1、考研数学三（微积分）模拟试卷 72 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 f(x)在 0 处可导，则|f(x)|在 x0 处( )（A）可导（B）不可导（C）连续但不一定可导（D）不连续2 设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f“(x)0，f(x)0，则当 x0 时有( )（A）f“(x)0，f(x)0（B） f“(x)0，f(x)0（C） f“(x)0，f(x)0（D）f“(x)0，f(x)03 设 f(x)为单调可微函数，g(x) 与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f(2)= ，f(4)=6，则 g(4)等于( )（A）（B）（C
2、）（D）44 设 f(x)在 x 一 a 的邻域内有定义，且 f+(a)与 f一 (a)都存在，则( )（A）f(x)在 x=a 处不连续（B） f(x)在 x=a 处连续（C） f(x)在 x=a 处可导（D）f(x)在 x=a 处连续可导5 下列命题成立的是( )（A）若 f(x)在 x0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在|x 一 x0| 内连续（B）若 f(x)在 x0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在|x 一 x0| 内可导（C）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续且 f(x)存在，则 f(x)在 x0 处可导，且 f(x0)= (x)（D）若 f(x)在
3、x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续且 f(x)不存在，则 f(x)在 x0处不可导6 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续不可导（C）可导但 f(x)在 x=0 处不连续（D）可导且 f(x)在 x=0 处连续7 函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是( )8 设 f(x)可导，则下列正确的是( )9 下列说法正确的是( ) 10 下列说法中正确的是( )（A）若 f(x0)0，则 f(x)在 x0 的邻域内单调减少（B）若 f(x)在 x0 取极大值，则当 x(x0 一 ，x 0)时，f(x)单调增加，当x(x0，x 0+)时，f(x)单调减少（
4、C） f(x)在 x0 取极值，则 f(x)在 x0 连续（D）f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值11 设 f(x)二阶连续可导， 则( )（A）f(2)是 f(x)的极小值（B） f(2)是 f(x)的极大值（C） (2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点12 设 f(x)在 x=0 的邻域内连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 =0，又 f(x)=一 2x2+0xg(x 一 t)dt，则( )（A）x=0 是 f(x)的极大值点（B） x=0 是 f(x)的极小
5、值点（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点13 设 f(x)二阶连续可导，且 =一 1，则( ) （A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点14 设函数 f(x)满足关系 f“(x)+f2(x)=x，且 f(0)=0，则 ( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（D）(0 ，f(0) 不是 y=f(x)的拐
6、点15 下列说法正确的是( )（A）设 f(x)在 x0 二阶可导，则 f“(x)在 x=x0 处连续（B） f(x)在a，b 上的最大值一定是其极大值（C） f(x)在(a，b) 内的极大值一定是其最大值（D）若 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点16 设 f(x)在a，+)上二阶可导， f(a)0，f(a)=0，且 f“(x)k(k0)，则 f(x)在(a， +)内的零点个数为( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个17 设 k0，则函数 f(x)=1nx 一 +k 的零点个数为( )（A）0 个
7、（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个18 曲线 y= 的渐近线的条数为( ) （A）0 条（B） 1 条（C） 2 条（D）3 条19 设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导数的图形如下页图，则 f(x)有( )（A）两个极大点，两个极小点，一个拐点（B）两个极大点，两个极小点，两个拐点（C）三个极大点，两个极小点，两个拐点（D）两个极大点，三个极小点，两个拐点二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设 x=x(t)由 sint 一 1x 一 teu2du=0 确定，求21 设 x3 一 3xy+y3=3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点22 设 f
