sin ，则在 x2 时， f(x)= 0，故 f(x)在2，+)内单调减少，从而数列u n单调减少，于是，题给的级数 满足莱布尼茨定理的条件，故它是收敛的，且是条件收敛【知识模块】 无穷级数30 【正确答案】 (1)设 b1，任取 0，使得 be1，因为N，当 nN 时，因 b1，所以 收敛，由正项级数的比较审敛法知 收敛又假设 b1，任取 0，使得 b+1，因为 N，当 nN 时，因 b+1，所以 发散，由正项级数的比较审敛法知 发散(2)级数 发散，这时 b= =1；级数 根据积分审敛法易知其收敛，这时令 x=lnn，n+=x+ ，则有所以有 b=
18、 =1【知识模块】 无穷级数31 【正确答案】 根据阿贝尔定理，(1)(2)是显然的对于(3)，因幂级数an(xx 0)n 在点 x1 处收敛，则 Rx 1x 0；另一方面，因幂级数 an(xx 0)n在点 x1 处条件收敛，则 Rx 1x 0因若不然，则该点是绝对收敛，而不是条件收敛，这与题设矛盾于是，综合上述两方面得该幂级数的收敛半径R=x 1x 0【知识模块】 无穷级数32 【正确答案】 令 t=x b，收敛中心 x0=b 的幂级数 an(xb) n 化为收敛中心t0=0 的幂级数 antn根据阿贝尔定理可以得到如下结论：因为 an(xb) n 在 x=0处收敛，所以 antn 在 t=
19、b 处收敛，从而当tb=b时，幂级数antn 绝对收敛由于 an(xb) n 在 x=2b 处发散，故 antn 在 t=b 处发散，进而当tb时，幂级数 antn 发散由上述两方面，根据幂级数收敛半径的定义即知 anxn 的收敛半径 R=b，其收敛域为bx b注意到幂级数 分别经逐项求导和逐项积分所得，根据幂级数逐项求导、逐项积分所得幂级数的收敛半径不变的性质，即知它们的收敛半径都是 R=b【知识模块】 无穷级数33 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数34 【正确答案】 如果此题这样做：f(x)= 是行不通的改用“ 先积后导”的方法：【知识模块】 无穷级数35 【正确答案】 (1)把 f(
20、x)作初等变换，并利用几何级数 ，x1，则 f(x)展开为 x 的幂级数(2)根据幂级数展开式的唯一性得 f(x)在 x0=0 处的高阶导数则所考虑的都为正项级数取 vn=收敛因故由极限形式的比较审敛法得收敛注意到 发散【知识模块】 无穷级数36 【正确答案】 因为 收敛，故 收敛为求 的和，作 S(x)= ，x 1，1)，从而，【知识模块】 无穷级数37 【正确答案】 (1) (2)由于由待定系数法得，则【知识模块】 无穷级数38 【正确答案】 本题考查无穷级数的求和，涉及逐项积分和逐项求导的恒等变形，是常规考题本题要求 给出幂级数，其收敛区间为(，+) ，并记其和函数逐项积分得所以两边求导
21、得 S(x)= ，故【知识模块】 无穷级数39 【正确答案】 (1)该函数项级数的通项 un(x)=neux ，u n+1(x)=(n+1)e(n+1)x ，故，当 1，即 x0 时， un(x)收敛；当 x0 时， un(x)发散；当x=0 时，该级数成为 1+2+n+，显然是发散的，所以该级数当 x0 时收敛于S(x)(2)S(x)=e x +2e2x +nenx t+2t2+ntn+=t(1+2t+ntn1 +)=t(t+t2+tn+)= ，x0于是【知识模块】 无穷级数40 【正确答案】 (1)显然，a n是正项严格单调增加数列，且有a3=2，a 4=a2+a32a 3=22，假设 a
22、n2 n2 ，则有 an+1=an+an1 2a n2 n1 ，故由归纳法得 ann2 于是，所考虑的级数的通项有anx n1 (2x)n1 因级数 (2x)n1 在2x1 时收敛，故由比较审敛法知，级数 anxn1 在2x1，即x 时绝对收敛(2)原幂级数化为移项后得原幂级数的和函数为 (3)将 展开为 x 的幂级数，有而 又是幂级数 的和函数，则由幂级数展开式的唯一性，经比较系数得原幂级数的系数，【知识模块】 无穷级数41 【正确答案】 (1)由 y(x)= (2x)2n，得 y(0)=0；又 y(x)=，于是 y(0)=0，y(x)= 以下证明微分方程成立：(2)下面求解微分方程(1x 2)yxy=4首先，应该可以想到本题用“ 二阶可降阶”的方法，令 y=p，考生可以自练但是本题更好的做法如下：微分方程两边同乘以(想想看这个 是怎么推导出来的)，则有于是有 =4arcsinx+C根据 y(0)=0=C=0，即两边再积分，得=2arcsin2x+C，故 y(x)=2arcsin2x+C【知识模块】 无穷级数
