1、考研数学三（微积分）模拟试卷 96 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f（x）= 的间断点及类型是（ ）（A）x=1 为第一类间断点， x=1 为第二类间断点（B） x=1 均为第一类间断点（C） x=1 为第二类间断点，x= 1 为第一类间断点（D）x=1 均为第二类间断点2 设 f（ x）可导，F（x）=f （x）（1+|sinx| ），则 f（0）=0 是 F（x）在 x=0 处可导的（ ）（A）充分必要条件（B）充分条件但非必要条件（C）必要条件但非充分条件（D）既非充分条件也非必要条件3 设函数 f（x）连续，且 f（0）0，则存在
2、0，使得（ ）（A）f（x）在（0，）内单调增加（B） f（x）在（，0）内单调减少（C）对任意的 x（0， ）有 f（x）f（0）（D）对任意的 x（，0）有 f（x）f（0）4 函数）y=f（x）在（一，+）连续，其二阶导函数的图形如图 122 所示，则 y=f（x）的拐点个数是（ ）（A）1（B） 2（C） 3（D）45 由曲线 y=1（x1） 2 及直线 y=0 围成的图形（如图 131 所示）绕 y 轴旋转一周而成的立体体积 V 是（ ）6 设函数 u（x，y）=（x+y）+ （xy）+ xyx+y（t ）dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有（ ）7 累次积分 01d
3、xx1f（x，y）dy+ 12dy02yf（x，y） dx 可写成（ ）（A） 02dxx2f（x，y）dy（B） 01dxx2yf（x，y）dy（C） 01dxx2xf（x，y）dy（D） 01dxy2yf（x，y）dy8 设级数 un 收敛，则下列选项必为收敛级数的为（ ）9 正项级数 an2 收敛的（ ）（A）充要条件（B）充分条件（C）必要条件（D）既非充分条件，又非必要条件10 已知，y 1=x，y 2=x2，y 3=ex 为方程 y“+p（x）y+q（x）y=f （x）的三个特解，则该方程的通解为（ ）（A）y=C 1x+C2x2+ex（B） y=C1x2+C2ex+x（C） y=
4、C1（xx 2）+C 2（ xex）+x（D）y=C 1（xx 2）+C 2（x 2ex）二、填空题11 12 已知 y=13 函数 y=ln（12x）在 x=0 处的 n 阶导数 y（n） （0）=_。14 设某商品的收益函数为 R（p），收益弹性为 1+p3，其中 p 为价格，且 R（1）=1，则 R（p）=_ 。15 f（x ）= 则 14f（x 一 2）dx=_。16 设 f（x，y，z ）=e x+y2z，其中 z=z（x，y）是由方程 x+y+z+xyz=0 所确定的隐函数，则 fz（0，1，1）=_ 。17 设函数 f（u， ）具有二阶连续偏导数 z=f（x， xy），则18 级
5、数 的和为_。19 微分方程 y+y=excosx 满足条件 y（0）=0 的特解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 21 证明当 x0 时，（x 21）Inx（x1） 2 。22 23 设 f（x），g（x）在a ，b上连续，且满足 axf（t ）dt axg（t）dt ，x a，b），f（t）dt= abg（t）dt 。证明 abxf（x）dx axxg（x） dx。24 证明可微的必要条件：设 z=f（x，y）在点（x 0，y 0）处可微，则 fx（x 0，y 0）与 f（x 0，y 0）都存在，且 dz|x0，y0 =fx（x 0，y 0） x+fx（x 0，
6、y 0）y。25 求 f（x，y）=xe 一 的极值。26 求二重积分 其中 D 是由曲线 r=2（1+cos）的上半部分与极轴所围成的区域。27 求幂级数 的收敛区间与和函数 f（x）。28 已知函数 f（x）满足方程 f“（x）+f（x）2f（x）=0 及 f“（x）+f （x）=2e x。 （）求 f（x）的表达式； （）求曲线 y=f（x 2） 0xf（一 t2）dt 的拐点。考研数学三（微积分）模拟试卷 96 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 分别就|x|=1，|x|1，|x| 1 时求极限 得出 f（x）的分段
7、表达式：所以，x=+1 为 f（x）的第一类间断点，故选 B。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 令 （x）=f （x）|sinx|，显然 （0）=0 。由于而由（ x）在 x=0 处可导的充分必要条件是 +（0）与 （0）都存在且相等可知，若 f（0 ）=0，则必有 +（0）= （0）；若 +（0）= + （0），即有 f（0）= 一f（0），从而 f（0）=0 。因此 f（0）=0 是 （x）在 x=0 处可导的充分必要条件，也是 F（x）在 x=0 处可导的充分必要条件。故选 A。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 由导数定义，知 f（0）= 0。根据
8、极限的保号性，存在 0，使对任意 xU（0），有 0。于是当 x（一 ，0）时，有 f（x ）f（0）；当 x（0，）时，有 f（x） f（0）。故选 C。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 只须考查 f“（x）=0 的点与 f“（x）不存在的点。 f“ （x 1）=f“（x 4）=0，且在 x=x1，x 4 两侧 f“（x）变号，故凹凸性相反，则（ x1，f（x 1），（x 4，f（x 4）是 y=f（x）的拐点。 x=0 处 f“（0）不存在，但 f（x）在 x=0连续，且在 x=0 两侧 f“（x）变号，因此（0，f（0）也是 y=f（x）的拐点。 虽然 f“（x 3）