8、(x)= 求 f(x)的极值23 设 f(x)连续，(x)= 01f(xt)dt，且 =A求 (x)，并讨论 (x)在 x=0 处的连续性24 设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足|f(x)一 2ex(x 一 1)2，研究函数f(x)在 x=1 处的可导性25 设 ，求 y26 设 f(x)= 且 f“(0)存在，求 a，b，c 26 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，f(0)=0，f( )一 1，f(1)=0 证明：27 存在 ( ，1)，使得 f()=；28 对任意的 k(一，+) ，存在 (0，)，使得 f()一 kf()一 =129 设 f(x)在0，2
9、上连续，在 (0，2)内二阶可导，且 =0，又 f(2)=，证明：存在 (0，2)，使得 f()+f“()=030 质量为 lg 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=10s 时，速度等于 50cm/s外力为 392cm/s 2，问运动开始 1min后的速度是多少？考研数学三（微积分）模拟试卷 72 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)在 x0 处可导得|f(x)|在 x0 处连续，但|f(x)|在 x0 处不一定可导，如 f(x)=x 在 x=0 处可导，但f(x)|=|
10、x|在 x=0 处不可导，选(C)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)为二阶可导的奇函数，所以 f(一 x)=一 f(x)，f(一 x)=f(x)，f“(一 x)=一 f“(x)，即 f(x)为偶函数，f“(x)为奇函数，故由 x0 时有 f“(x)0，f(x)0，得当 x0 时有 f“(x)0，f(x)0，选(A)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 所以选(B)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f+(a)存在，所以 存在，于是 =f(a)，即 f(x)在 x=a 处右连续，同理由 f 一 (a)存在可得 f(x
11、)在 x=a 处左连续，故 f(x)在x=a 处连续，选(B)【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 设 显然 f(x)在 x=0 处连续，对任意的x00，因为 不存在，所以 f(x)在 x0 处不连续，(A)不对；同理 f(x)在 x=0处可导，对任意的 x00，因为 f(x)在 x0 处不连续，所以 f(x)在 x0，处也不可导，(B)不对；因为 =f()，其中 介于 x0 与 x 之间，且 存在，所以 也存在，即 f(x)在 x0 处可导且f(x0)= ,选(C) ；令不存在，(D) 不对【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 显然 f(x)在 x=0 处连续
12、，因为所以f(x)在 x=0 处可导，当 x 0 时， 当 x0 时，所以 f(x)在 x=0 处连续，选(D) 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 存在，所以 f(x)在 x=1 处可导所以选 (D)【知识模块】 微积分8 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 D【试题解析】 则 f(x)在 x=0 的任意邻域内都不单调减少， (A)不对；f(x)在 x=0 处取得极大值，但其在 x=0 的任一邻域内皆不单调，(B)不对； f(x)在 x=1 处取得极大值，但 f(x)在 x=1 处不连续
13、， (C)不对；由 f“(0)存在，得 f(0)存在，又 f(x)为偶函数，所以 f(0)=0，所以 x=0 一定为 f(x)的极值点，选 (D)【知识模块】 微积分11 【正确答案】 A【试题解析】 即当 x(2 一 ，2) 时，f(x)0；当 x(2，2+)时，f(x) o，于是 x=2 为 f(x)的极小点，选(A) 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 C【试题解析】 由 =0 得 g(0)=g(0)=0，f(0)=0， f(x)=一 2x2+0xg(x 一 t)dt=一 2x2 一 0xg(x 一 t)d(x 一 t)=一 2x2+0xg(u)du，f“(x)=一 4x+g(x)，
