1、考研数学三（微积分）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=x 3 一 1g(x)，其中 g(x)连续，则 g(1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( ) （A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件2 设 f(x)连续，且 F(x)= ，则 F(x)=( )3 当 x0，1时，f“(x)0，则 f(0)，f(1) ，f(1) 一 f(0)的大小次序为( )（A）f(0)f(1)一 f(0)f(1)（B） f(0)f(1)f(1)一 f(0)（C） f(0)f(1)f(1)一 f(0)（D）f(0
2、)f(1)一 f(0)f(1)4 设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，则( )5 设 f(x)，g(x)(axb) 为大于零的可导函数，且 f(x)g(x)一 f(x)g(x)0，则当axb 时，有 ( )（A）f(x)g(b) f(b)g(x)（B） f(x)g(a)f(a)g(x)（C） f(x)g(x)f(b)g(b)（D）f(x)g(x) f(a)g(a)6 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，若 ，则 f(x)在 x=0 处( )（A）不可导（B）可导但 f(0)0（C）取极大值（D）取极小值7 设 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（A）f(x)
3、在(0，)内单调增加（B） f(x)在(一 ，0)内单调减少（C）对任意的 x(一 ，0)，有 f(x)f(0)（D）对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0)二、填空题8 设 ，其中 f 连续，则 ”(x)=_9 设 f(x)连续，则 =_10 曲线 y= 的斜渐近线为_11 曲线 y=x+ 的斜渐近线为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 证明：当 x1 时，13 证明：当 x0 时，arctanx+ 。14 证明：当 0x1，证明：15 当16 设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明：2x f(t)dt=1 在(0，1)有且仅有一个根17 求曲线 y= 的上
4、凸区间18 求曲线 的斜渐近线19 求 的渐近线20 证明当 x0 时，21 设 0a 1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根22 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 f(b)f(a)= 23 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)=f(6)=0，证明：存在(a， b)，使得 f()+f()g()=024 设 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内二阶可导，且 2f(0)=02f(t)dt=f(2)+f(3) 证明：(1)1， 2(0，3)，使得 f(1)=f(2)=0 (
5、2) 存在 (0，3)，使得 f“()一 2f()=025 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又存在，证明： (1)存在 (1，2)，使得 . (2)存在 7 E(1，2)，使得 18f(t)dt=( 一 1)f()ln226 设 f(x)在a，b上二阶可导且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数考研数学三（微积分）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 设 g(1)=0，因为 f一(1)=f+(1)=0，所以 f(x)在 x=1 处可导设 f(x)在 x=
6、1 处可导，因为 f(1)=f+(1)=0，所以 g(1)=0，故 g(1)=0 为 f(x)在 x=1 处可导，应选 C【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 由拉格朗日中值定理得 f(1)一 f(0)=f(c)(0c1)，因为 f“(x)0，所以 f(x)单调增加，故 f(0)f(c) f(1) ，即 f(0)f(1)一 f(0)f(1)，应选 D【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 由 得 f(0)
7、=0， 由极限保号性，存在 0，当0x 时， ，从而 f(x)0=f(0)， 由极值的定义得 f(0)的极小值，应选 D【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(0)= 0， 所以由极限的保号性，存在0，当 0 x 时， 0， 当 x(一 ，0)时，f(x)f(0) ；当x(0，) 时，f(x)f(0) ，应选 D【知识模块】 微积分二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 f(x)【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 y=x+3【试题解析】 则斜渐近线为y=x+3【知识模块】 微积分11 【正确答案】 y=x【试题解
8、析】 由的斜渐近线为 y=x【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 令 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 xlnx，f(1)=21n20， 因为 f(x)=ln(1+x)+1一 lnx 一 1=ln(1+ )0(x1)， 所以 f(x)在1，+)上单调增加， 再由 f(1)=2ln2 0 得当 x1 时，f(x)0， 【试题解析】 当 x1 时， ，等价于(1+x)ln(1+z)一 xlnx0【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 令 f(x)=x
9、sinx，f(0)=0 ，【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 (x)= ， 因为 f(x)1，所以 f(t)dt1，从而 (0)(1)0， 由零点定理，存在 c(0，1)，使得 (c)=0 因为 (x)=2 一 f(x)0，所以 (x)在0，1上单调增加，故方程 2xf(t)dt=1 有且仅有一个根【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 得 y=x+3为斜渐近线【知识模块】 微积分20 【正确答案】 令 (t)=ln(x+y)，由拉格朗日中值定理得【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分
10、22 【正确答案】 令 F(x)=lnx，F(x)=0，【知识模块】 微积分23 【正确答案】 令 (x)=f(x)eg(x)， 由 f(a)=f(b)=0 得 (a)=(b)=0，则存在 (a，b)，使得 ()=0， 因为 (x)=eg(x)f(x)+f(x)g(x)且 eg(x)0，所以 f()+f()g()=0【知识模块】 微积分24 【正确答案】 (1)令 F(x)=0xf(t)dt，F(x)=f(x)， 02f(t)dt=F(2)一 F(0)=F(c)(2 一 0)一 2f(c)，其中 0c2 因为 f(x)在2 ，3上连续，所以 f(x)在2，3上取到最小值m 和最大值 M， 由介
11、值定理，存在 x02，3，使得 f(x0)= ，即 f(2)+f(3)=2f(x0)， 于是 f(0)=f(c)=f(x0)， 由罗尔定理，存在，使得 f(1)=f(2)=0 (2)令 (x)=e2xf(x)，(1)=(2)=0， 由罗尔定理，存在 (，) (0， 3)，使得 ()=0， 而 (x)=e2xf“(x)一 2f(x)且 e2x0，故 f“()一 2f()=0【知识模块】 微积分25 【正确答案】 (1)令 h(x)=lnx，F(x)= 1xf(t)dt，且 F(x)=f(x)0， 由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 (2)由得 f(1)=0， 由拉格朗日中值定理得 f()=f()一 f(1)=f()( 一 1)，其中 1， 故 12f(t)dt=( 一 1)f()ln2【知识模块】 微积分26 【正确答案】 对任意的 x1，x 2(a，b)且 x1x2，取 x0= ，由泰勒公式得f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+ (xx0)2，其中 介于 x0 与 x 之间 因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)，“=”成立当且仅当“x=x 0”，由凹函数的定义，f(x)在(a ，b)内为凹函数【知识模块】 微积分
