1、考研数学三（微积分）模拟试卷 66 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设线性无关的函数 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)均是方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C1，C 2 是任意常数，则该方程的通解是 ( )（A）C 1y1+C2y2+y3（B） C1y1+C2y2 一(C 1+C2)y3（C） C1y1+C2y2 一(1 一 C1 一 C2)y3（D）C 1y1+C2y2+(1 一 C1 一 C2)y32 函数 y=Cx+ (其中 C 是任意常数)对微分方程 =x 而言， ( )（A）是通解（B）是特解（C）是解，但既非通解也
2、非特解（D）不是解3 微分方程 =0 的通解是 ( )（A）2e 3x+3ey2=C（B） 2e3x+3e-y2=C（C） 2e3x 一 3e-y2=C（D）e 3xe-y2=C4 设 y=f(x)是微分方程 y“一 2y+4y=0 的一个解，若 f(x0)0，且 f(x0)=0，则函数f(x)在点 x0 ( )（A）取得极大值（B）取得极小值（C）某个邻域内单调增加（D）某个邻域内单调减少5 设 f(x)，f(x)为已知的连续函数，则方程 y+f(x)y=f(x)f(x)的通解是 ( )（A）y=f(x)+Ce -f(x)（B） y=f(x)+1+Ce-f(x)（C） y=f(x)一 C+C
3、e-f(x)（D）y=f(x)一 1+Ce-f(x)6 微分方程 y“一 y=ex+1 的一个特解应具有形式 (式中 a，b 为常数) ( )（A）ae x+b（B） axex+b（C） aex+bx（D）axe x+bx二、填空题7 微分方程 满足初值条件 y(0)=0，y(0)= 的特解是_8 微分方程 y+ytan x=cos x 的通解为 y=_9 微分方程 ytan x=yln y 的通解是_10 微分方程 的通解是_11 设一阶非齐次线性微分方程 y+p(x)y=Q(x)有两个线性无关的解 y1，y 2，若y1+y2 也是该方程的解，则应有 +=_12 微分方程 的通解是_13 以
4、 y=7e3x+2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求解 ydx+(yx)dy=014 设 (x)是以 2 为周期的连续函数，且 (x)=(x)，(0)=015 求方程 y+ysin x=(x)ecosx 的通解；16 方程是否有以 2 为周期的解 ?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由17 求微分方程(4 一 x+y)dx 一(2 一 xy)dy=0 的通解18 求微分方程 y“一 2y一 e2x=0 满足条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解19 求微分方程 y“+2y一 3ye-3x 的通解20 设 y(x)是方程
5、 y(4)一 y“=0 的解，且当 x0 时，y(x)是 x 的 3 阶无穷小，求y(x)21 求方程 =(1 一 y2)tan x 的通解以及满足 y(0)=2 的特解22 求(y 3 一 3xy2 一 3x2y)dx+(3xy2 一 3x2y 一 x3+y2)dy=0 的通解：23 设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(2)=1，且函数 满足求 x 的表达式24 求二阶常系数线性微分方程 y“+y=2x+1 的通解，其中 为常数25 求解25 设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点26 试求曲线 L 的
6、方程；27 求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小28 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及到 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1S2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程29 求差分方程 yt+1+3yt=3t+1(2t+1)的通解。30 设 Yt，C t，I t 分别是 t 期的国民收入、消费和投资，三者之间有如下关系求 Yt考研数学三（微积分）模拟试卷 66
7、 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 C 1 y1+C2 y2+(1 一 C1C2)y3=C1(y1y3)+C2(y2 一 y3)+y3，其中y1 一 y3 和 y2 一 y3 是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解，又 y3 是原方程的一个特解，所以(D) 是原方程的通解【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 (1)因原方程阶数为二，通解中应包含两个任意常数(可求出通解为C1+C2x+ )；(2) 特解中不含有任意常数( 为特解)；(3)Cx+ 满足原方程，故选项(A)，(B)，(D)都不对，应选(C
8、)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 原方程写成 yy+ey2+3x=0，分离变量有 ye-y2dy+e3xdx=0积分得 2e 3x一 3e-y2=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x0)=0 知 x0 为驻点，且 f“(x0)+4f(x0)=0，又因 f(x0)0，故f“(x0)=一 4f(x0)0，所以在 x0 处函数取极大值【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 由一阶线性方程的通解公式得【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 根据非齐次方程 y“一 y=ex+1 可得出对应的齐次方程 y
9、“一 y=0，特征根 为 1=一 1， 2=1，非齐次部分分成两部分 f1(x)=ex，f 2(x)=1，可知 y“一y=ex+1 的特解可设为 e x+b【知识模块】 微积分二、填空题7 【正确答案】 x=e y 一 e-y【试题解析】 熟悉反函数的导数的读者知道，原方程可化为 x 关于 y 的二阶常系数线性方程将式代入原方程，原方程化为【知识模块】 微积分8 【正确答案】 (x+C)cos x，其中 C 为任意常数【试题解析】 属于一阶非齐次线性方程，直接根据一阶非齐次线性方程的方法即可得出答案【知识模块】 微积分9 【正确答案】 y=e Csinx，其中 C 为任意常数【试题解析】 原方