14、f“(0)=0，f“(x)=一 4+g(x)，f“(0)=一 4 0，因为所以存在 0，当0|x| 时， 0，从而当 x(，0)时，f“(x)0，当 x(0，)时，f“(x)0，选(C)【知识模块】 微积分13 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)二阶连续可导，且 =0，即 f(0)=0又 =一 10由极限的保号性，存在 0，当 0|x| 时，有 0，即当 x(一 ，0)时，f“(x) 0，当 x(0，) 时，f“(x) 0，所以(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点，选(C)【知识模块】 微积分14 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(0)=0 得 f“(0)=0，f“(x)=1
15、2f(x)f“(x)，f“(0)=1 0，由极限保号性，存在 0，当 0|x| 时，f“(x) 0，再由 f“(0)=0，得故(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点，选(C)【知识模块】 微积分15 【正确答案】 D【试题解析】 令 不存在，所以(A)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D) 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(a)=0，且 f“(x)k(k0) ，所以 f(x)=f(a)+f(a)(x 一 a)+故 =+，再由 f(a)0 得 f(x)在(a，+)内至少有一个零点，又因为 f(a)=0，且 f“(x)k(k
16、0)，所以 f(x)0(xa)，即 f(x)在a，+)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)【知识模块】 微积分17 【正确答案】 C【试题解析】 函数 f(x)的定义域为(0 ，+) ，由 f(x)= =0 得 x=e，当0xe 时， f(x)0；当 xe 时，f(x)0，由驻点的唯一性知 x=e 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 f(e)=k0，又 =一，于是 f(x)在(0， +)内有且仅有两个零点，选(C)【知识模块】 微积分18 【正确答案】 D【试题解析】 因为 =，所以曲线 y= 无水平渐近线；由=+，得曲线 y= 有两条铅直渐近线；由(y 一 x)=0，得曲线 y= 有一条斜
17、渐近线 y=x，选(D)【知识模块】 微积分19 【正确答案】 C【试题解析】 设当 x0 时，f(x)与 x 轴的两个交点为 (x1，0)，(x 2，0)，其中x1x 2；当 x0 时，f(x)与 x 轴的两个交点为(x 3，0)，(x 3，0)，其中 x3x 4当xx 1 时，f(x)0，当 x(x1，x 2)时，f(x)0，则 x=x1 为 f(x)的极大点；当x(x2，0)时，f(x)0，则 x=x2 为 f(x)的极小点；当 x(0，x 3)时，f(x)0，则 x=0为 f(x)的极大点；当 x(x3，x 4)时，f(x)0，则 x=x3 为 f(x)的极小点；当 xx 4 时，f(
18、x)0，则 x=x4 为 f(x)的极大点，即 f(x)有三个极大点，两个极小点，又 f(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选(C) 【知识模块】 微积分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 因为 f 一 (0)f+(0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导于是令 f(x)=0 得 x=一 1 或 x= 当 x一 1 时，f(x)0；当一 1x0 时，f(x)0；当 0x 时，f(x)0；当 x 时，f(x)0故 x=一 1 为极小点，极
19、小值 f(一 1)=1 一 ；x=0 为极大点，极大值f(0)=1；x= 为极小点，极小值【知识模块】 微积分23 【正确答案】 因为所以 (x)在 x=0 处连续【知识模块】 微积分24 【正确答案】 把 x=1 代入不等式中，得 f(1)=2e当 x1 时，不等式两边同除以|x 一 1|，得【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 c=0，即由 f(x)在 x=0 处可导，得b=1，即 由 f“(0)存在，得 ，b=1，c=0【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分27 【正确答案】 令 (x)=f(x)一 x，
20、(x)在0，1上连续， (1)=一10，由零点定理，存在 使得 ()=0，即 f()=【知识模块】 微积分28 【正确答案】 设 F(x)=e 一 kx(x)，显然 F(x)在0，上连续，在(0，17)内可导，且 F(0)=F()=0，由罗尔定理，存在 (0，)，使得 F()=0，整理得 f()一 kf()一 =1【知识模块】 微积分29 【正确答案】 所以 f (1)=0.由积分中值定理得 由罗尔定理，存在 x0(f，2) (1，2)，使得 f(x0)=0令 (x)=exf(x)，则 (1)=cp(x0)=0，由罗尔定理，存在 (1，x 0) (0，2)，使得 ()=0，而 (x)=exf(x)+f“(x)且ex0，所以 f()+f“()=0【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由题意得 F= ，因为当 f=10 时， =50，F=392，所以k=196，从而 F= 分离变量得d=196tdt，【知识模块】 微积分