9、=0，但在 x=x3 两侧 f“（x）0，y=f（x）是凹的，（x 3，f（x 3）不是 y=f（x）的拐点。因此共有三个拐点。故选 C。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 根据选项，需要把曲线表示成 x=x（y），于是要分成两部分：则所求立体体积为两个旋转体的体积差，其中于是有 V=V1V2=01故选 D。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 先分别求出 再进一步比较结果。可见有 因此正确选项为 B。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 C【试题解析】 原积分域为直线 y=x，x+y=2 ，与 y 轴围成的三角形区域，故选C。【知识模块】 微积分8 【正确答
10、案】 D【试题解析】 因为级数（u n+un+1）收敛，故选 D。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 B【试题解析】 由于正项级数 an2 收敛。 因此，正项级数an2 收敛的充分条件，故选B。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 C【试题解析】 方程 y“+p（x）y+q （x）y=f（x）是一个二阶线性非齐次方程，则（xx 2）和（xe x）为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1（ x 一 x2）+C 2（x 一 ex）+x，故选 C。【知识模块】 微积分二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 x（1+x 2）【试题解析
11、】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 2 n（n1）!【试题解析】 将 ln（l+t）按照泰勒展开式展开成级数的形式令 t=2x 代入第 n 项可得比较系数可得 y=ln（12x）在 x=0 处的 n 阶导数为y（n） （ 0）= 2n（n1）！。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 由弹性的定义得【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 设 x2=t，dx=dt ，当 x=1 时，t=1；当 x=4 时，t=2。于是【知识模块】 微积分16 【正确答案】 1【试题解析】 已知 f（x，y，z）=e x+y22，那么有 fx（x，y，z）=e x+y2zx。在
12、等式x+y+z+xyz=0 两端对 x 求偏导可得 1+zx+yz+xyzx=0。 由 x=0，y=1 ，z=1，可得zx=0。 故 fx（0，1，1）=e 0=1。【知识模块】 微积分17 【正确答案】 xf 12“+f2+xyf22“【试题解析】 由题干可知， =xf12“+f2+xyf22“。【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 由麦克劳林公式易知【知识模块】 微积分19 【正确答案】 y=e xsinx【试题解析】 原方程的通解为 y=e 1dx（e xcosxe 1dxdx+C） =e x（cosxdx+C ）=e x（sinx+C ）。 由 y（0）=0 得 C=0
13、，故所求解为 y=exsinx。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 令 f（x）=（x 21）lnx（x1 ） 2，易知 f（1）=0。又可见，当 0x 1 时 f“（x）0，当 1x+时，f“（x）0。因此，当 0x+时， f“ （x）f“（1）=20。又由 f（x）是单调增函数，且 f（1）=0，所以当 0x1 时，f （x）0；当 1x+时，f （ x）0。因此，由 f（x）f（1）=0 （0x+ ），即证得当 x0 时，（x 21）lnx（x1） 2。【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【
14、知识模块】 微积分23 【正确答案】 令 F（x ）=f （x）g（x），G（x）=F（t ）dt，由题设 G（x）0，xa，b ），且 G（A ）=G（b）=0，G （x）=F （x）。 从而 abxF（x）dx=abxdG（x）=xG（x）| ab 一 abG（x）dx=一 abbG（x）dx，由于 G（x）0，xa，b ），故有一 abG（x）dx0，即 abxF（x）dx0。 因此 abxf（x）dxabxg（x） dx。【知识模块】 微积分24 【正确答案】 设 z=f（x，y）在点（x 0，y 0）处可微，则等式成立。令y=0，于是 令 Ax0 ，有于是证明了 fx（x 0，y 0
15、）与 fy（x 0，y 0）存在，并且 dz|（x0，y0） =fx（ x0，y 0） x+fy（x 0，y 0）y。【知识模块】 微积分25 【正确答案】 先求函数 f（x，y）=xe e2。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 积分区域 D 如图 1418，D 的极坐标表示是：0，0r2（1+cos ），因此【知识模块】 微积分27 【正确答案】 设 an=所以当x21 时，原级数绝对收敛，当 x21 时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（1，1）。【知识模块】 微积分28 【正确答案】 （）齐次微分方程 f“（x）+f（ x）2f （x）=0 的特征方程为r2+r2=0
16、，特征根为 r1=1，r 2=2，因此该齐次微分方程的通解为 f（x）=C1ex+C2e2x。再由 f“（ x）+f（x）=2e x 得 2C1ex3C2e2x=2ex，因此可知C1=1，C 2=0。所以 f（x）的表达式为 f（x）=e x。（）曲线方程为 ，则 令 y“=0 得 x=0下面证明 x=0 是 y“=0 唯一的解，当 x0 时，可得 y“0；当 x0 时，2x0，2（1 +2x2） 可得 y“0可知 x=0 是 y“=0 唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线 y=f（x 2） 0xf（一 t2）dt 在 x=0 左、右两边的凹凸性相反，因此（0，0）点是曲线 y=f（x 2） 0xf（一 t2）dt 唯一的拐点。【知识模块】 微积分