10、程分离变量，有 积分得 ln(ln y)=ln(sin x)+ln C，通解为 ln y=Csin x，或 y=eCsinx，其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分10 【正确答案】 y=(C 1+C2x)ex+1，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 原方程为二阶常系数非齐次线性微分方程其通解为 y=y 齐 +y*，其中 y 齐 是对应齐次方程的通解，y *是非齐次方程的一个特解 因原方程对应齐次方程的特征方程为 r22r+1=0，即(r 1)2=0，特征根为 r1，2 =1故 y 齐 =(C1+C2x)ex，其中 C1， C2 为任意常数又据观察，显然 y*=1 与 y 齐 合并即
11、得原方程通解【知识模块】 微积分11 【正确答案】 1【试题解析】 由 y1+P(x)y1=Q(x)及 y2+P(x)y2=Q(x)得 (y 1+y2)+P(x)(y1+y2)=(+)Q(x) 又因 y1+y2 满足原方程，故应有(+)Q(x)=Q(x)，即 +=1【知识模块】 微积分12 【正确答案】 y=C 1+C2x+C3x2+C4e-3x，其中 C1，C 2，C 3，C 4 为任意常数【试题解析】 特征方程 r4+3r3=0，即 r3(r+3)=0故通解如上【知识模块】 微积分13 【正确答案】 y“一 3y“=0【试题解析】 由特解 y=7e3x+2x 知特征根为 r1=3， r2=
12、r3=0(二重根)特征方程为 r3一 3r2=0，相应齐次线性方程即 y“一 3y“=0【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 方程化为【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分15 【正确答案】 该方程为一阶线性微分方程，通解为【知识模块】 微积分16 【正确答案】 因为 (x)=(x)，所以 (x)=0x(t)dt+C1又 (0)=0，于是， (x)=0x(t)dt而 (x+2)= 0x+2 (t)dt=0x(t)dt+0x+2(t)dt=(x)+02(t)dt，所以，当 02(t)dt=0 时，(x+2)=(x)，即 (x)以 2 为周期因
13、此，当 02(t)dt=0 时，方程有以 2 为周期的解【知识模块】 微积分17 【正确答案】 方程化为解得 h=3，k=一 1，此时原方程化为 积分得 X2一 2XYY2=C 将 X=x 一 3，Y=y+1 代入上式，得到所求通解为 x 22xy 一 y2一 8x+4y=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分18 【正确答案】 齐次方程 y“一 2y=0 的特征方程为 2-2=0，由此求得特征根1=0,2=2对应齐次方程的通解为 =C1+C2e2x，设非齐次方程的特解为y*=Axe2x，则 (y*)=(A+2Ax)e2x， (y *)“=4A(1+x)e2x【知识模块】 微积分19 【
14、正确答案】 对应的齐次方程的通解为 y=C 1ex+C2e-3x原方程的一个特解为y*=Axe-3x，代入原方程，得 所求通解为 y=C1ex+C2e-3x一 (C1，C 2 为任意常数)【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由泰勒公式即 y“(x)一 Cy(x)=0，两边再积分得 y“(x)一 y(x)=Cx 易知，它有特解 y*=一Cx，因此它的通解是 y=C1ex+C2e-x 一 Cx 由初值 y(0)=0，y(0)=0 得 C1+C2=0，C 1一 C2= 因此最后得 其中 C 为任意非零常数【知识模块】 微积分21 【正确答案】 这是变量可分离方程当 y21 时，分离变量得去掉绝对
15、值记号，并将e 2C1 记成 C，并解出 y，得这就是在条件 y21 下的通解此外，易见 y=1 及 y=一 1 也是原方程的解，但它们并不包含在式之中以y(0)=2 代入式 中得 故 C=一 3于是得到满足 y(0)=2 的特解【知识模块】 微积分22 【正确答案】 将原给方程通过视察分项组合 (y 3 一 3xy2 一 3x2y)dx+(3xy2 一3x2Yx3+y2)dy =(y3dx+3xy2dy)一 3xy(ydx xdy)一(3x 2ydx+x3dy)+y2dy =0，即【知识模块】 微积分23 【正确答案】 将 代入式，注意到 f 中的变元实际是一元所以最终有可能化为含有关于 f
16、(u)的常微分方程代入式，得 f(u)(1 一 u2)+2f(u)=u 一u3， 初值条件是 u=2 时 f=1微分方程的解应该是 u 的连续函数，由于初值条件给在u=2 处，所以 f 的连续区间应是包含 u=2 在内的一个开区间 解式得通解【知识模块】 微积分24 【正确答案】 对应齐次方程 y“+y=0 的特征方程 r2+r=0 的特征根为 r=0 或 r=一 (1)当 0 时，y“+y=0 的通解为 y=C1+C2 e-x 设原方程的特解形式为y*=x(Ax+B)，代入原方程，比较同次幂项的系数，解得 ，故原方程的通解为 y=C1+C2e-x+ ，其中 C1，C 2 为任意常数 (2)
17、当 =0时，y“=2x+1，积分两次得方程的通解为 +C1x+C2，其中 C1，C 2为任意常数【知识模块】 微积分25 【正确答案】 故 y 通 (t)=e-t(C1 cos 2t+C2 sin 2t)+(2t 一 1)et，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分26 【正确答案】 设曲线 L 过点 P(x，y)的切线方程为 Yy=y(Xx)令 X=0，则得该切线在 Y 轴上的截距为 yxy【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Yy=y(x)(X-x)，它与x 轴的交点为 由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是注意到 y(0)=1，并由式得 y(0)=1由此可得 C1=1，C 2=0，故所求曲线的方程是y=ex【知识模块】 微积分29 【正确答案】 对应齐次方程的通解为 Y=C(一 3)， 由于这里 p(t)=3t(6t+3)，=一 3，b=3， 所以可设 y*=3t(ut+) 代入原方程，解得 u=1，=0，即 y*=t3t 所以原方程通解为 yt=Y+y*=C(-3)t+t3t，其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由前面两个式子解出 It，代入第三式有 Yt=1 一1+(1 一 )Yt=-【知识模块】 微积分
